Corrigés électrostatique

PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
H. Cercellier
SOLUTIONS DES EXERCICES DE TRAVAUX DIRIGES
DE L’U.E.
PHY235
(F = facile, M = moyen, D = difficile)
Charges dans la matière
1.(F)
L’aluminium est un métal trivalent
de masse volumique
.A
quelle charge électrique correspondent les noyaux d’aluminium contenus dans
de ce
métal ? Même question pour les électrons libres. La charge d’une sphère d’aluminium de
de volume, est limitée, en pratique, à
environ ; dire à quelle fraction des électrons
libres correspond cette charge maximum.
R : La masse atomique de Al (ou masse d’un atome-gramme, i.e. de N
d’Avogadro) est
atomes, nombre
. Le nombre de noyaux contenus dans
est donc
. Ainsi, puisque le nombre de protons d’un noyau est égal au numéro atomique
charge électrique des noyaux contenus dans
est
N
, la
.
Al est trivalent ; chaque atome est donc susceptible de « libérer » 3 électrons (électrons de valence) et la
charge en électrons libres dans
est
.
La charge limite de la sphère est la fraction
de la charge en électrons libres.
Remarque : la charge en électrons de valence est une charge nécessairement compensée par les protons
des noyaux puisque chaque atome est électriquement neutre. La « charge limite » de la sphère est, quant à
elle, une charge additionnelle ajoutée par un procédé ad hoc, et donc non compensée par des protons ; elle
a ainsi peu à voir avec la charge en électrons de valence (sauf que les électrons dont elle est constituée
sont également libres). C’est le potentiel pris par la sphère, grandeur proportionnelle à la charge
additionnelle comme on le verra dans un module suivant, qui limite la valeur de cette charge additionnelle
(il ne peut guère dépasser quelques milliers de Volts dans l’air).
Forces électrostatiques
1
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2.(F)
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Deux charges électriques de même valeur q , sont fixées en A et B sur un axe
aux abscisses
et
. Entre A et B on place une charge q’ libre de se
déplacer sur l’axe. Quelle est la position d’équilibre de q’ ? Quelle est la force exercée sur q’
hors de sa position d’équilibre ? Discuter de la stabilité de l’équilibre.
R:
Soit
portant
, et
Force résultante sur
avec
.
:
et
1/ équilibre pour
en O (car si
2/
- si
,
est dirigée vers O
- si
,
fuit O
on a
)
: stabilité
: instabilité
3.(M) Un électroscope élémentaire est constitué de deux sphères identiques reliées chacune
par un fil très fin non conducteur et sans masse, de
de longueur, à un point fixe M .
Chaque sphère peut être considérée comme ponctuelle, et porte une charge électrique q de
. Quelle est la masse m de chaque sphère, sachant qu’à l’équilibre l’angle des fils
avec la verticale est de
R:
?
Le dispositif est symétrique par rapport à l’axe
Soit
.
l’angle d’équilibre ; les forces appliquées sur la sphère A sont :
- son poids :
,
- la tension du fil :
avec
- la force de répulsion exercée par la charge
2
de la sphère B :
,
.
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A l’équilibre, la résultante de ces 3 forces est nulle ; donc chacune de ses composantes aussi ;
soit :
d’où
et
(1) ,
d’où
(2)
Alors, en faisant le rapport (2)/(1) pour éliminer T , on obtient :
Soit :
4.(M) Calculer la force électrique s’exerçant sur une charge électrique q située à l’origine O
d’un axe
, par une distribution linéaire de charges de densité linéaire uniforme
répartie entre les abscisses
R:
et
,
.
La force exercée sur q par l’élément dx portant la charge
de O , est :
.
3
et situé en P à la distance x
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La force totale sur q est donc :
.
5.(M) Un cercle de rayon R , centré en O dans le plan
uniforme de charges
, porte une densité linéaire
. Quelle est la force exercée par cette distribution sur une charge
ponctuelle q située sur l’axe
orthogonal à ce plan, à la distance z de O ? Discuter
suivant la valeur de z .
R:
ds en P portant la charge
, exerce sur q en M la force :
Le problème présente une symétrie axiale autour de
donc selon
.
sur q est
; la force résultante
et il suffit de ne considérer que la composante
de
selon cet axe, soit :
,
On peut donc écrire en remarquant que
et
4
:
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Discussion selon z :
,
d’où, pour
:
z
df /dz
0
-
0
+
0
f
et, pour
0
-
max>0
min<0
0+
:…
Champ électrostatique
6.(F)
Calculer le champ électrique produit par un électron à une distance de
.
R:
7.(F)
Calculer le champ électrique produit en un point situé à une distance h d’un fil
rectiligne infini, uniformément chargé de
par unité de longueur.
5
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R:
Supposons les charges réparties selon un axe
H. Cercellier
, avec
l’élément linéaire de charge
au point P d’abscisse x .
Si
le champ électrique
en O , et M un point de cet axe à distance h de O,
est un axe orthogonal à
en M est :
(1)
La répartition de charge présentant, d’une part, une symétrie cylindrique d’axe
une symétrie (miroir) par rapport à tout plan orthogonal à
présente une symétrie cylindrique d’axe
prendre en compte que la composante de
, le champ
- et
créé (vecteur vrai)
et est orthogonal à cet axe. Il suffit donc, dans (1), de ne
selon
, soit
, en posant
Pour résoudre l’intégrale (1), il est commode de prendre
-
et, donc,
.
comme variable. On a, en effet :
;
, puisque
.
Ainsi, (1) se réduit-elle à :
avec
Remarques :
entraîne dx > 0 .
1.
Pour éviter les difficultés de signe, il vaut mieux choisir
tel que
2.
Si on applique le théorème de Gauss, la résolution de ce problème est très rapide : en raison des
, de longueur l et de
symétries invoquées, une surface de Gauss tronc-cylindrique d’axe
rayon h , voit sortir par sa paroi cylindrique un flux de valeur absolue
sections droites un flux nul, puisque le champ est radial. On a donc :
, soit
6
.
, et par ses deux
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Comme l peut être pris aussi grand que l’on veut,
H. Cercellier
trouvé est bien le champ créé par tout le fil.
8.(M) Un fil isolant est courbé suivant un cercle de rayon
les extrémités du fil subsiste un espace de
longueur. Une charge électrique de
et de centre O . Entre
assimilable à un élément infinitésimal de
est répartie uniformément sur la longueur du fil.
Calculer le champ électrique créé en O par ce fil.
R:
densité
Si on ferme le cercle en comblant l’espace de 2 mm par un élément δs chargé avec la même
, on obtient une symétrie de charge qui produit en O un champ nul. En notant alors
champ en O dû au cercle ouvert, et
celui dû à l’élément ajouté chargé de
le
, on doit avoir :
soit
Or :
et
en admettant que
.
9.(M) Un demi cercle de centre O et de rayon R porte une charge électrique uniformément
répartie de densité linéaire
. Calculer le champ électrique créé en O .
7
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Le champ en O s’écrit :
R:
,
ds étant un élément d’arc du demi-cercle et
Pour calculer
le vecteur unitaire en O qui fuit ds .
, il est commode de choisir comme variable la coordonnée polaire
Dans ce cas, on a
et
. Mais, comme
, vue la symétrie de répartition des charges, seule la composante de
de ds .
est nécessairement selon
selon
est à considérer,
et l’on peut écrire :
soit :
10.(D) Une demi sphère de centre O et de rayon R , porte une charge surfacique uniforme de
densité
. Calculer le champ électrique créé en O par cette distribution.
Le champ en O s’écrit :
R:
,
étant un élément de surface de la demi-sphère et
Pour calculer
et
de
composante selon
le vecteur unitaire en O qui fuit
.
, il est commode de choisir comme variables les coordonnées sphériques
. Dans ce cas, il faut remplacer
, soit
par
et
par sa seule
, puisque, en raison de la symétrie de répartition des charges,
est nécessairement selon cet axe. On peut donc écrire :
soit :
8
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11.(D) Un disque de rayon R est centré en O dans le plan
. Il porte une densité
superficielle de charge uniforme
résultant en tout point
de son axe
. Calculer le champ électrique
. Que devient
lorsque
, le champ en M de cote z peut s’écrire
R : Le disque ayant une symétrie axiale d’axe
. Un élément de surface
r , le champ élémentaire
considération. Le vecteur
, cette composante vaut
Il est commode de prendre
et
?
=
du disque, produit alors en M à distance
en un point
, dont seule la composante selon
est à prendre en
étant l’unitaire qui pointe vers M depuis P en faisant l’angle
avec
et le champ résultant est :
pour variables d’intégration. Alors, comme
, la relation précédente donne :
si
9
,
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soit, la primitive de
étant
H. Cercellier
:
Remarques :
1/ Le rapport
vaut
2/ Comme
ou
, si
, selon que
ou
:
.
ou
(selon que
ou
),
qui sont les valeurs du champ créé par une répartition plane, uniforme et infinie de charges dans le vide.
Potentiel électrostatique et théorème de Gauss
12.(D) On considère dans un repère
volumique uniforme
, une distribution de charges électriques de densité
, répartie entre deux plans infinis parallèles au plan
respectivement aux cotes
et
et situés
. En utilisant le théorème de Gauss,
calculer le champ et le potentiel électriques en tout point ; on prendra le potentiel nul dans le
plan
. Représenter graphiquement les variations de ces deux grandeurs.
R : De l’analyse de la symétrie de la répartition des charges, il résulte que
miroir par rapport au plan
. dans le plan
. il suffit d’étudier
avec une symétrie
et qu’en conséquence :
,
(puisque
pour
doit y être à la fois orthogonal et confondu),
(ou
10
).
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Surface de Gauss
: un tronc de cylindre de longueur z, dont l’axe est orthogonal au plan
fermé par deux surfaces circulaires
parallèles au plan
1/ Envisageons le cas où la longueur de
avec
(pour
:
et comme
H. Cercellier
, de cotes respectives
est
ou
et
, et
.
.
). D’où il vient que
. On a donc, pour tout
,
est aussi grand que l’on veut,
est bien le champ créé, à la cote z, par toute la charge.
Du fait de la symétrie miroir par rapport au plan
aussi utilisable pour tout
, on voit immédiatement que cette relation est
.
Le potentiel :
on a pour tout
:
avec la constante arbitraire
puisque le potentiel est nul pour
Notons qu’aux limites
, on a
par hypothèse.
.
2/ Etudions, maintenant, le cas où la longueur z de
qui prend alors sa valeur maximum
; pour
est
. Seule change la charge
ou
le champ (assimilable à celui
créé par toute la charge) est donc :
Dans cette gamme de valeurs de z, on a, alors :
Or, comme
en
, la constante arbitraire est
En raison de la symétrie miroir par rapport au plan
:
d’où, il résulte que
11
, le champ électrique doit s’écrire pour tout
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Or,
en
H. Cercellier
; la constante arbitraire est donc
13.(M) Une distribution de charges électriques de densité volumique uniforme
, est répartie
entre deux sphères concentriques de centre O et de rayons
. Calculer le
et
champ et le potentiel électriques en tout point, à l’aide du théorème de Gauss. On admettra que
le potentiel est nul à l’infini. Représenter graphiquement les variations de ces deux grandeurs en
fonction de la distance à O.
R : Prenons O comme origine d’un repère
muni des coordonnées sphériques
.
En raison de la symétrie sphérique de centre O de la distribution, le champ produit est radial et ne
dépend que de sa distance r à O ; on a donc
et
car
.
Surfaces de Gauss : des sphères de centre O.
1/ Etude pour
.
avec flux sortant :
.
12
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H. Cercellier
d’où
et
avec
constante arbitraire nulle, puisque
Rqe : pour
lorsque
, le potentiel vaut
2/ Etude pour
.
.
Surface de Gauss : la surface sphérique
joué par
, par hypothèse.
, équivalant à faire jouer à r un rôle analogue à celui
dans l’étude précédente, d’où :
et donc :
avec
constante arbitraire telle que
du potentiel obtenue pour
, d’après la valeur
dans l’étude précédente. Il s’ensuit que :
.
Rqe : pour
3/ Etude pour
, le potentiel vaut
.
.
Le flux à travers la surface sphérique
est nul puisque cette surface ne contient pas de charges.
est donc nul lui aussi ; ce qui entraîne que le potentiel soit constant et nécessairement égal à la
13
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valeur qu’il possède à la limite
H. Cercellier
, soit tel que, d’après l’étude précédente :
.
14.(M) Au voisinage immédiat de la surface de la Terre supposée sphérique, on relève un
champ électrique vertical et dirigé vers le bas, de module
.
- A quelle densité uniforme de charge superficielle
ce champ correspond-il ? Quelle
est la charge totale Q portée par la Terre, sachant que son rayon est
?
- Lorsqu’on s’élève dans l’atmosphère, le champ électrique conserve les mêmes
direction et sens qu’au sol, mais son module
comme :
avec
entre un point d’altitude
et le sol.
varie en fonction de l’altitude z (en mètres),
. Calculer la différence de potentiel
R : - Soit T le centre de la Terre. La densité de charge de surface étant uniforme, la charge présente une
symétrie sphérique de centre T. Il s’ensuit que le champ
produit est radial et que sa norme,
, est
la même en tout point de la surface terrestre. Prenons pour surface de Gauss la sphère
confondue avec la surface de la Terre ; si
bas, peut s’écrire
est son vecteur unitaire sortant,
. Le flux sortant de
qui est dirigé vers le
est alors :
,
et la charge intérieure valant
, le théorème de Gauss donne :
(
est donc < 0 )
A.N. : On trouve :
- Soit O un point de la surface terrestre, et
repère
.
et donc
l’axe vertical montant (de vecteur unitaire
. A l’altitude z, le champ qui est dirigé vers le bas, ne varie pas comme
mais s’écrit
.
) d’un
,
(à cause de charges présentes dans l’atmosphère).
On a donc :
d’où :
14
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H. Cercellier
et l’on a :
15.(M) On admet que l’atome d’hydrogène puisse être assimilé à proton ponctuel, avec un
électron non localisé dont la charge électrique
est répartie en volume selon une symétrie
sphérique centrée sur le proton. Le potentiel créé par l’atome à la distance r du proton est de la
forme :
Avec
. Calculer le module
r et trouver sa valeur pour
du champ électrique créé par l’atome à la distance
. En appliquant le théorème de Gauss, vérifier que ce système
de charges comporte bien une charge
Déterminer la charge
en son centre, et que sa charge totale est nulle.
contenue dans une sphère de rayon r, centrée sur le proton. En
déduire la grandeur
dont on tracera les variations en fonction de r .
R : - Assimilons le proton à un point O origine d’un repère
muni des coordonnées sphériques
. En raison de la symétrie sphérique de centre O de la distribution de charge, le champ produit
est radial et ne dépend que de sa distance r à O ; on a donc
Le
potentiel
est
tel
.
que :
car
soit :
d’où :
et
- Flux
sortant de la surface sphérique
avec
, en tout point de
de rayon r et centre O : comme
le champ est sortant et de même module. On a donc
, soit :
Alors, si
.
,
central ; et si
contient en totalité
ce qui montre que
,
ne contient plus que la charge
: la charge dans
du proton
est nulle parce qu’en plus du proton, elle
.
15
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H. Cercellier
- On a :
.
Par conséquent :
et la dérivée
étant du signe de
, les variations de
radiale » de charge autour de O, puisque
(qui peut se définir comme une sorte de « densité
est la charge comprise entre les sphères de rayons r et
r + dr ) peuvent être représentées comme ci-dessous :
16. Trois charges électriques ponctuelles de valeurs respectives
,
et
alignées
sur une même droite, sont espacées de a .
- Calculer la force électrique que chacune d’elles subit de la part des autres, et
déterminer l’énergie potentielle électrique de ce système de charges.
- Soient
,
et
les forces électrostatiques respectivement sur A , B et C . On a :
;
, en raison de la symétrie par rapport au point O ;
, en raison de la symétrie par rapport au point O .
Les charges étant ponctuelles, leurs potentiels respectifs sont :
;
16
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H. Cercellier
;
, en raison de la symétrie par rapport au point O .
L’énergie potentielle d’un système de n conducteurs aux potentiels respectifs
respectives
, et portant les charges
, étant :
,
on a :
- On dispose, maintenant, d’un alignement infini de charges ponctuelles alternativement
positives et négatives, mais de même valeur absolue
et équidistantes entre elles. Calculer
l’énergie potentielle que possède l’une de ces charges (du fait qu’en son propre site, elle se
trouve au potentiel créé à cet endroit par toutes les autres). AN :
. On admettra
que :
- Le potentiel créé en O par toutes les autres charges, est :
La charge e en O étant ponctuelle, l’énergie potentielle qu’elle possède au sein du système des autres
charges, est égal au travail à fournir pour l’amener (très lentement) de l’infini, où le potentiel est nul, en
O , où il vaut
; soit :
Remarque : A l’inverse,
est l’énergie qu’il faudrait apporter à la charge e pour l’extraire de son
réseau.
17
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H. Cercellier
Forces électrostatiques dans les systèmes de conducteurs
17.(M) Un très petit disque métallique de masse
posé sur un sphère conductrice de rayon
et de surface
, est
. On élève progressivement le potentiel V
de la sphère. Pour quelle valeur de V le disque commence-t-il à se soulever (on assimilera le
disque à une calotte sphérique d’épaisseur négligeable et de même rayon que le sphère) ?
R : En élevant le potentiel du conducteur unique que forment, par contact, la sphère et le disque posé sur
elle, on augmente les charges non compensées - et de même signe - qu’ils portent l’un et l’autre. Les
forces de répulsion que subissent, par propriété, les charges du disque de la part des charges du reste de la
sphère, commencent à soulever le disque dès l’instant où elles deviennent, en norme, égales à son poids.
Maintenant, pour modéliser simplement le phénomène, il est commode de considérer le disque, du point
de vue de la répartition des charges, comme se substituant totalement à l’élément de surface de sphère
qu’il recouvre. En reprenant alors le raisonnement qui explique la « pression électrostatique », on peut
admettre que le champ auquel sont soumises les charges du disque, est celui dû aux charges que porte le
reste de la surface de la sphère, soit :
,
étant un unitaire normal sortant de la sphère.
Le disque (supposé très petit) subit donc la force électrostatique :
son poids
qui s’oppose à
.
Le potentiel au centre de la sphère (ainsi qu’en tout autre de ses points puisqu’il s’agit d’un conducteur)
s’écrit, s’il est pris nul à l’
:
; d’où il vient que :
et que
18
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
Le disque pouvant se soulever dès que
que :
H. Cercellier
, le potentiel qui permet d’atteindre ce seuil est tel
d’où
.
18.(M) Une sphère métallique pleine de centre O et de rayon
potentiel
est portée au
.
- Calculer la pression électrostatique à la surface de ce conducteur.
- Calculer la résultante des forces s’exerçant sur une calotte sphérique de rayon de base
. AN :
.
- La sphère métallique est constituée de deux hémisphères accolés au niveau de son plan
équatorial horizontal. L’hémisphère inférieur est fixe, et le supérieur est libre de se déplacer.
Pour quelle valeur du potentiel
V, l’hémisphère supérieur se détachera-t-il de l’inférieur,
sachant que la masse volumique du matériau de la sphère est
R : - La pression électrostatique s’écrit
?
. Or, dans l’exercice N° 16, on a montré qu’une
sphère soumise au potentiel V portait la densité de charge
A.N. :
- Soit
.
un repère attaché au centre O de la sphère, muni des coordonnées sphériques
où un élément de surface sphérique s’écrit
Soit
. Par conséquent :
.
la force électrostatique sur un élément de surface
de la sphère. Etant nécessairement
répulsive, cette force est dirigée vers l’extérieur ; de plus, en raison de la symétrie sphérique, elle est
radiale ; ce qui permet d’écrire en utilisant l’expression précédemment obtenue pour la pression :
19
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
La résultante
des forces
H. Cercellier
qui s’exercent en chaque point de la calotte, est alors telle que :
.
Du fait de la symétrie axiale de la calotte autour de
, de vecteur unitaire
, cet axe est le support de
. L’intégration peut donc se faire sur les seules projections
de
qui permet d’écrire:
.
.
- L’hémisphère supérieur soumis à son poids
dirigé vers le bas et à la force électrostatique
dirigée vers le haut, se détachera à partir du moment où l’on aura
Or
, ce
,
soit :
A.N. :
selon
, car pour un hémisphère
.
, et
.
La valeur du potentiel à partir de laquelle, l’hémisphère supérieur se détachera de l’inférieur, est donc
telle que :
soit
.
19.(M) Deux sphères conductrices de centres A et B , et de même rayon R , sont suspendues
par des fils isolants longs et fins à un même point O ; on a
et R est supposé
petit devant a . Chaque sphère a une masse m. Lorsque les sphères sont portées au même
potentiel V, on observe un angle
entre OA et OB. Calculer ce potentiel V pour :
.
R : Les deux sphères étant identiques et se trouvant au même potentiel V, elles doivent, compte tenu de
la symétrie du dispositif, porter chacune la même charge Q.
On suppose que R est assez petit devant la distance
des sphères pour que chacune
puisse voir l’autre comme un point (remarquons qu’en raison des influences mutuelles, les densités
surfaciques de charges des sphères ne sont pas uniformes).
Les sphères étant conductrices, leur potentiel est uniforme ; il est égal, par exemple, à celui du centre B
20
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
, qui est dû à la charge Q à sa surface, ainsi qu’à la charge Q sur la sphère
de la sphère
par
H. Cercellier
comme un point à distance d. On a donc :
Soit, un repère cartésien
dont l’axe
est vertical montant. A l’équilibre, la somme
géométrique des forces appliquées en B, est nulle. Il s’agit de la force électrostatique
la charge Q de
la tension
sur la charge Q de
, et du poids
de
. Décomposées selon
, ces trois forces s’écrivent :
,
et l’égalité :
exercée par
(charges réciproquement vues comme ponctuelles), de
de module T du fil de suspension de
les deux axes de
part :
vue
,
,
permet d’écrire, d’une part :
, soit, en éliminant T :
.Ainsi, le potentiel peut-il être reformulé comme :
, et, d’autre
, d’où
avec
A.N. :
21
;
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H. Cercellier
Condensateurs
21.(M) On met en communication un condensateur sans charge de capacité C , et un générateur
au potentiel
V . Calculer l’énergie reçue par le condensateur et l’énergie fournie par le
générateur. Trouver quelle est l’énergie disparue et déterminer le rendement de l’opération. On
met, maintenant, le même condensateur en communication avec un générateur au potentiel
, puis avec un deuxième générateur au potentiel V . Que devient le rendement de
l’opération ? Quelle est la limite atteinte quand on utilise n générateurs intermédiaires, aux
potentiels croissants
?
R : - A l’équilibre final, le condensateur (sous la tension V ) a emmagasiné l’énergie
.
Pendant la phase de charge qui précède où le circuit est parcouru par un courant d’intensité i variable, le
générateur débite (sous la tension V ) la puissance
,
générateur, et
. Cette égalité peut encore s’écrire
représentant l’énergie cédée au circuit pendant
par le
la charge transférée d’une armature à l’autre du condensateur sur ce laps de temps. Si
on note Q la charge finale du condensateur, l’énergie cédée au circuit par le générateur sur toute la
durée de l’opération est :
.
est donc le double de
vaut
. Le rendement
, et l’énergie perdue au cours de la charge (par effet Joule dans le circuit)
est, ainsi, de
.
- Rappelons qu’un générateur ne « fournit » pas de charges au circuit qui boucle sur lui, mais apporte
l’énergie nécessaire au déplacement des charges (libres) déjà présentes dans ce circuit. Dans l’expérience
précédente, la charge Q accumulée en fin d’opération sur l’armature au potentiel V du condensateur, a
été prélevée par le générateur sur l’armature opposée (au potentiel nul) ; pour déposer cette charge sur
l’armature à V , le générateur a dû la faire transiter intérieurement, de son pôle d’entrée à son pôle de
sortie, en la remontant, ainsi, du potentiel nul au potentiel
. L’expression de
précédemment
obtenue montre que l’énergie dépensée par le générateur pour effectuer cette opération est le simple
22
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
produit,
H. Cercellier
, de la charge reçue par le condensateur au cours de l’opération, et de la tension (constante)
du générateur. Cette remarque nous est utile pour étudier, à l’aide du tableau ci-dessous, le cas des deux
générateurs.
N° d’ordre de
l’opération
Tension
du géné.
Charge de C
en fin d’opé.
Charge reçue par C
au cours de l’opé.
Energie dépensée par
le géné dans l’opé.
1
2
Dans cette seconde expérience, l’énergie finale du condensateur est toujours
, mais celle
dépensée par le générateur est :
.
Le rendement
est donc amélioré.
- Etudions maintenant, au moyen du tableau ci-dessous, le cas des n générateurs.
N° d’ordre de
l’opération
Tension
du géné.
Charge de C
en fin d’opé.
Charge reçue par C
au cours de l’opé.
Energie dépensée par
le géné dans l’opé.
1
2
………….
n
L’énergie finale du condensateur est encore
, et celle dépensée par le générateur est :
.
Le rendement est
; il tend vers 1 si n tend vers l’infini.
23
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
22.(F) Un condensateur
H. Cercellier
a une capacité C de
. Une de ses armatures, A , est au
sol, et on relie l’autre, B , à une génératrice électrostatique au potentiel de
- Calculer la charge et l’énergie de
-
étant chargé sous
.
.
, on supprime la génératrice puis on relie B à
l’armature B’ d’un condensateur
de
dont l’autre armature A’ est au sol.
Calculer la nouvelle valeur du potentiel commun de B et B’ . Calculer les charges de
et
ainsi que leurs énergies. Quelle est l’énergie perdue dans l’opération ?
R : - Si
est la tension de la génératrice, la charge de
l’énergie qu’il a emmagasinée
- Si, à l’équilibre final, les charges de
est
, et
.
et
sont
fait de la conservation de la charge on doit avoir
et
sous la tension commune
, soit
, du
. D’où l’on
tire :
.
On a ainsi :
et
.
Les énergies emmagasinées par les deux condensateurs sont :
,
et l’énergie perdue :
23.
Un condensateur à air est formé de deux armatures cylindriques
commun vertical et de rayons
et
;
24
et
est mobile et
, d’axe
fixe. Pour
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
un enfoncement donné de
dans
H. Cercellier
, la hauteur de la zone commune non perturbée par les
effets de bord, est x . On note C la capacité qui correspond à la zone de hauteur x , et C’
celle qui correspond aux deux zones où se manifestent les effets de bord ; on admettra qu’une
variation de l’enfoncement produit une variation égale de x , mais que C’ reste constante.
L’armature
, qui est solidaire d’un fléau de balance dont les deux bras ont même longueur,
est équilibrée par un contrepoids. Le fléau est horizontal lorsque
nul. On porte
et
sont au potentiel
au potentiel V et on rééquilibre le système avec une masse
sur le
plateau de la balance. Quelle est la valeur de V ?
R : Soit
un axe vertical dirigé vers le bas, de vecteur unitaire
; son origine O est choisie à la
limite supérieure de la zone commune non perturbée par les effets de bord, de sorte que l’abscisse x de
sa limite inférieure puisse en représenter la hauteur. Admettre, alors, qu’une « variation de l’enfoncement
produit une variation égale de x », revient à dire que O doit être considéré fixe par rapport à
La force électrostatique
que
exerce sur
.
est attractive puisque les charges portées par les
deux cylindres sont opposées ; par conséquent, dans la configuration du dessin, elle tend à enfoncer
davantage
dans
; de ce fait, elle est dirigée vers le bas. Lorsque la différence de potentiel V est
appliquée entre les armatures,
est équilibrée par
25
avec
.
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
Un déplacement infinitésimal
de
H. Cercellier
sous l’effet de
, apporte au condensateur l’énergie
.
Les 3 parts du condensateur complet, de capacités respectives C’ ,
et C’ , peuvent être vues
comme 3 condensateurs en parallèle. Par conséquent, la capacité totale du condensateur complet est
avec :
;
le déplacement
produit donc :
,
les capacités C’ ne variant pas.
Au potentiel constant V , le déplacement
entraîne le générateur à transférer la charge
armature à l’autre, donc à fournir au condensateur le travail
d’une
.
Il s’ensuit que la variation de l’énergie potentielle du condensateur dans l’opération est, finalement, la
somme :
.
Or,
;
d’où :
.
Par conséquent :
et
Remarque : il aurait été erroné d’écrire directement, en utilisant la relation
constant, la variation d’énergie du condensateur
, qu’à V
représente le seul travail des forces
extérieures appliquées. Cela impliquerait, en effet, que les forces extérieures fournissent du travail
pour accroître la capacité du condensateur
. Or, les armatures s’attirant entre elles
du fait qu’elles portent des charges opposées, c’est le condensateur, au contraire, qui produit du travail
tout en augmentant spontanément sa capacité…
26
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
H. Cercellier
Dipôles électrostatiques :
26.(F) Soit un dipôle électrique de moment dipolaire
M éloigné, un champ électrique
et
. Exprimer
dans les coordonnées polaires
, puis montrer que
R : Soit un dipôle constitué des charges
et de centre O qui crée en un point
peut se mettre sous la forme :
et
à la distance
l’une de l’autre. Si
vecteur unitaire porté par la droite qui joint ces charges et qui est orienté de
moment dipolaire s’écrit
On sait qu’en un point
vers
est le
, son
.
tel que
, un dipôle crée le potentiel
dans les coordonnées polaires, on a
en
avec
. Or,
. Par conséquent, le champ
s’écrit :
.
Maintenant, puisque
, le moment
polaires, comme
à l’expression de
peut se formuler dans les coordonnées
. Ainsi, en ajoutant et retranchant le terme
, on obtient :
27
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
H. Cercellier
, soit :
.
27.(M) Montrer que l’énergie potentielle d’un dipôle de moment dipolaire
électrique uniforme
, est
, dans un champ
.
On considère, maintenant, deux dipôles
et
, de centres respectifs
et
tels que
. En utilisant les résultats de l’exercice précédent, trouver l’expression de
l’énergie potentielle d’interaction de cet ensemble. Préciser quelle est la nature de la force
d’interaction (attraction ou répulsion) entre ces dipôles, dans le cas où leur moments sont
alignés et de même sens, puis alignés et de sens contraire, puis côte à côte parallèles et de même
sens, et enfin côte à côte parallèles et de sens opposé (soit « antiparallèles »).
R : - L’énergie potentielle d’un dipôle dans un champ électrique
en un point O , est égale au travail
à produire pour amener ce dipôle de l’infini, où le potentiel est supposé nul, au point O .
Remarquons qu’entre les deux charges opposées du dipôle, il existe une énergie d’interaction . Mais, un
dipôle étant considéré indéformable par nature, cette énergie est irrécupérable et ne peut, en conséquence,
être considérée comme « potentielle ». Il serait donc faux de calculer l’énergie recherchée par la relation
générale
Soient, alors,
qui prend nécessairement en compte cette énergie d’interaction.
et
les potentiels aux deux points M et M’ infiniment proches l’un de
l’autre, où se retrouvent respectivement les charges
et
du dipôle dans leurs positions finales.
Comme les positions initiales sont situées infiniment loin de M et M’ dans une zone où le potentiel est
supposé nul, l’énergie dépensée pour ramener ces deux charges simultanément de l’infini, est la somme :
Alors, si
est le champ en M , la différence de potentiel entre M et M’ étant
définition, l’énergie potentielle du dipôle peut s’écrire, sachant que
28
par
:
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
H. Cercellier
- Si amener de l’infini un dipôle à proximité d’un autre nécessite un apport extérieur d’énergie, cela
signifie qu’il faut lutter contre leurs forces d’interaction et qu’en conséquence, celles-ci sont répulsives.
Si, au contraire, ce rapprochement s’effectue spontanément, cela signifie évidemment que ces forces sont
attractives. Or, dans le premier cas, l’apport extérieur d’énergie accroît l’énergie potentielle des deux
dipôles depuis zéro (puisque, au départ, ces dipôles sont infiniment loin l’un de l’autre) jusqu’à une
valeur finie nécessairement positive ; tandis que dans le second, le travail dépensé ne peut être prélevé
que sur l’énergie potentielle disponible qui diminue ainsi de zéro jusqu’à une valeur finie obligatoirement
négative. Par conséquent, une énergie potentielle positive est le signe de forces d’interaction répulsives,
tandis qu’une négative est le signe de forces attractives.
L’énergie potentielle d’interaction entre
créé en
par
Posons
(a) Si
et
et
donc
(b) Si
et donc
(ou celle de
et
dans
, est l’énergie potentielle de
créé en
par
dans le champ
), soit, selon l’exercice précédent :
; alors, d’après la figure ci-dessus :
sont alignés de même sens, on a
,
,
, et
,
,
; les forces d’interaction sont attractives.
et
sont alignés de sens contraire,
,
; les forces d’interaction sont répulsives.
29
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
(c) Si
et
sont côte à côte, parallèles et de même sens, on a
, et donc
(d) Si
et
H. Cercellier
,
; les forces d’interaction sont répulsives.
sont côte à côte, parallèles et de sens opposé, on a
, et donc
28.(F) Calculer en
,
,
,
; les forces d’interaction sont attractives.
, l’énergie potentielle d’interaction entre deux molécules d’eau,
sachant que leurs moments dipolaires sont antiparallèles, distants de
égal à
et de module
. Quelle est la grandeur macroscopique de l’eau qui est associée à cette
énergie ?
R : - Selon l’exercice précédent
- la grandeur
.
représente l’énergie qu’il est nécessaire de fournir pour dissocier deux molécules
d’eau (les éloigner infiniment l’une de l’autre) ; elle est donc liée à la chaleur latente de vaporisation de
l’eau.
29.(F) Dans une molécule d’eau, les deux ions hydrogène sont distants de d de l’ion oxygène
auquel ils sont liés, et forment, avec ce dernier comme sommet, un angle de
du moment dipolaire de l’eau valant
une charge ponctuelle
, et l’ion
qu’en réalité,
?
. Le module
, calculer d en assimilant les ions
à une charge ponctuelle
30
à
. Comment expliquer,
PHY 235 : T.D corrigés électrostatique.
R : - Notons
H. Cercellier
le moment dipolaire de la molécule d’eau, et
deux dipôles portant chacun les charges
et
les moments des
à la distance d l’une de l’autre, dont elle serait
et
constituée. On devrait donc avoir :
,
soit
avec
et
;
d’où l’on tire :
.
- La distance ainsi obtenue est trois fois plus faible qu’en réalité, parce que la charge « effective » de la
molécule d’oxygène n’est pas
, mais
; ce qui réduit à
charges « effectivement » portées par chacun des deux dipôles
précédemment calculée se trouve être multipliée par trois.
31
et
et
les deux
. De ce fait, la distance d