Arithmétique dans l`ensemble des entiers natures

Arithmétique dans l’ensemble des entiers natures :
diviseurs, multiples, division euclidienne, PGCD,
PPCM, nombres premiers, décomposition en
produit de facteurs premiers
Denis Vekemans ∗
1 L’ensemble des entiers naturels
Définition naïve : 0 est un entier naturel ; et, si nest un entier naturel, alors n+ 1 aussi.
Ainsi, comme 0 est entier naturel, 0 + 1 = 1 aussi ; puis, comme 1 est entier naturel, 1 + 1 = 2 aussi ;
puis, comme 0 est entier naturel, 2 + 1 = 3 aussi ; ...
Remarque : l’ensemble des entiers naturels est de cardinal infini.
2 Diviseurs - Multiples
Définition : S’il existe un entier naturel ktel que a=k×b, alors on dit que
—aest multiple de b;
— et/ou best un diviseur de a.
Remarque importante : si aest un multiple de b, alors best un diviseur de a; réciproquement, si best
un diviseur de a, alors aest un multiple de b.
Exemple : 21 = 3 ×7, donc 21 est un multiple de 3 et/ou 3 est un diviseur de 21.
Exercice 1
— 10 est-il multiple de 4 ?
— 5 est-il diviseur de 25 ?
— 252 est-il multiple de 9 ?
— 18 est-il diviseur de 9 ?
— Quel est l’ensemble des multiples de 5 ?
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais
cedex ; France
1

— Quel est l’ensemble des diviseurs de 48 ?
— Soit nun entier naturel. 0 est-il un multiple de n?
— Soit nun entier naturel non nul. 0 est-il diviseur de n?
Solution 1
— Non, 10 = 2,5×4, mais 2,5 n’est pas un entier naturel.
— Oui, car 25 = 5 ×5, et 5 est bien un entier naturel.
— Oui, car 252 = 28 ×9 et 28 est bien un entier naturel.
— Non, car 9 = 1
2×18 et 1 2n’est pas un entier naturel.
— 0, 5, 10, 15, 20, ... Cet ensemble est de cardinal infini.
— 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, et 48. Cet ensemble est de cardinal fini.
— Oui, car 0 = 0 ×n.
— Non, car 0 ×k= 0 6=n.
Théorème 2.1
Propriété additive : si aest multiple de cet best multiple de c,
— alors a+best multiple de c,
— et si, de plus, a≥b, alors a−best multiple de c.
Exemple : 49 = 7 ×7 et 21 = 7 ×3 sont multiples de 7, donc 49 + 21 = 70 et 49 −21 = 28 sont aussi
multiples de 7 (en effet, 70 = 7 ×10 et 28 = 7 ×4).
Démonstration
Il existe un entier naturel ktel que a=k×c(car aest multiple de c). Il existe un entier naturel ltel que
b=l×c(car best multiple de c). Ainsi, par somme, a+b=k×c+l×c= (k+l)×c. Puis, a+best
multiple de c(on a pu trouver un entier naturel k+lqui, multiplié par c, donne a+b). Et, par différence,
a−b=k×c−l×c= (k−l)×c. Puis, a−best multiple de c(on a pu trouver un entier k−lqui, multiplié
par c, donne a+b; et k−l≥0 car a−b > 0 et c≥0 donnent k−l≥0 d’après a−b= (k−l)×c).
Théorème 2.2
Propriété de transitivité : si aest multiple de bet best multiple de c, alors, aest multiple de c.
Exemple : 63 = 21 ×3 est multiple de 21 et 21 = 7 ×3 est multiple de 7, donc 63 est multiple de 7 (en
effet, 63 = 7 ×9).
Démonstration
Il existe un entier naturel ktel que a=k×b(car aest multiple de b). Il existe un entier naturel ltel
que b=l×c(car best multiple de c). Ainsi, par substitution, a=k×b=k×(l×c) = (k×l)×c(par
associativité de la multiplication). Puis, aest multiple de c(on a pu trouver un entier naturel k×lqui,
multiplié par c, donne a).
Exercice 2
2

— Vrai ou faux (justifié) : si aest multiple de bet aest multiple de c, alors, aest multiple de b+c.
— Vrai ou faux (justifié) : si cest diviseur de a, si best diviseur de aet si c≥b, alors, c−best diviseur
de a.
— Vrai ou faux (justifié) : on peut trouver un multiple de 14 qui ne soit pas un multiple de 7.
— Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de 24 qui ne soit pas un diviseur de 12, ni 24, lui-même.
— Vrai ou faux (justifié) : on peut trouver un multiple de 7 qui ne soit ni un multiple de 14, ni un
multiple de 21, ni le nombre 7, lui-même.
— Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de 124 qui ne soit pas un diviseur de 248.
Solution 2
— Faux ! 21 est multiple de 3 et de 7, mais pas de 3 + 7 = 10.
— Faux ! 7 et 3 sont des diviseurs de 21, mais pas 7 −3 = 4.
— Faux ! D’après la propriété de transitivité, comme 14 est multiple de 7, tout multiple de 14, l’est de
7.
— Vrai ! 8.
— Vrai ! Par exemple, 35, 49, ...
— Faux ! D’après la propriété de transitivité, comme 124 est diviseur de 248, tout diviseur de 124, l’est
de 248.
Exercice 3 [Examen S1, 2016] Un groupe de majorettes étudie une disposition pour défiler. Elles dé-
cident de se placer en rangées pour former un rectangle.
Elles remarquent que :
— quand elles se placent par rangées de six, il en reste trois non placées,
— quand elles se placent par rangées de cinq, elles sont toutes placées.
1. Si elles se placent par rangées de trois, en reste-t-il ? Justifiez.
2. Si elles se placent par rangées de deux, en reste-t-il ? Justifiez.
3. Dans cette question uniquement, on fait l’hypothèse qu’il y a en tout moins de cinquante majorettes.
Quel peut être le nombre de majorettes ? Donnez toutes les solutions.
Solution 3
1. Quand elles se placent par rangées de 6, il en reste 3 non placées. Chacune des rangées de 6 constitue
deux rangées de 3 ; les 3 non placées constituent maintenant une rangée de 3. Il n’en reste donc pas.
Solution algébrique. D’après la première hypothèse, il y a 6 ×k+ 3 majorettes (avec k∈N). Or
6×k+ 3 = 3 ×(2 ×k+ 1) est multiple de 3. Par rangées de 3, elles seront donc toutes placées.
2. Quand elles se placent par rangées de 6, il en reste 3 non placées. Chacune des rangées de 6 constitue
trois rangées de 2 ; les 3 non placées constituent maintenant une rangée de 2, mais il en reste 1. Il
en reste donc une.
3

Solution algébrique. D’après la première hypothèse, il y a 6 ×k+ 3 majorettes (avec k∈N). Or
6×k+ 3 = 2 ×(3 ×k+ 1) + 1 n’est pas multiple de 2. Par rangées de 2, il en reste donc une non
placée.
3. D’après la première hypothèse, il y a 6 ×k+ 3 majorettes (avec k∈N), soit 3,9,15,21,27,33,39
ou 45 majorettes, puisqu’il y a moins de cinquante majorettes. Parmi ces possibilités, d’après la
deuxième hypothèse, il ne reste que 15 ou 45.
Conclusion : les majorettes sont au nombre de 15 ou de 45.
3 Division euclidienne
Définition : pour a(entier naturel quelconque) et b(entier naturel non nul quelconque), il existe un
entier naturel qet un entier naturel rtels que
a=b×q+r,
où
0≤r < b.
Dans ce cas, on parle de division euclidienne de a(le dividende) par b(le diviseur) où qest un quotient
et run reste.
Théorème 3.1
Dans la division euclidienne de apar b, le quotient et le reste sont définis de façon unique.
Note : le quotient provenant de la division euclidienne de apar best souvent appelé quotient euclidien
pour le distinguer du quotient a/b.
Exemple : dans la division euclidienne de 356 par 15, le quotient est 23 et le reste est 11 ; cela s’écrit :
356 = 23 ×15 + 11.
L’algorithme d’Euclide pour la division euclidienne
Le voici sur l’exemple de la division euclidienne de 3562 par 23. Il permet d’obtenir le reste (20) et le
quotient (154) de cette division euclidienne.
3 5 6 2
−2 3
1 2 6
−1 1 5
1 1 2
−9 2
2 0
2 3
1 5 4
La technique opératoire dans la division euclidienne de apar best la suivante :
4

1. On écrit au brouillon la table utile des multiples de b(1 ×b, 2 ×b,..., 9 ×b).
2. On considère a1le plus petit nombre constitué des premiers chiffres de atel que a1≥b. On effectue
la division euclidienne de a1par bdont le quotient est noté q1et dont le reste est noté r1.q1est le
premier chiffre du quotient (d’où l’utilité de l’écriture au brouillon de la table des multiples de b).
3. Tant qu’il existe encore des chiffres à considérer dans a, on effectue (la première fois, ivaut 2, puis
il est incrémenté à chaque fois de 1) :
(a) On considère aile nombre formé des chiffres de ri−1suivis du premier chiffre de aqui n’ait pas
encore été considéré.
(b) On effectue la division euclidienne de aipar bdont le quotient est noté qiet dont le reste est
noté ri.qiest le ième chiffre du quotient (d’où encore l’utilité de l’écriture au brouillon de la
table des multiples de b).
4. Les restes r1,r2,... sont appelés les restes partiels et les quotients q1,q2,... sont appelés les
quotients partiels (ce sont des chiffres). Le reste de la division euclidienne de apar best le dernier
reste partiel obtenu ; le quotient de cette division est le nombre formé des quotients partiels.
Exercice 4 [Créteil, Paris, Versailles (2004)] Sachant que
36202744 = 9658 ×3748 + 4560,
donner le quotient de la division euclidienne de 36202744 par 3748.
Solution 4 On peut écrire
36 202 744 = 3 748 ×9 658 + (3 748 + 812) = 3 748 ×9 659 + 812.
Le quotient de la division euclidienne de 36 202 744 par 3 748 vaut donc 9 659 et le reste 812 (on a bien
812 <3 748).
Exercice 5 [Besançon (1998)] Quels sont les entiers naturels aet btels que a2−b2= 255 ?
Solution 5 De a2−b2= (a−b)×(a+b), on déduit que, comme a2−b2>0 et a+b > 0, a−b > 0.
D’autre part, de a2−b2= (a−b)×(a+b) et comme aet bsont des entiers naturels, on déduit aussi
que a−b(qui est positif d’après la remarque précédente) et a+bsont aussi des entiers naturels.
De (a−b)×(a+b) = 255, on déduit que 255 s’écrit donc comme produit de deux entiers naturels (à
savoir, comme produit de a−bpar a+bavec a−b < a +b).
Cependant, on ne peut écrire 255 comme produit de deux entiers naturels que de quatre façons quand
on impose que le facteur de gauche est inférieur au facteur de droite et chacune de ces façons nous fournit
une solution :
5