Cours de Mathématiques 2

Cours de Math´ ematiques 2
premi` ere partie : Analyse 2
DEUG MIAS 1eann´ ee, 2esemestre.
Maximilian F. Hasler
D´ epartement Scientifique Interfacultaire
B.P. 7209 — F–97275 SCHOELCHER CEDEX
Fax : [phone] — e-mail : [email protected]
version du 21 avril 2002
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Table des mati` eres
1 Equations diff´ erentielles 3
1.1 Introduction — d´ efinitions g´ en´ erales .................. 3
1.2 Equations diff´ erentielles du 1er ordre ................. 3
1.2.1 Eq.diff. ` a variables s´ epar´ ees .................. 4
1.2.2 D´ etermination de la cte. d’int´ egration ............. 5
1.3 Equations diff´ erentielles lin´ eaires .................... 5
1.3.1 Principe de superposition .................... 6
1.4 Equations diff´ erentielles lin´ eaires du 1er ordre ............. 7
1.4.1 Structure de l’ens. de solutions ................. 7
1.4.2 R´ esolution de l’´ equation homog` ene associ´ ee ......... 7
1.4.3 Solution particuli` ere par variation de la constante ....... 8
1.5 Equations diff´ erentielles lin´ eaires du 2eordre ` a coefficients constants 10
1.5.1 D´ efinitions ........................... 10
1.5.2 R´ esolution de l’´ equation homog` ene associ´ ee (E.H.)..... 11
1.5.3 Solution particuli` ere ` a(E)................... 12
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1 Equations diff´ erentielles
1.1 Introduction — d´ efinitions g´ en´ erales
Une ´ equation diff´ erentielle (ED) d’ordre nest une ´ equation faisant intervenir une
fonction yainsi que ses d´ eriv´ ees y(k)jusqu’` a l’ordre n. Par exemple, une telle ´ equation
pourrait ˆ etre
y0(t) = 2.y(t)ou y=1
2x2y00 −5x .
Dans le 2e exemple, il est sous-entendu que yest fonction de x, ou plutˆ ot que xsignifie
l’application id = (x7→ x): c’est en effet une ´ egalit´ e entre fonctions.
D´ efinition 1 L’´ equation diff´ erentielle d’ordre nla plus g´ en´ erale peut toujours
s’´ ecrire sous la forme
F(x, y, y0, ..., y(n)) = 0 .(ED)
ou Fest une fonction de (n+ 2) variables. Nous ne consid´ erons que le cas ou
xet ysont ` a valeurs dans R. Une solution ` a une telle ´ equation diff´ erentielle
sur l’intervalle I⊂Rest une fonction y∈Cn(I;R)(une fonction y:I→R
qui est nfois continˆ ument d´ erivable) telle que pour tout x∈I, on ait
F(x, y(x), y0(x), ..., y(n)(x)) = 0.
Exercice 1.1.1 V´ erifier que
–y(t) = C e2test une solution ` a la 1e ´ equation sur tout R, pour tout C∈Rfix´ e;
–y(x) = m x2−5xest une solution ` a la 2e ´ equation, sur R, pour tout m∈R.
Remarque 1.1.1 Pour des raisons qui seront d´ evelopp´ es dans la suite, on dit aussi
“int´ egrer l’ED” au lieu de “trouver une solution ` a l’ED”.
Dans ce chapitre, on donnera des m´ ethodes pour trouver l’ensemble de toutes les
solutions ` a une certaine classe d’´ equations diff´ erentielles.
1.2 Equations diff´ erentielles du 1er ordre
D´ efinition 2 Une ´ equation diff´ erentielle est du 1er ordre si elle ne fait interve-
nir que la premi` ere d´ eriv´ ee y0.
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1.2.1 Eq.diff. ` a variables s´ epar´ ees
D´ efinition 3 Une ´ equation diff´ erentielle de 1er ordre est dite ` a variables
s´ epar´ ees si elle peut s’´ ecrire sous la forme
f(y).y0=g(x) (vs)
Une telle ´ equation diff´ erentielle peut s’int´ egrer facilement : En effet, on ´ ecrit y0=
dy
dx, puis, symboliquement,
f(y).dy=g(x).dx⇐⇒ Zf(y).dy=Zg(x).dx+C .
(On ´ ecrit ici explicitement la constante d’int´ egration arbitraire C∈R(qui est d´ ej` a
implicitement pr´ esente dans les l’int´ egrales ind´ efinies) pour ne pas l’oublier.)
Il s’agit donc d’abord de trouver des primitives Fet Gde fet de g, et ensuite
d’exprimer yen terme de x(et de C) :
F(y) = G(x) + C⇐⇒ y=F−1(G(x) + C).
C’est pour cette raison que l’on dit aussi «int´ egrer »pour «r´ esoudre »une ´ equation
diff´ erentielle.
Exemple 1.2.1 R´ esoudre sur I= ]1,∞[l’´ equation diff´ erentielle xy0ln x= (3 ln x+
1)y. On peut «s´ eparer les variables»(xet y) en divisant par yx ln x, ce qui est permis
ssi y6= 0 (car xln x > 0d’apr` es l’´ enonc´ e). On a
y0
y=3 ln x+ 1 xln x⇐⇒ Z1 ydy=Z3 ln x+ 1 xln xdx+C
avec C∈R, soit (3 ln x+1
xln x=3 x+1 xln x)
ln |y|= 3 ln |x|+ ln |ln x|+C0= ln x3ln x+C0.
(On a simplifi´ eln |...|= ln(...)en utilisant que x∈I⇐⇒ x > 1.)
En prenant l’exponentielle de cette equation, on a finalement
y=C2x3ln x
avec C2∈R: en effet, le signe de C2(= ±eC0)tient compte des deux possibilit´ es
pour |y|, et on v´ erifie que C2= 0 =⇒y= 0 est aussi solution (mais pour laquelle le
calcul pr´ ec´ edent, ` a partir de la division par y, n’est pas valable.)
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1.2.2 D´ etermination de la cte. d’int´ egration
La constante d’int´ egration Cest fix´ ee lorsqu’on demande que pour un x=x0
donn´ ee, on ait une valeur donn´ ee de y(x) = y(x0) = y0. (On parle d’un probl` eme aux
valeurs initiales.)
On arrive au mˆ eme r´ esultat en travaillant d` es l’int´ egration de l’´ equation diff´ erentielle
avec des int´ egrales d´ efinis :
f(y).y0=g(x)∧y(x0) = y0⇐⇒ Zy
y0
f(η).dη=Zx
x0
g(ξ).dξ .
La fonction yainsi obtenue est directement telle que y(x0) = y0, sans passer par la
d´ etermination de la constante d’int´ egration.
1.3 Equations diff´ erentielles lin´ eaires
D´ efinition 4 Une ´ equation diff´ erentielle d’ordre nest lin´ eaire ssi elle est de
la forme
L(y) = f(x) (∗)
avec
L(y) = a0(x)y+a1(x)y0+a2(x)y00 +· · · +an(x)y(n).
Proposition 5 L’application L:Cn→ C0qui ` a la fonction yassocie la nou-
velle fonction L(y), est une application lin´ eaire.
D´ emonstration : En effet,
L(y+z) =
n
X
i=0
ai(x)(y+z)(i)
=
n
X
i=0
ai(x)y(i)+
n
X
i=0
ai(x)z(i)
=L(y) + L(z)
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