— Quel est l’ensemble des diviseurs de 48 ?
— Soit nun entier naturel. 0 est-il un multiple de n?
— Soit nun entier naturel non nul. 0 est-il diviseur de n?
Solution 1
— Non, 10 = 2,5×4, mais 2,5 n’est pas un entier naturel.
— Oui, car 25 = 5 ×5, et 5 est bien un entier naturel.
— Oui, car 252 = 28 ×9 et 28 est bien un entier naturel.
— Non, car 9 = 1
2×18 et 1
2n’est pas un entier naturel.
— 0, 5, 10, 15, 20, ... Cet ensemble est de cardinal infini.
— 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, et 48. Cet ensemble est de cardinal fini.
— Oui, car 0 = 0 ×n.
— Non, car 0 ×k= 0 6=n.
Théorème 2.1
Propriété additive : si aest multiple de cet best multiple de c,
— alors a+best multiple de c,
— et si, de plus, a≥b, alors a−best multiple de c.
Exemple : 49 = 7 ×7 et 21 = 7 ×3 sont multiples de 7, donc 49 + 21 = 70 et 49 −21 = 28 sont aussi
multiples de 7 (en effet, 70 = 7 ×10 et 28 = 7 ×4).
Démonstration
Il existe un entier naturel ktel que a=k×c(car aest multiple de c). Il existe un entier naturel ltel que
b=l×c(car best multiple de c). Ainsi, par somme, a+b=k×c+l×c= (k+l)×c. Puis, a+best
multiple de c(on a pu trouver un entier naturel k+lqui, multiplié par c, donne a+b). Et, par différence,
a−b=k×c−l×c= (k−l)×c. Puis, a−best multiple de c(on a pu trouver un entier k−lqui, multiplié
par c, donne a+b; et k−l≥0 car a−b > 0 et c≥0 donnent k−l≥0 d’après a−b= (k−l)×c).
Théorème 2.2
Propriété de transitivité : si aest multiple de bet best multiple de c, alors, aest multiple de c.
Exemple : 63 = 21 ×3 est multiple de 21 et 21 = 7 ×3 est multiple de 7, donc 63 est multiple de 7 (en
effet, 63 = 7 ×9).
Démonstration
Il existe un entier naturel ktel que a=k×b(car aest multiple de b). Il existe un entier naturel ltel
que b=l×c(car best multiple de c). Ainsi, par substitution, a=k×b=k×(l×c) = (k×l)×c(par
associativité de la multiplication). Puis, aest multiple de c(on a pu trouver un entier naturel k×lqui,
multiplié par c, donne a).
Exercice 2
2