INDUCTION : CAS DE NEUMANN

INDUCTION : CAS DE NEUMANN
1 Coefficient d’induction :
1.1 Calculer le coefficient d’auto-induction d’une bobine de longueur L, comportant N spires de circulaires de rayon
moyen a, en approximant le champ magnétique créé à celui d’un solénoïde infini. On rappelle que ce champ a pour
norme
i.n.B o
où n est le nombre de spires par unité de longueur et i la valeur absolue du courant.
1.2 Calculer le coefficient d’auto-induction d'un câble coaxial de longueur H, constitué de deux conducteurs cylindriques
creux, de rayon R1 et R2 , parcourus par des courants surfaciques de sens opposés.
On utilisera une méthode faisant intervenir l’énergie magnétique, en raisonnant comme s’il était de longueur infini.
1.3 On considère un fil rectiligne infini situé à distance d d’une spire plane carrée, de coté a,
située dans un plan contenant le fil. Les orientations sont imposées.
Déterminer le coefficient de mutuelle induction M de cet ensemble.
2 Bêtatron:
Une particule de masse m, charge électrique q, est soumise à un champ magnétique
B B r f t uz (). ().
où f(t) est la fonction adimensionnelle dont le graphe est représenté ci-contre.
A t=0, la particule est en mouvement uniforme à vitesse Vo sur une trajectoire circulaire de rayon R,
d’axe Oz.
Un champ magnétique intense ne peut être produit que dans un espace limité : on choisit
la fonction B( r ) de sorte que la particule reste sur la même trajectoire circulaire de rayon R,
pour t>0, tout en ayant une énergie cinétique croissante.
2.1 Le champ magnétique variable génère un champ électrique
E
. Donner les équations vérifiées
par
E
sachant que la particule chargée se déplace dans le vide.
2.2 Montrer que
E E r t u  ( , ).
convient, puis en utilisant la loi de Faraday que
E r t rdf
dt rB rdr
R
( , ) ( )  
1
0
.
2.3 Exprimer la vitesse et l'accélération tangentielle de la particule à l'instant t. Etablir la condition
R B R rB rdr
R
2
0
( ) ( )
qui fixe une condition sur la forme de B( r ). Un champ uniforme conviendrait-il? Quelle condition y a-t-il sur f(t) pour que
l'énergie de la particule soit croissante?
3 Lévitation magnétique :
Un long solénoïde vertical semi-infini, occupant le domaine z<0, a une section circulaire de rayon a,
Et comporte n spires par unité de longueur. Il est parcouru par un courant
11
i (t) I .cos( t)
.
On se place dans l’approximation des régimes quasi-permanents.
Une spire S, circulaire de rayon b<<a , de résistance R , coefficient d’auto-induction L, masse m ,
est placée au dessus du solénoïde, à distance z de son extrémité. Oz est vertical, vers le haut.
La spire S reste dans un plan orthogonal à Oz, et sa position est repérée par l’angle .
3.1 Donner l’expression du champ magnétique créé par le solénoïde sur l’axe Oz.
On rappelle que le champ magnétique créé par un solénoïde de longueur finie, en un point M
appartenant à son axe de symétrie de révolution Oz, vaut
z21
1o u.)cos()cos(.
2)t(i.n.
)M(B 
où les rayons des spires des extrémités du solénoïde sont vus sous les angles 1 et 2.
3.2 Comme b<<a, la composante axiale du champ magnétique sur la spire S’ peut être supposée uniforme sur S. En déduire
le flux du champ magnétique créé par le solénoïde sur S.
3.3 Ecrire l’équation électrique de la spire S et en déduire l’expression du courant i2(t) qui parcourt S en régime permanent.
3.4 S est parcourue par un courant, et placée dans un champ magnétique extérieur : elle est soumise à la force de Laplace.
On démontre qu’un élément de longueur
Ld
parcouru par un courant i2(t) est soumis à une force élémentaire
BLd).t(iFd 2
où
B
est le champ magnétique sur l’élément de courant. Montrer que la contribution de la
composante axiale du champ magnétique est nulle.
i1
i2
d
a
f
t
0
z
a
i1

3.5 Hors de l’axe Oz, le champ magnétique possède une composante radiale Br non nulle: en utilisant l’équation de Maxwell
pour le flux du champ magnétique, sous forme intégrale, et en considérant une surface fermée cylindrique (hauteur dz,
rayon r<<a), montrer que cette composante radiale s’écrit
dz
dB
.
2
r
Bz
r
. En déduire son expression pour le champ
obtenu à la question 1.
3.6 Déterminer la moyenne temporelle de la force exercée sur la bobine circulaire. A quelle condition sur I1 peut-il y avoir
lévitation dans le cas
/2  
, c’est à dire si la bobine est juste à l’extrémité du solénoïde ? Cet équilibre est-il stable ?
4 Mise en rotation d’une sphère chargée :
On considère une sphère de rayon a, creuse, de masse uniformément répartie en surface m, portant une distribution
superficielle de charge uniforme de densité . Ces charges sont fixes par rapport à la sphère (la sphère est réalisée en
matériau isolant). Son moment d’inertie par rapport à Oz est
2
a.m
3
2
J
.
Elle peut tourner librement autour de l’axe Oz passant par son centre.
En son centre O, se trouve une petite spire (rayon b<<a) située dans un plan orthogonal à Oz, parcourue par un courant
variable i(t). On la caractérise par son moment magnétique
S).t(iM 
où
S
est le vecteur surface de la spire.
A l’instant initial, la sphère ne tourne pas, et le courant i(t=0)=Io, constante.
Le courant i(t) baisse à partir de t=0 ; on caractérise son évolution par la donnée de dM/dt.
4.1 Décrire qualitativement ce qui va se passer.
4.2 Déterminer le champ électrique induit
)P(E
qui apparaît à la surface de la sphère en P. Exprimer
)P(E
en fonction de
a, dM/dt, et , mesurant l’angle (Oz,OP). On admettra que le flux du champ magnétique créé par la spire à travers un
disque perpendiculaire à
S
, de même axe de symétrie de révolution, est
)(sin
b2M. 3
o
4.3 Calculer le moment des actions électriques exercées sur la sphère, en projection sur Oz.
4.4 Le moment obtenu est non nul. Montrer en utilisant le théorème du moment cinétique que
la sphère va se mettre à tourner.
4.5 Dès qu’elle est en mouvement, il apparaît dans le référentiel d’étude un courant électrique. Donner l’expression de sa
densité superficielle. L’élément de courant s’écrivant
dS.js
, l’expression de la force élémentaire de Laplace sur cet
élément de courant est
BdSjFd sL
. Que peut-on dire de son moment par rapport à l’axe Oz ?
4.6 En déduire l’expression de la vitesse de rotation de la sphère lorsque le courant i(t)=0.
M
b