Du potentiel en électrodynamique et en électromagnétisme

Du potentiel en électrodynamique et en
électromagnétisme
M. Macé de Lépinay
To cite this version:
M. Macé de Lépinay. Du potentiel en électrodynamique et en électromagnétisme. J. Phys.
Theor. Appl., 1878, 7 (1), pp.414-420. <10.1051/jphystap:018780070041401>. <jpa00237466>
HAL Id: jpa-00237466
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Submitted on 1 Jan 1878
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414
des nombres concordants; que le procédé du compte-gouttes, au
contraihe, donne des nombres sensiblement plus forts.
D’un autre côté, des expériences de M. Hagen et Quincke ont.
démontre que, pour l’eau du moins, la tension d’une surface
fraiche, égale à 7mgr,53, diminue sensiblement par suite de son
exposition à l’air, au point de devenir égale seulement à 4mgr,69
bout de plusieurs heures. La seule explication de cette anomalie
que l’on puisse adopter est celle qu’a proposée M. Van der Nlensbrugghe (1), savoir : que l’énergie potentielle de la masse liquide
formant la couche dans laquelle réside la tension superficielle est
supérieure à celle de la même masse prise à l’intérieur, ce qui est
indéniable ; que l’augmentation de cette énergie potentielle, quand
une certaine masse liquide
passe de l’intérieur à la surface, ne
se
faire
peut
qu’aux dépens de l’énergie actuelle du liquide, et
que, par suite, il doiL se produire un abaissement instantané de
température dalls la couche superficielle d’un liquide , surtout
quand la surface augmente rapidement comme dans l’écoulement
goutte à goutte. Or, comme la tension superficielle varie dans le
même sens que la température, on conçoit que, dans ce dernier
cas, la tension qui est en jeu soit moins forte que dans un liquide
dont la surface reste constante. Toutefois, cette augmentation de
tension superficielle n’a encore été bien observée que pour
l’eal.l. Les expériences que je continue sur le même sujet me
permettront, je l’espère, de reconnaître si la théorie de M. Van
der Mensbrugghe peut seule rendre compte de l’anomalie que j’ai
au
signalée.
DU POTENTIEL EN
ÉLECTRODYNAMIQUE
PAR M.
ET EN
ÉLECTROMAGNÉTISME ;
MACÉ DE LÉPINAY.
Les calculs relatifs aux actions électrode namiques et électromagnétiques, ainsi qu’à l’induction, se trouvent parfois considérablement simplifiés en faisant usage du potentiel. On est conduit à
(’ )
Bulletin de l’Académie
ro)’ale de Belgique,
2C
série,
t.
XLI,
n°
4;
avril
18ÍG.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:018780070041401
4I5
fonction par le théorème fondamental d’Ampère,
employer
diaprés lequel on peut suhstituer, au point de vue de son action
sur une molécule magnétique, à un courant fermé, deux surfaces
parallèles infiniment voisines dont l’une est limitée par le contour
du courant, et possédant des quantités égales de fluides magnétiques contraires, la densité constante p du fluide sur la surface
limitée par le circuit étant donnée par la relation
cette
dN étant la distance constante des deux surfaces.
Je me propose, dans ce qui suit, d’utiliser cette fonction pour
donner une démonstration très-simple de quelques théorèmes im-
portants déjà
connus
Expression
du
(1).
potentiel
dans le cas d’lln courant fermé
quelconque. Je suppose, d’une manière générale, que le courant
fermé ne soit pas plan. Faisons passer, par le contour du circuit,
une surface
quelconque, et soit A (Jig. i) un élément de cette
io
--
Fig.
r.
Si P est la densité du magnétisme sur cet élément, supposé
d2f, pdflfest le magnétisme qu’il contient. Si alors 1 est
surface.
égal
à
(1) Voir les articles publiés par AI. Potier dans ce Journal (t. II; p. 5 et 121).
lI. Potier a donné également du théorème fondamental une démonstration, en définissant le potentiel par le travail effectué pour transporter la molécule magnétique
de l’infini
en m.
416
la distance Aî7z à la molécule magnétique ln, que nous pouvons
supposer contenir une masse I de magnétisme de même nom, le
potentiel de la première surface sera
Remarquons alors que, les deux surfaces devant contenir la même
quantité de magnétisme, la masse de fluide contenue dans l’élément A’ sera 201303C1d2 f. Il en résulte qu’en posant 7nA’ == r J n, le
potentiel relatif à la deuxième surface sera
On
aura
donc Pour l’ensenlble des deux
quent, pour le
courant tout
surfaces,
et, par consé-
entier,
négligeant les puissances supérieures de Az.
Abaissons alors de 7n la normale ln T sur le plan tangent
et appelons ~ l’angle T 7ll_A, dans le triangle ABA’,
en
en
A,
On a donc
ou,
en
remplaçant AN par
sa
valseur,
et
supposant le
courant = 1 ,
L’expression ainsi obtenue a une signification géométrique
très-simple. En effet, cos ~ d2 f est la projection orthogonale de
l’éléanent dé surface sur un plan perpendiculaire à 7n A. En multinous obtenons la valeur de la propliant cette projection
par I r2,
4I7
de
de
l’élénlent
sur
une
rayon i,
sphère
jection conique
d2 f
décrite de m pour centre. On peut énoncer alors ainsi ce résultat :
Le
un
potentiel
d’uja
point extéoieur,
par le courant
sur
la
fe17né quelconque d’intensité I, sur
projection de la stitface eiztozt7-,ée
égal
courant
est
il la
sphère de rayon
1, décrite autour
de
ce
point
comme centre.
Je vais
appliquer
cet
important
théorème à
2° Action d-uiz courant circulaire OA
tique située Sllr l’axe. Le calcul, d’après le
Fig.
quelques exemples.
inagnéthéorème précédent,
Sllr une masse
2.
revient à celui de la surface de la calotte sphérique ab détachée
sur la
sphère de rayon a .
Soit 1 le rayon du cercle, d la distance m O. Si p est le rayon aa,
du petit cercle limitant la calotte, on a
Si
(p
nous
posons d’autre part
étan t le
Mais
pôle
du
pe ti t cercle)
,
on aura
on a
Le signe - du radical
cherchée étant celle de la
répond seul à la duestion, la surface
plus petite des deux calottes détachées
4I8
sur
la
sphère.
On tire de
iorce agissant
On
aura
là,
par
sur
in,
donc
différentiation, les
en
prenant pour
3° Actioiz d-iiize bobine
Sllr son axe.
sur une
2013 Décomposons chaque
axe
trois composantes de la
des x la direction 0 m,
7izoléciile magnétique placée
élément tel que MM’ (fig. 3)
Fig. 3.
en deux, l’un
parallèle à l’axe, l’autre parallèle au cercle de base.
L’action de la bobine est celle d’un courant fermé, si lahobine possède un nombre pair de fils. Par la décomposition indiquées, nous
ramenons le calcul à celui relatif à deux surfaces
planes, M’N CC’
et MNC. Projetons ces deux surfaces sur la sphère de rayon I . Le
quadrilatère M’NCC’ donne une surface nulle, et il ne reste à ,
considérer que la projection de MNC.
Appelons s la longueur du fil enroulé depuis la base A, MN = ds ;
~ l’angle de l’hélice avec la section droite du cylindre. Soient,
enfin, 1 le rayon du cylindre et x la distance CM. La surface projection de l’élément CMN est une portion de calotte sphérique
dont la surface totale, précédemment trouvée, est
Si d03C3
est
la surface
cherchée,
on a
la relation
419
Mais
On
donc
a
Enfin,
en
remarquant que dans M M’ N
on a
on trouve
longueur 2l du cylindre
qu’en appelant Iz le pas
et le nombre n des
de l’hélice on a les
Pour introduire la
spires, remarquons
relations
On
a
donc,
effectuant
en
On déduit de
là,
l’intégration,
pour la force
agissant
sur
ni,
Cette dernière
simple
en
expression peut se mettre sous une forme plus
appelant 03C8 et t¥1 les demi-ouvertures des cônes ayant; ln
pour sommets,
et
pour bases les deux bases de la bobine :
Autre démonstnution.
On peut retrouver plus simplement
ces diverses formules
un raisonnement moins rigoureux. IL
par
suffit, à cet effet, de substituer à la bobine une série de courants
circulaires, régulièrement distribués, à la distance h l’un de l’autre.
Nous remplacerons alors chaque courant circulaire par deux
-
couches
magnétiques contraires,
de densité
03C1 =I h,
et
distantes
420
de li. Il résulte de cette décomposition que tout se passera comme
s’il y avait deux couches, l’une en A, l’autre en B, de fluides magnétiques contraires.
Un calcul très-simple donne, pour le potentiel relatif à la
couche Ay
et, pour
On
B,
trouve
donc
expression identique
à la
précédente,
si l’on remarque que des
relations
onde
exemples, le parti que l’on peut tirer du
électromagnétisme, et, par suite, en électrodynapotentiel
111ique, lorsqu’jl s’agit de calculer l’action de deux courants fermés.
Cette méme fonction joue, comme on le sait, un rôle également
important en induction, puisque, d’après la théorie de NeuTnann,
la force électromotrice d’induction, produite par le déplace11lent
d’un pôle magnétique dans un circuit fermé, est proportionnelle à
la différence des potentiels V, -Vo au commencement et à la fin
du mouvement, potentiel calculé comme si le circuit était traversé
On
voit,
par
ces
deux
en
par
un
courant
J.-N. LOCKYER.
Chimie
M.
2014
I.
Recent Researches in solar
solaire);
Lockyer
avec un
d’intensité
a
Phil.
Magazine,
étudié la
t.
VI,
Chemistry (Récentes recherches
p. I6I ; septembre I878.
de
portion la plus réfrangible du spectre
(67oo traits environ par centimètre),
réseau de Rutherfurd