Polycopié complémentaire de Physique UE 3.1

Stage de Pré-Rentrée du Tutorat
26 août 2013 – 6 septembre 2013
Polycopié complémentaire de Physique
UE 3.1 : Organisation des appareils et systèmes
Fiches de cours
Enoncés des exercices
Ne peut être vendu ou utilisé dans un but commercial sous peine de poursuite.
Ce fascicule de cours et d’exercices a été entièrement réalisé par le Tutorat
Ni les professeurs, ni la faculté ne pourront être tenus responsables de la validité des
informations qu'il contient, même en cas d'une éventuelle relecture par un professeur.
1
Avant-propos – à lire attentivement
En raison d’un changement de programme en physique pour l’année 2013-2014 que
nous n’avons appris que tardivement, nous avons dû modifier les cours de physique du
Stage de Pré-Rentrée après que les polycopiés aient été imprimés.
Vous avez donc entre les mains un complément du polycopié d’UE 3.1.
A noter que les chapitres 2 et 4 du polycopié principal sont remplacés respectivement
par les chapitres 6 et 7 du polycopié complémentaire.
Les chapitres de physique traités durant le Stage de Pré-Rentrée sont donc : rappels de
mathématiques et de physique ; magnétisme ; résonance magnétique nucléaire et
radioactivité.
Un grand merci à Ali, Adrien et Kévin pour la rédaction de ce polycopié à la dernière minute !
Sommaire
Chapitre n°6 : Résonance magnétique nucléaire (RMN)
-
Cours
Exercices
Page 3
Page 11
Chapitre n°7 : Radioactivité
-
Cours
Exercices
Page 15
Page 26
Correction détaillée des exercices
Page 31
2
Chapitre n°6 : Résonance magnétique nucléaire (RMN)
Cours
A première vue, ce chapitre peut paraitre d’une grande complexité. Mais en réalité, il s’agit jusqu’à
maintenant du chapitre de Physique le plus abordable le jour du concours.
Il y a quelques notions à comprendre et connaître, mais les exercices proposés sont rarement
complexes.
PARTIE 1 : SPIN ET MOMENT MAGNETIQUE
I)
Rappel : moment cinétique et moment magnétique
Le moment cinétique : En mécanique classique, le moment cinétique est pour un mouvement
circulaire l’analogue de ce que la quantité de mouvement représente pour un mouvement de
translation.
A même titre que la quantité de mouvement, il s’agit d’une
grandeur vectorielle, possédant les caractéristiques suivantes :
 Direction : axe de rotation de la particule concernée
 Sens : orienté de façon à ce que le mouvement se déroule
dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d’une montre)
 Norme : dépend du rayon du mouvement rotatoire, de la
masse de la particule concernée et de sa vitesse
Le moment cinétique est donc définit de la façon suivante : ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Le moment magnétique : Voir cours sur le magnétisme.
Le moment magnétique est définie de la manière suivant : ⃗⃗
II)
, étant le vecteur surface.
Relation entre le moment cinétique
Restons dans une conception simplement mécanistique du problème.
Une particule chargée en rotation, ayant un mouvement rotatoire disposera donc d’un moment
magnétique ⃗⃗ et d’un moment cinétique ⃗ .
Expression de ⃗⃗⃗ :
⃗⃗
⃗⃗⃗
Or,
3
Avec T le temps qu’il faut à la particule pour faire un tour complet, q la
charge électrique de la particule, v sa vitesse de déplacement et R la
distance entre la particule et son centre de rotation.
Donc :
⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Expression de ⃗ :
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
On peut donc établir une relation entre le moment
cinétique et le moment magnétique, on a donc :
⃗⃗
⃗
donc ⃗⃗
⃗
⃗ avec
le rapport
gyromagnétique de la particule considérée.
III)
Généralisation : le moment cinétique de Spin et le moment
magnétique de Spin
En plus du moment cinétique et magnétique dû à l’orbite de la particule, il existe un moment
cinétique intrinsèque à la particule : il s’agit du moment cinétique de spin noté .
Cette même particule dispose de la même façon d’un moment magnétique de spin noté .
Nous admettrons que le résultat précédent est vérifié dans ce cas, c’est-à-dire que :
Nous conséquent, nous considérerons par la suite que parler de moment cinétique revient à parler
de moment magnétique !
IV)
Cas du proton
Le proton présente un grand intérêt en RMN, car celui-ci ne présente que 2 états de spin possible,
et est extrêmement présent dans la matière vivante.
On définit deux états de spin pour le proton :

le spin « up » :

le spin « down » :
PARTIE 2 : MOMENT MAGNETIQUE SOUMIS A UN CHAMP
D’INDUCTION MAGNETIQUE
Dans des conditions normales, il y a à peu près autant de Spin « up » que de Spin « down ».
Toutefois, si on soumet une population de noyaux à un champ d’induction magnétique ⃗ , les Spin
4
« up » deviennent plus majoritaires que le Spin « down », car ceux-ci sont énergiquement
favorables (cf III.c.).
I)
La précession de Larmor
Nous allons maintenant nous intéresser au comportement d’une particule
dans un champ d’induction magnétique, noté ⃗ .
Nous considérerons une particule de moment magnétique ⃗⃗ , ayant une
composante selon l’axe des z que nous noterons
et une transversale
⃗⃗
que nous noterons
:
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗ sera quand à lui orienté uniquement le long de l’axe des z : ⃗
⃗⃗⃗
Comme vu dans le chapitre précédent, la particule subit un couple tel
⃗⃗⃗ ⃗
que ⃗
Ce couple a pour effet d’entrainer une rotation du moment cinétique de la particule, et donc le
moment magnétique.
Il se déroule une précession de ⃗⃗ autour de ⃗ , il s’agit de la précession de Larmor.
Celle-ci se déroule avec une pulsation
, il s’agit de la pulsation de Larmor.
| |
De la même façon on définit la fréquence de Larmor telle que
|
|
Démonstration :
Nous noterons le moment cinétique de la particule, comme est directement proportionnel à ⃗⃗ , on
⃗⃗⃗
peux écrire de la même manière :
⃗⃗⃗⃗
Appliquons le théorème du moment cinétique :
⃗ ⇔
(
⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⇔ ( ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗
Intéressons nous à la norme de chaque composante de :

Tout d’abord, on projette selon ⃗⃗⃗ :
⃗⃗⃗
On a donc

( ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ⇔
( ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗
donc
Ensuite, on projette selon ⃗⃗⃗⃗ :
⃗⃗⃗⃗
On a donc
( ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗ ⇔
donc
5
( ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ )
On entrevoit donc bien un mouvement circulaire.
Mettons en évidence ce mouvement, pour cela intéressons nous aux variations du vecteur ⃗⃗⃗ :
A n’importe quel temps donné, il existe un angle
vecteur ⃗⃗⃗ soit tel que :
⃗⃗⃗
( ( )) ⃗⃗⃗⃗
(
tel que le
( ( )) ⃗⃗⃗⃗ )
Nous supposerons cet angle variable dans le temps , ce sera
effectivement le cas si la rotation se déroule dans le plan (Oxy).
On a alors :
(Rappel : (
Or,
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
(
( ) ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
( ) ⃗⃗⃗⃗ )
( ) ⃗⃗⃗⃗
(
( ))
)
( ) ⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗
(
( ) ⃗⃗⃗⃗
( ) ⃗⃗⃗⃗ )
On peut donc poser :
(
( ) ⃗⃗⃗⃗
( ) ⃗⃗⃗⃗ )
(
( ) ⃗⃗⃗⃗
( ) ⃗⃗⃗⃗ )
Cette grandeur est notée , on la nomme la pulsation de Larmor.
Cela représente la distance (en radian) parcourue par le moment magnétique lors d’une rotation de
1 seconde.
II)
La résonance magnétique
Ainsi, nous venons de voir l’existence que le moment magnétique d’une particule chargée tourne
autour d’un champ d’induction magnétique lorsqu’il y est soumis.
Maintenant, nous alors voir ce qui se passe lorsque tout en soumettant la particule à un champ
d’induction magnétique ⃗ , nous la soumettons à un champ tournant ⃗⃗⃗⃗ orthogonal à ⃗⃗ .
a. Le référentiel tournant
Pour répondre à la question, nous serons amenés à travailler dans un référentiel tournant.
Raisonnons sur les conséquences de ce dernier.
Une personne située dans un manège tournant aura l’impression que la personne en face d’elle est
immobile alors qu’un observateur extérieur contrastera que cette dernière se déplace avec une
pulsation donnée.
Ainsi, lorsqu’on observe un mouvement rotatoire, de pulsation , en étant situé dans un référentiel
tournant de pulsation , on observe un mouvement de pulsation :
6
Si
, alors on observe une absence de mouvement (cas du manège).
Si nous nous plaçons dans un référentiel de pulsation, nous observons alors une précession de ⃗⃗
non pas de pulsation
mais de pulsation
!
Tout se déroule comme si le champ magnétique, de norme telle que
était moins
important.
On aurait donc :
(Rappel,
est dans notre cas négatif)
comme le champ dû à ⃗⃗ apparent dans le référentiel tournant.
On considère
b. La résonance
Considérons l’onde ⃗⃗⃗ telle que ⃗⃗⃗
(
( )⃗⃗⃗⃗
( )⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗ ,
tournant dans le même sens que le moment magnétique, orthogonale à ⃗ et
de pulsation .
On se place alors dans le référentiel de ⃗⃗⃗ , on observe :


⃗⃗⃗ orienté selon ⃗⃗⃗⃗ tel que : ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ orienté selon ⃗⃗⃗ tel que : ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Donc un champ magnétique résultant ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ainsi, si on prend ⃗⃗⃗ tel que
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
, on annule ⃗⃗⃗⃗ , on a donc : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Il se déroule alors le même phénomène qu’il se déroulait lorsque qu’il n’y
avait que ⃗ : le moment magnétique précesse cette fois-ci autour de
⃗⃗⃗⃗ , il s’agit de la résonance.
Cette précession se fait avec une pulsation
, il s’agit de la pulsation de Rabi
Ainsi, en un temps t, le moment magnétique aura tourné autours de ⃗⃗⃗ d’un angle :
c. D’un point de vue quantique
Lorsque de la résonance, le spin passe de son état up, fondamental, à un état down.
⃗
⃗
(
) ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
7
⃗
⃗
(
) ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Il a donc absorbé un photon d’énergie :
PARTIE 3 : RELAXATION
Si on coupe ⃗⃗
I)
On s’intéresse à une population de noyaux initialement magnétisée par ⃗ , et on essaie de mettre en
évidence ce qui se déroule lorsqu’on coupe le champ ⃗ .
Initialement, du fait de la présence de ⃗ , il y a plus de spin « up » que « down ».
Lorsqu’on coupe ⃗ , les spins « down » ont la même probabilité de se retourner en « up », que les
« up » en « down » car aucun des deux états n’est énergétiquement plus favorable que l’autre.
On peut donc considérer sur un temps infinitésimal qu’il existe une valeur tel que :
probabilité qu’un spin se retourne.
Soit
le nombre de spins « up » par unité de volume et
(
Soit :
)
soit la
celui de spin « down », on a :
(
et
)
La magnétisation est définit par la somme des moments magnétiques par unité de volume.
Soit :
⃗⃗⃗
(
)⃗⃗⃗
On a donc :
⃗⃗⃗
)⃗⃗⃗
(
( (
) ⃗⃗⃗
(
)
)) ⃗⃗⃗
(
)⃗⃗⃗
(
Cette constante
existe, il s’agit de
,
caractérisant la relaxation longitudinale.
dépend du type de noyau et de son environnement.
⃗⃗⃗⃗⃗
On a donc dans ce cas :
II) On maintient ⃗⃗
8
⃗⃗⃗⃗⃗
soit ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Dans ce cas de figure, on s’intéresse à la situation où on a :

Dans un premier temps retourné tous les moments magnétiques d’un angle : ils sont donc
tous dans le plan (Oxy)

Dans un second temps, on coupe le champ ⃗⃗⃗ excitateur, mais on maintien ⃗
Chaque champ magnétique précesse à une vitesse différente car le
champ magnétique que chacun perçoit est différent du fait de
l’environnement de chaque particule.
Le signal est ainsi très rapidement brouillé.
La magnétisation transverse décroit avec le temps, du fait de la
relaxation, selon l’équation différentielle suivante :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
est le temps de relaxation transversale, il dépend du noyau considéré et de son environnement.
de façon générale on a
III)
Les équations de Bloch
De façon générale, ce qui va nous intéresser, c’est le comportement de relaxation des noyaux après
avoir été renversé par un champ tournant (cas du II.).
Ce comportement est plus généralement décrit par les équations de Bloch :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ne vous inquiétez pas, vous n’avez pas à savoir résoudre ces équations !
Voici par contre quelques résultats que vous devez toujours avoir sur vous :

Après une impulsion de :
o

Relaxation longitudinale :
o Relaxation transverse :
Après une impulsion de :
( )
(
( )
9
)
o
Relaxation longitudinale :
o
Relaxation transverse :
Une expression générale de
( )
(
)
( )
( ) est :
( )
(
)
Avec
valeur initiale de l’aimantation (avant toute impulsion),
et
respectivement valeurs
de l’aimantation longitudinale et de l’aimantation transversale au début de la relaxation (juste après
l’impulsion).
Cette dernière expression est utile dans le cas d’une impulsion d’un angle quelconque. Il vous faudra
alors déterminer à partir des conditions initiales
et
.
Les illustrations de ce cours sont issues du diaporama du Professeur Philippe Jacquier
10
Chapitre n°7 : Résonance magnétique nucléaire (RMN)
Exercices
Tous les exercices seront traités en TD.
Données:
Constante de Planck :
Exercice 1 : Le phénomène de résonance (*)
Rédacteurs : Guillaume et Léon
On place du
, de spin ½, dans un champ magnétique ⃗⃗⃗⃗
On donne, pour le carbone 13,
1) Calculer
⃗⃗⃗
.
la fréquence de précession du moment magnétique nucléaire
autour de ⃗⃗⃗⃗
A)
B)
C)
D)
E)
2) Calculer
l’écart d’énergie potentielle des noyaux entre l’état excité et l’état fondamental
A)
B)
C)
D)
E)
On applique ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ une onde radiofréquence perpendiculaire à ⃗⃗⃗⃗ et de fréquence pendant un
temps
afin de faire basculer l’aimantation globale ⃗⃗ dans le plan transverse. Ce champ
transverse vaut en norme 1,5 T.
3) Quel est la valeur de
?
A)
B)
C)
D)
E)
Donc au début de la relaxation, l’aimantation ⃗⃗ (
)‖
‖ ⃗⃗ (
) est perpendiculaire à ⃗⃗⃗ et vaut
11
4) Sachant qu’à
déduire
:
l’aimantation longitudinale vaut
(
)
, alors en
A)
B)
C)
D)
E)
Exercice 2 : Détermination d’un rapport gyromagnétique (*)
Rédacteur : Ali
Nous nous intéressons au rapport gyromagnétique d’une population de protons.
Nous considérerons que leur temps de relaxation longitudinale (T1) est de 10s et celui de relaxation
transverse (T2), de 3s.
Ces derniers sont tout d’abord soumis à un champ d’induction magnétique.
Puis, dans un second temps, on applique une onde radiofréquence (RF) de fréquence
transverse est
.
. Le champ
Des expériences montrent que, au temps t = 2,6 ns, la composante longitudinale de l’aimantation
vaut, en norme, la moitié de sa valeur initiale, initialement orientée le long de l’axe des z.
1) Quelles sont les valeurs possibles pour le rapport gyromagnétique ?
A)
B)
C)
D)
E)
A l’instant t = 2,6 ns, on stoppe l’excitation puis on mesure le temps qu’il faut à l’aimantation pour
( )
qu’elle soit telle que
.
étant la valeur initiale (avant toute excitation) de l’aimantation.
On trouve
.
2) Quelle était la bonne valeur du rapport gyromagnétique ?
A)
B)
C)
D)
E)
12
Exercice 3 : Calcul des temps de relaxation (*)
Rédacteur : Ali
Nous nous intéressons maintenant au temps de relaxation d’une population de noyaux d’hydrogène.
Pour cela, nous réalisons une impulsion d’angle , suite à quoi nous laissons le système relaxer.


Au bout d’un temps
On trouve : ( )
Au bout d’un temps
( )
, nous mesurons la valeur de chaque composante de l’aimantation.
( )
et
, nous en mesurons la composante transversale :
1) Concernant le temps de relaxation T2 :
A)
B)
C)
D)
E)
2) Concernant
:
A)
B)
C)
D)
E)
3) Concernant le temps de relaxation
:
A)
B)
C)
D)
E)
Exercice 4 : Un autre méthode de calcul des temps de relaxation (**)
Rédacteur : Guillaume et Tunde
On place une quantité par unité de volume de protons dans un champ magnétique
selon ⃗⃗⃗ . A l’équilibre, on a ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ (en
).
On donne
13
A
A
on envoie une onde radiofréquence d’égalisation de population.
( )
on mesure l’aimantation transverse
1) Calculer T2
A)
B)
C)
D)
E) Aucune proposition exacte
A
A
A
on envoie une onde radiofréquence d’égalisation de population.
on envoie une autre onde radiofréquence d’égalisation de population
(
)
on mesure
2) Calculez T1 :
A)
B)
C)
D)
E)
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Chapitre n°7 : Radioactivité
Cours
PARTIE 1 : UN PEU D’ATOMISTIQUE
Cette partie étant déjà abordée en Chimie Générale, sera par conséquent traitée de façon brève.
I) Composition d’un atome
Un atome, dont le noyau est noté


est formé de :
Un noyau, contenant un nombre A de nucléons (protons + neutrons) :
o Z protons chargés positivement
o A-Z neutrons
D’un cortège composé de Z électrons, chargés négativement, gravitant autour du noyau
La distance entre le noyau et ses électrons est très grande (10 000 plus grande que le rayon du
noyau), par conséquence l’atome est composé principalement de vide ! On dit que la matière est
lacunaire.
L’atome est quant à lui neutre, c’est pourquoi il y a autant de protons que d’électrons.
La perte d’un électron formera un cation (ion chargé positivement), et le gain d’un électron formera
un anion.
Stabilité du noyau :
Le noyau est donc composé d’un regroupement de charges positives, les protons.
Celui-ci devrait donc, en considérant l’interaction électromagnétique éclater (deux charges positives
ayant tendance à se repousser).
La stabilité du noyau s’explique donc par une force supplémentaire qui intervient : l’interaction
forte. Il s’agit d’une force attractive agissant à courte portée, liant les protons et les nucléons entre
eux.
II) Eléments chimiques
Un nucléide est un type de noyau atomique caractérisé par le nombre de proton Z et de neutrons AZ qu’il contient.
On le note .
Z est appelé le numéro atomique, c’est sa valeur qui détermine l’élément chimique. On l’appelle
aussi le nombre de charge.
A est le nombre de nucléon, on l’appelle aussi nombre de masse.
Deux nucléides possédant le même numéro atomique Z, mais un nombre de nucléons A différent
sont appelés des isotopes.
15
Deux nucléides possédant le même nombre de nucléons A, mais un numéro atomique Z différent
sont appelés des isobares.
Deux nucléides possédant le même nombre de neutrons (A-Z) sont appelés des isotones.
Deux nucléides possédant un nombre de protons (Z) et de neutrons (A-Z) inversés sont appelés des
noyaux miroirs.
Enfin, parfois un élément se trouve dans un état excité, c’est-à-dire qu’il contient plus d’énergie que
dans son état fondamental. C’est un isomère nucléaire.
Dans ce cas, celui-ci est noté
, il s’agit d’un isomère nucléaire de .
III) Particules élémentaires et leurs antiparticules
a) Les particules élémentaires
Particule
Notation
Proton
Neutron
Electron
Neutrino
Antineutron
̅
Positon (positron)
̅
Antineutrino
̅
b) L’antimatière
Particule
Notation
Antiproton
̅
c) Quelques valeurs utiles
Charge électrique d’un électron :
Charge électrique d’un proton :
Charge électrique d’un neutron :
Charge électrique d’un neutrino :
Masse d’un électron :
Masse d’un proton :
Masse d’un neutron :
Masse d’un neutrino :
d) De nouvelles unités pour travailler
Vu l’ordre de grandeur des valeurs manipulés, des unités plus commodes sont apparues :
L’unité de masse atomique :
16
Photon
L’unité de masse atomique, notée u, est comme son nom l’indique une unité de masse.
Celle-ci est définit telle comme le 1/12e de la masse contenue dans un atome de carbone 12, non lié,
au repos et dans son état fondamental.
(
)
Soit :
On a alors :
L’électron volt :
L’électron volt, noté eV, est une unité d’énergie.
1eV correspond à l’énergie accumulée par un électron, initialement au repos, accéléré sous une
différence de potentiel de 1V.
On a
IV) Equivalence masse - énergie
Tout système au repos de masse m possède une énergie de masse, telle que :
Avec c la célérité de lumière
Ainsi, dans suite du cours, il nous assimilerons directement la masse à de l’énergie.
Calcul de l’énergie contenue dans 1u :
(
On a donc :
)
⇔
PARTIE 2 : RADIOACTIVITE
I) Energie de liaison et défaut de masse
a) Le défaut de masse
Prenons un noyau, de
Celui-ci a une masse de
.
Que trouve-t-on si nous essayons de calculer la masse de ses composants séparément ?
17
Soit un total de
On constate que le noyau est plus léger que ses constituants.
En d’autres termes, pour se former, il a perdu de l’énergie.
De façon générale, si nous notons
(
)
(
le défaut de masse, celui-ci s’exprime :
)
b) Energie de liaison
De la même façon, on définit alors l’énergie de liaison, noté .
Il s’agit de l’énergie à fournir à un noyau au repos pour le décomposer en tous ses nucléons séparés
et également au repos.
On a
Ou encore :
(
)
(
)
c) Attention à la notation
Attention, il convient dès maintenant de distinguer 2 notations :

La masse nucléaire, notée m, qui correspond à la masse d’un noyau et qui s’exprimer :
(
)
( )

La masse atomique, notée M, qui prend en compte la masse du noyau, celle des électrons et
l’énergie de liaison des électrons
(
)
(
)
Note : l’énergie de liaison des électrons est négligeable.
d) L’excès de masse
On définit aussi l’excès de masse d’un noyau
, noté , de la façon suivante :
étant le nombre de nucléons multiplié par une unité de masse atomique convertit dans la
même unité énergétique que
(typiquement le MeV).
Pour mieux comprendre :
représentant environs la masse d’un nucléon de Carbone 12, celle-ci
prend en compte le défaut de masse par nucléon (
) du Carbone 12.
En d’autres termes, un nucléon libre n’a pas la même masse qu’un nucléon de Carbone 12. Il en est
de même pour tout nucléon d’atomes différents du Carbone 12.
18
Ainsi, l’excès de masse d’un noyau, consiste à caractériser la différence d’énergie de liaison d’un
noyau, en le comparant à celle du Carbone 12.
II) Stabilité des noyaux
a) Vallée de « stabilité »
Dans un noyau, 2 forces sont en compétition :


L’interaction électrostatique, Coulombienne, qui est répulsive
L’interaction forte, qui est attractive
Lorsque le noyau est de petite taille (Z < 20) :
L’interaction électrostatique concerne peu de particules et la zone d’interaction est petite.
Si bien qu’un nombre de neutrons (que nous noterons N) tel que N = Z suffit à maintenir la stabilité
du noyau.
Lorsque le noyau est de grande taille :
L’importance de l’interaction électrostatique augmente. De plus, l’interaction forte étant de courte
portée, elle ne peut maintenir la cohésion dans tout le noyau.
Il est alors nécessaire que le nombre de neutrons soit tel que N > Z afin de maintenir la stabilité.
On obtient donc la vallée de stabilité suivante :
19
b) Energie de liaison par nucléon
Une façon de quantifier la stabilité d’un noyau est le calculer de l’énergie de liaison par nucléon,
notée
Sensiblement constante, elle est dans les alentours de 8MeV/Nucléon.
Les noyaux situés à gauche, trop légers, auront tendances à se stabiliser par fusion.
Ceux situés à droite, trop lourds, se stabiliseront par fission.
III)
Les lois de conservation
Ainsi, du fait de leur relative instabilité, certains noyaux seront amenés à se stabiliser au travers de
réactions nucléaires.
Nous allons donc exposer ici les lois de conservation qui régissent toutes les réactions nucléaires.
Elles sont nombre de quatre :




Conservation de la charge électrique (Z)
Conservation du nombre de nucléons (A)
Ces deux lois sont connues sous le nom de Loi de Soddy
Conservation de l’énergie totale
Conservation de la quantité de mouvement
Considérons la réaction suivante :
 Conservation de la charge électrique et du nombre de nucléons :
Conservation de la charge électrique :
Conservation du nombre de nucléons :
20
 Conservation de l’énergie totale :
On a conservation de l’énergie entre l’état initial et final :
Or, lors d’une transformation nucléaire, la différence :
(
)
Par conséquent, pour respecter la conservation de l’énergie, on note Q tel que :
(
Avec
(
)
)
On peut aussi calculer Q à l’aide des excès de masse :
Si Q > 0 : la réaction libère de l’énergie, elle est dite exothermique.
Si Q < 0 : la réaction consomme de l’énergie, elle est dite endothermique.
De quoi est composé Q ?
Il contient l’énergie cinétique mise en jeu lors de la réaction :
Si on se place dans le référentiel au repos du réactif, il correspond à l’énergie cinétique emportée
par les produits.
Si bien que :
( )
( )
( )
 Conservation de la quantité de mouvement :
On a lors de la réaction une conservation de la quantité de mouvement :
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
Soit en coordonnées cartésiennes :
{
PARTIE 3 : TRANSFORMATIONS RADIOACTIVES
Certains radionucléides se transforment de façon aléatoire, spontanée et inéluctable.
Ces réactions sont indépendantes des conditions extérieurs et des combinaisons chimiques.
21
I)
Radioactivité alpha
Emission d’une particule lourde, alpha, par un radionucléide donnant naissance à un radionucléide
plus léger.
La particule alpha est un noyau d’Hélium.
Bilan de la réaction :
(
Bilan énergétique :
)
(
(
)
)
( )
( )
( )
( )[
]
Démonstration
Conservation de la quantité de mouvement : ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
On projette le long de l’axe des x :
⇔
⇔
(
Conservation de l’énergie :
A priori :
( )
)
( )
Donc :
⇔
[
]
[
]
Soit :
( )
On constate que :
 La particule alpha emporte la majorité de l’énergie cinétique, du fait de la différence de masse entre
l’Hélium et Y (environ 4/100)
 L’énergie cinétique emportée par est constante et déterminée
Hors, des expériences montrent que l’énergie cinétique emportée par est quantifiée, par conséquent, une
part de l’énergie qu’elle doit emportée est émise sous forme de photon, d’énergie
( )
En réalité, le noyau fils Y est libéré dans un état excite, il émet alors par transition énergétique un ou
plusieurs photons.
22
II)
Radioactivité
Emission d’un électron, par un radionucléide donnant naissance à un nouveau radionucléide.
̅
Bilan de la réaction :
Bilan énergétique :
( )
(
( )
(
)
(
)
( )
(̅)
)
( )
( ̅ ) ou
(
)
( )
Cette radioactivité s’observe chez les isotopes possédant un excès de neutrons par rapport à
l’isotope stable.
Tout se passe comme si le neutron laissait sa place à un proton :
Rappel : m est la masse nucléaire et M la masse atomique.
Ici si on calcule avec la différence d’énergie avec la masse nucléaire, il faudra prendre en compte la
masse de l’électron libéré.
Si on utilise les masses atomiques, il ne faudra pas la prendre en compte.
III)
Radioactivité
Emission d’un positron, par un radionucléide donnant naissance à un nouveau radionucléide.
̅
Bilan de la réaction :
Bilan énergétique :
( )
ou
(
)
(
(
)
(
)
(
)
( )
)
( )
( )
( )
( )
Tout se passe comme si le proton laissait sa place à un neutron :
̅
Attention : il existe un seuil,
. En dessous de ce seuil, la réaction n’est pas possible.
23
Comment distinguer une désintégration 𝜷 d’une capture électronique ?
Pour cela, il suffit de calculer la valeur de


( 𝐴𝑍𝑋)𝑐
𝑀( 𝑍 𝐴𝑌)𝑐 :
Si celle-ci est supérieure à 1,022 MeV : alors, il peut se dérouler aussi bien des
désintégrations 𝛽 que des captures électroniques
Si celle-ci est inférieure à 1,022 MeV : alors, seule la réaction de capture
électronique peut se dérouler.
Attention : dans le cas d’une réaction𝛽 , l’énergie libérée par la réaction sera alors :
𝑀( 𝑍 𝐴𝑌)𝑐
𝑚𝑒 𝑐
𝑀( 𝑍 𝐴𝑌)𝑐
𝑀𝑒𝑉
( 𝐴𝑍𝑋)𝑐
( 𝐴𝑍𝑋)𝑐
Et non pas
Donc :
(
( 𝐴𝑍𝑋)𝑐
)
𝑀( 𝑍 𝐴𝑌)𝑐 comme dans la capture électronique
(
⇔
)
(
IV)
)
(
(
)
(
)
)
Capture électronique
Un proton présent dans le noyau capture un électron du cortège électronique pour produire un
neutron accompagné d’un neutrino.
Bilan de la réaction :
Bilan énergétique :
(
)
(
)
( )
( )
Toute l’énergie est convertie en énergie cinétique.
Attention : il ne pas prendre en compte la masse de l’électron dans le calcul de
.
PARTIE 4 : DECROISSANCE RADIOACTIVE
Nous allons maintenant voir comment nous pouvons quantifier la décroissance radioactive.
24
I)
Loi de décroissance radioactive
Considérons un radionucléide quelconque, durant un cours intervalle de temps .
Celui-ci est susceptible durant cet intervalle de temps de se désintégrer, cela avec une probabilité
par unité de temps donnée que nous noterons .
On peut donc noter la probabilité qu’a le radionucléide de se désintégrer :
Ainsi, si nous considérons une population de N radionucléide, le nombre de radionucléides qui se
seront désintégrés, sera
Si on note
la variation du nombre de noyaux composant notre population, on a
On est donc en présence d’une équation différentielle, résolvons-la :
⇔
( ( ))
( ( ))
⇔∫
⇔
∫
( ( ))
⇔ [ ( )]
( ( ))
⇔ ( )
[ ]
( )
On a donc l’expression :
( )
( )
Qui nous permet en connaissant le nombre de noyaux initial, de calculer le nombre de noyaux
restant à un instant t.
II)
Quelques définitions
Constante radioactive : on définit comme la constante radioactive. Il s’agit du nombre de
désintégrations ayant lieu par unité de temps dans une population de noyaux, rapporté au nombre
de noyaux la composant :
Il y a un signe moins car
est négatif.
Vie moyenne : noté il s’agit de la durée moyenne de vie d’un radionucléide avant sa
désintégration.
On l’exprime :
Période radioactive : il s’agit du temps nécessaire à une population de noyaux pour diminuer de
moitié. On la note
.
Expression de
:
25
⇔
⇔
( )
⇔
( )
( )
Soit
III)
L’activité
En radioactivité, il est bien plus difficile de mesurer le nombre de noyaux d’une population que de
mesurer un nombre de désintégration, chose qui est bien plus facile (à l’aide d’un compteur GeigerMüller).
De plus, de nombreuses applications de la radioactivité, que ce soit dans le domaine médical, que
dans le domaine de la radioprotection nécessitent de s’intéresser étroitement à cette grandeur.
Il s’agit de l’activité, A, qui s’exprime comme le nombre de désintégrations par unité de temps :
On peut alors l’exprimer en dérivant simplement notre formule en fonction du temps :
( )
( )
Avec
L’activité s’exprime en Becquerel (Bq), qui corresponde à un nombre de désintégration par seconde.
Une autre unité pour l’exprimer est le Curie (Ci), tel que :
26
Chapitre n°7 : Radioactivité
Exercices
Attention : ces exercices ne seront pas traités en ED.
Données :
Charge élémentaire :
Equivalence masse-énergie :
Nombre d’Avogadro :
Masse d’un électron :
Masse d’un neutron :
Masse d’un proton :
Unité de masse atomique :
Exercice 1 :
On donne :
(
(
(
(
)
)
)
)
L’uranium 238 (
) présent dans la croûte terrestre se transforme par désintégration successives
en radon (
), qui est l’une des sources naturelles les plus importantes de rayonnement ionisant.
Lors de la première étape l’uranium 238 se transforme en thorium (Th) via une désintégration .
1) Les nombres de désintégration
sont :
A)
B)
C)
D)
E)
4
4
2
4
2
et
nécessaires pour passer de l’uranium 238 au radon 222
et 3
et 4
et 2
et 2
et 4
2) La composition du noyau de thorium formé est :
A)
B)
C)
D)
E)
234 neutrons et 90 protons
236 nucléons et 88 protons
144 neutrons et 90 protons
146 neutrons et 88 protons
234 nucléons et 90 protons
On suppose que suite à cette désintégration on obtient un noyau de thorium excité immobile et une
particule alpha en mouvement.
27
3) Quel est la vitesse de la particule
?
A)
B)
C)
D)
E)
4) L’énergie du photon émis lors de la désexcitation du thorium, en supposant que le noyau reste
immobile, est :
A)
B)
C)
D)
E)
Exercice 2 :
On donne :
(
)
( )
Pour dater des éléments organiques relativement récents (< à 35000-50000 ans), les scientifiques
utilisent le carbone 14 en comparant son taux présent dans l’échantillon à son taux dans
l’atmosphère considéré comme constant. Le carbone 14 est un élément instable qui va se
désintégrer en azote, élément qui suit le carbone dans la classification périodique.
1) L’équation de désintégration du
s’écrit :
A)
B)
C)
D)
E)
2) L’énergie fournie par la réaction de désintégration du carbone 14 est :
A)
B)
C)
D)
E)
28
Exercice 3 :
L'uranium 238 a une durée de vie de 4,468 milliards d'années, tandis que le produit de sa
désintégration-le thorium 234 -a une demi-vie de 24,1 jours.
On se questionne sur la raison d'une telle différence, et on suppose qu'elle est due à la différence
des énergies de liaison par nucléon de ces deux éléments.
1) On sait que l'énergie de liaison de l'uranium 238 est de 1802 Mev. Quelle est la masse nucléaire
de l'uranium 238 ?
A)
B)
C)
D)
E)
237,9 u
330,8 u
239,9 u
238,0 u
241,9 u
2) Sachant que la masse nucléaire du Thorium est
liaison ?
A)
B)
C)
D)
E)
, quel est son énergie de
1732 Mev
1,732 Mev
1662 kev
1662 Mev
1,662 Mev
3) Quelle est la valeur absolue de la différence entre l'énergie de liaison par nucléon de l'uranium
238 et celle du thorium 234 ?
A)
B)
C)
D)
E)
152,7 keV
-0,182 MeV
0,191 MeV
0,171 keV
171,2 keV
Exercice 4 :
(
(
)
)
Masse molaire du Polonium 210 :
Nous nous intéressons à une source radioactive composée de Polonium 210 émetteur de
rayonnements .
On donne la période radioactive du polonium 210 :
On mesure pendant une durée de 1 minute le nombre de désintégrations reçus, on en mesure 49,9
millions.
Nous considérerons l’activité comme constante durant cet intervalle de temps.
29
1) Quelle quantité de Polonium 210 contient la source radioactive ?
A)
B)
C)
D)
E)
2) Quelle est la masse de notre population de noyaux ?
A)
B)
C)
D)
E)
3) Quel est l’énergie totale libérée par une telle quantité de Polonium 210 au bout d’une semaine ?
A)
B)
C)
D)
E)
30
Correction rapide des exercices
Résonance magnétique nucléaire
Exercice 1
1)
2)
3)
4)
B
D
A
A
Exercice 2
1) CD
2) D
Exercice 3
1) D
2) D
3) D
Exercice 4
1) D
2) C
31
Radioactivité
Exercice 1
1)
2)
3)
4)
D
CE
B
C
Exercice 2
1) D
2) A
Exercice 3
1) D
2) A
3) E
Exercice 4
1) E
2) B
3) C
32