TD : Electromagnétisme 1

PSI Brizeux
EXERCICES Électromagnétis me 1
Régimes stationnaires
 E11 Prise de terre
Déterminer la résistance d'un conducteur de résistivité uniforme ρ, compris entre deux sphères concentriques de
rayons R1 et R2. Une prise de terre est formée d'une sphère conductrice de rayon
r1 = 5 cm, profondément enfouie dans le sol. La résistance mesurée entre cette prise et le sol vaut 1 kΩ.
En déduire la résistivité du sol.
 E12 Capacité d’un condensateur cylindrique
Déterminer la capacité d’un condensateur dont les armatures sont deux cylindres concentriques de
rayons respectifs R1 et R2 portant les charges respectives Q et –Q. Analyser le cas où R2- R1 = e devient
très faible devant R1 ?
 E13 Distributions uniformes de charges.
On considère deux matériaux plans parallèles de dimensions supposées infinies et orthogonaux à l’axe Oz.
1°) Les deux matériaux sont deux plaquettes fines portant deux densités surfaciques uniformes de charge ρ 1 =
ρ S et ρ 2 = − ρ S respectivement. Déterminer la force par unité de surface s’exerçant sur chaque plaquette.
y
y
z
z
O
O
(1)
(2)
(1)
(2)
2°) Les deux matériaux sont deux plaquettes épaisses portant deux densités volumiques uniformes de charge
ρ 1= ρ V et ρ 2 = − ρ V respectivement. On note a l’épaisseur de chaque plaquette et d la distance qui les sépare.
Déterminer le champ électrique total créé à l’intérieur d’une plaquette. En déduire la force par unité de surface
s’exerçant sur chaque plaquette. Comparer l’expression obtenue à celle de la question précédente.
 E13 Champ d’une distribution à symétrie sphérique
On considère une distribution de charges à symétrie sphérique, comprise entre deux sphères concentriques, de
rayons R1 et R2. Le champ E créé par cette distribution, entre les deux sphères, est de la forme E = a (r " R1 )ur .
Déterminer, en fonction de R1, R2, a, le champ et le potentiel créés en tout point de l'espace par cette distribution,
ainsi que la charge totale de celle-ci.
! fonctions E(r) et V(r). Que se passe-t-il si R2 - R1 = e devient très faible devant R1?
Donner l'allure des
!
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 E14 Champ et potentiel é.s. crées par une distribution à symétrie sphérique
On considère une distribution de charges à symétrie sphérique, concentrée dans une sphère de rayon R,
avec la densité ρ = ρ0
R
. Déterminer le champ et le potentiel créés en tout point de l'espace par cette
r
distribution.
ρ0R
ρ0R2
ρ0R3
" R
" R3
Rép : r ≤ R : E = 0 e r et V = r + ε0 . Pour r ≥ R : E = 0
.
e
r et V =
2ε0
2ε0r
2
!2#
2#0 r
0
 E15 Champ électrostatique à l’intérieur d’une cavité
!
!
Dans une sphère de rayon R, uniformément chargée avec la densité volumique ρ, on a creusé une cavité
sphérique de centre O1, de rayon R1 , entièrement contenue dans la sphère de rayon R. Déterminer le champ à
l'intérieur de la cavité.
Rép : E =
"
O1O2
3#0
 E16 Anomalie de Bouguer
!
Toute hétérogénéité dans le sous-sol apporte un écart à g0. On appelle anomalie de Bouguer la valeur : ΔgB =
gmesuré – g0.
La recherche de dômes de sel reste une façon de détecter les champs pétrolifères.
a - Modélisons un dôme de sel par une boule de rayon R, de densité ρ1 = 2200 kg.m-3 noyée dans un sol
homogène constitué de sédiments de densité ρ2 = 2400 kg.m-3 et située à une profondeur d.
Déterminer l’anomalie de Bouguer verticale Δgz crée par ce dôme en un point M(x ; 0 ; 0) de la surface
terrestre.
z
0
x
d
b - Donner l’allure de Δgz en fonction de x.
c - Une étude menée au dessus d’un dôme de sel au Texas a permis les relevés gravimétriques suivants (les
courbes représentées sont les courbes d’isoanomalie en milligal (1 milligal = 10-5 m.s-2)). En utilisant le modèle
précédent (forme, densités), estimer d et R.
 E17 Actions subies par un dipôle dans un champ extérieur
Un dipôle p peut glisser parallèlement à l'axe d'une circonférence de rayon a, uniformément chargée
avec la densité λ. Déterminer les positions d'équilibre du dipôle et discuter leur stabilité.
!
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 E18 Mouvement d’une charge au voisinage d’un équilibre
Une sphère de centre O et de rayon R porte une charge -Q ( Q>0 ) uniformément répartie en volume. Cette
sphère est plongée dans un champ électrique uniforme E0 = E0 ux (Eo >0) colinéaire à l’axe Ox.
1°) Déterminer le champ résultant E en tout point de l’axe Ox. Tracer l’allure du graphe de E en fonction de x.
2°) Une particule matérielle ponctuelle, de masse m et de charge +q se déplace au sein du système précédent
(elle peut se trouver à l’intérieur de la sphère)
! sa présence ne modifie pas le champ E. Montrer qu’il y a deux
positions d’équilibre sur l’axe Ox pour la particule à condition que Eo vérifie une inégalité. Déterminer la position
d’équilibre stable A.
3°) On place la particule sur l’axe Ox à une distance a (R > a > 0) de sa position d’équilibre stable et on lui
communique à l’instant t = 0 une vitesse vo selon Oy de telle façon que la particule reste dans la sphère. Quelle est
la nature de la trajectoire ? A quelle condition est-elle circulaire ?
 E19 Recherche d’une distribution responsable d’un champ électrique
Une répartition de charges à symétrie sphérique crée en tout point de l'espace le potentiel
V(r) =
q
e$r / a
.
4"#0
r
Retrouver la répartition de charges responsable de ce potentiel et le champ créé en tout point de l'espace. Le
théorème de Gauss est-il respecté!? Que peut-on en conclure ? Que pourrait représenter cette distribution de
charges ?
Rép : ρ(r) = -
q
r
exp(- ). ; non ; +q au centre.
4πa2r
a
 E110 Cylindre conducteur dans un champ extérieur
Un cylindre conducteur , de rayon R et de longueur infinie, est placé dans un champ extérieur E0 uniforme
orthogonal à l’axe du cylindre.
1°) Montrer que le potentiel créé en tout point de l’espace peut être cherché sous la forme V(r, θ).
2°) On propose une fonction de la forme : V (r ,") = # Arcos" + B
cos"
r
!
Montrer que ce potentiel convient bien au problème et déterminer les constantes A et B.
3°) Donner l’allure des lignes de champ et des équipotentielles.
4°) Interpréter la partie en rcosθ du
! potentiel.
Montrer que l’autre partie serait identique au potentiel créé par deux fils parallèles très proches, portant des
densités linéiques de charges opposées.
Justifier alors le nom de « dipôle bidimensionnel » pour cette distribution et définir un moment dipolaire
linéique associé.
On donne, en coordonnées cylindriques : "V =
#2V
#r 2
+
1 #V 1 #2V
.
+
r #r r 2 #$2
 E111 Grille métallique dans
! un condensateur
Quand le champ électrique dépasse une certaine valeur appelée champ disruptif Ed,
l’air devient conducteur et s’ionise.
On prendra Ed = 3,0 MV.m-1
1. Quelle différence de potentiel faut-il appliquer aux bornes d’un condensateur
plan d’épaisseur e = 10 cm pour provoquer un éclair entre les armatures ? On
négligera les effets de bord.
e
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En introduisant une grille formée de cylindres métalliques parallèles entre les armatures, on constate que
l’ionisation se produit pour une différence de potentiel plus faible.
2. Expliquer qualitativement que la présence d’un cylindre métallique placé dans un champ électrique uniforme
E0 augmente localement le champ électrique. Le diamètre du cylindre sera pris très faible devant e.
3. En cherchant le potentiel électrique sous la forme V = f (r ) g(! ) (coordonnées cylindriques) et en exploitant les
conditions aux limites, déterminer l’endroit où le champ électrique est maximal.
4. Pour quelle différence de potentiel l’ionisation de l’air se produit-elle ?
Indication : pour résoudre une équation différentielle du type : x2 y"+a x y'+b y = 0 (où a et b sont des constantes), on
cherchera des solutions y(x )de la forme x r .
 E112 Interactions électrostatiques
Une solution contient des particules sphériques (particules colloïdales) de rayon R " 10!8 à 10-6 m , de centre O,
de charge Q ainsi que des ions de charges ± e considérés ponctuels. Cette solution est appelée solution colloïdale.
Autour de la particule, les ions se répartissent avec des densités volumiques
& ' eV (r )#
N +(r ) = N0 exp$
!
% kBT "
pour les cations
& + eV (r )#
N '(r ) = N0 exp$
!
% kBT "
pour les anions.
N0 est une constante dépendant du nombre total d’ions en solution, V(r) est le potentiel électrique à une distance
r de O, T est la température du milieu et kB = 1,38.10!23 J.K-1 est la constante de Boltzmann.
Dans l’eau, la seule modification des équations de l’électrostatique par rapport à celles du vide est le
remplacement de !0 par ! = !0!r .
On supposera que eV (r ) << kBT .
1°) De l’écriture de deux relations entre V(r) et la densité volumique de charges ρ(r), déduire le potentiel
électrique V(r) et le champ électrique E autour d’une particule colloïdale.
2°) Comparer l’interaction entre deux particules colloïdales en l’absence ou en présence d’ions.
3°) La stabilité de la solution colloïdale est assurée par la répulsion électrostatique des particules colloïdales.
Montrer qu’un excès d’ions (ajout de sel) est néfaste à cette stabilité.
N.B. :
1 d & 2 dV (r )# 1 d2(r V (r ))
$r
!=
dr " r
r2 dr %
dr2
 E113 Champ magnétique et potentiel crées par une distribution de courant.
Entre deux plans parallèles infinis distants de 2a existe une distribution de courants volumique uniforme, de
vecteur j lui-même parallèle aux plans. Déterminer le champ magnétique et le potentiel-vecteur en tout point de
l'espace. Que se passe-t-il quand a tend vers 0, le produit j.a restant fini ?
!
 E114 Champ magnétique dans une cavité
Deux cylindres infinis identiques, d’axes parallèles distants de D inférieure au diamètre d de chaque
cylindre, sont parcourus par des courants uniformes et opposés.
Déterminer le champ magnétique dans la région d’intersection des deux cylindres.
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 E115 Distributions uniformes de courant.
On considère deux conducteurs plans parallèles de dimensions supposées infinies et orthogonaux à l’axe Oz.
1°) Les deux conducteurs sont parcourus par deux densités surfaciques uniformes de courant
j1 = js et j2 = " js respectivement. Déterminer la force par unité de surface s’exerçant sur chaque conducteur.
y
y
!
z
z
O
O
(1)
(1)
(2)
(2)
2°) Les deux conducteurs sont parcourus par deux densités volumiques uniformes de courant
j1 = jv et j2 = " jv respectivement. On note a l’épaisseur de chaque conducteur et d la distance qui les sépare.
Déterminer le champ magnétique total créé à l’intérieur d’un conducteur. En déduire la force par unité de
surface s’exerçant sur chaque conducteur. Comparer l’expression obtenue à celle de la question précédente.
!
 E116 Champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde fini
Un solénoïde circulaire, de longueur L, comporte N spires de rayon a parcourues par I. Déterminer le champ
magnétique créé en un point de l'axe du solénoïde, en fonction des angles sous lesquels, de ce point, on voit les
deux spires extrêmes du solénoïde. En déduire les valeurs du champ au centre et à une extrémité du solénoïde.
Une ligne de champ passe, au centre du solénoïde, à une distance r0 de l'axe. A quelle distance de l'axe se
retrouve-t-elle à l'extrémité ? (On pourra supposer la longueur L grande devant a).
 E117 Champ magnétique en dehors de l’axe d’une spire
Déterminer le champ magnétique quand on s'écarte d'une petite distance r de l'axe d'une spire de
rayon a parcourue par I.
a3
µ I
Rép : B = 0
2a
3/2
(a + z )
2
2
ez +
3µ0 Ia 2 rz
(
2
4 a +z
2
5/2
)
er
 E118 Champ magnétique créé par une nappe de courant
!
L’espace est divisé en deux régions :
- dans toute la région x > 0, règne une courant dont le vecteur j est de la forme j = j0 exp(- x/a ) ey .
- dans toute la région x < 0, le courant est nul.
Déterminer le champ B et le potentiel -vecteur associé
! en tout point de!l’espace.
!
Rép : : -a < z < a : B = µ0 jze x . Pour z > a : B = µ0 jae x . Pour z <-a : B = "µ0 jae x
2
2
2
µ jz
µ ja
µ ja
-a < z < a : A =!
" 0
e y . Pour z > a : A = "µ0 jzae y + 0
e y . Pour z <-a : A = µ0 jzae y + 0
e y ; js = 2ja et
2
2
2
B.
discontinuité de !
!
!
!
!
!
!
PSI Brizeux
 E119 Recherche d’une distribution responsable d’un champ magnétique
Un champ B est défini en coordonnées cylindriques par :
!
-0≤r<a
-r>a
" r %3
" r%
B = B0 $ ' exp$ ( 'u)
#a&
# a&
a
B = 2B0 u"
r
!
Déterminer les courants à l'origine de ce champ. Calculer l'intensité I du courant traversant un plan
z = cste. Que !
retrouve-t-on ?
Rép : r < a : j =

B
B0 # 2 r 3 & ) r ,
%4r " ( exp+ " .e z ; js = 0 e z
3
µ
a
a
(' *
µ0 a %$
0
E1
par des courants
!
! 20 Actions entre spires parcourues
a
i
Déterminer la force subie par la petite spire de la
part de la grande spire.
h
On supposera que a << h et a << R.
R
I