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Matrices et études asymptotiques
I. Suites récurrentes et matrices
1) Suites de matrices
Définition :
Une suite de matrices colonnes de taille p (p entier ≥ 2) est une fonction de É dans
l’ensemble des matrices colonnes de taille p.
Si (Xn) est une suite de matrices colonnes, tous les coefficients de la matrice Xn sont des
termes de suites numériques.
Exemple :
La suite (Xn) définie par
²n
2n
Xn
est une suite de matrices dont les termes sont les
suites numériques (un) et (vn) telles que un = n + 2 et vn = n².
Définition :
Une suite de matrice converge si et seulement si toutes les suites formant les éléments de
cette matrice convergent.
La limite de cette suite est alors la matrice colonne formée des p limites obtenues.
Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente.
Exemple :
La suite (Xn) définie par
n2
n
ne1
e
X
converge vers la matrice
1
0
X
.
2) Suites de la forme Xn+1 = A Xn + B
Propriété :
Soit une suite de matrices colonnes (Xn) de taille p vérifiant pour tout entier naturel n :
Xn+1 = A Xn + B, où A est une matrice carrées non nulle d’ordre p et B une matrice colonne de
taille p.
Si (Xn) est convergente, alors sa limite X est une matrice colonne vérifiant l’égalité
X = AX + B.
Dem :
Si Xn+1 = A Xn + B,, le membre de gauche converge vers X.
Par unicité de la limite et opérations, le membre de droite converge vers AX + B.
Par unicité de la limite, on a l’égalité X = AX + B.
Remarque :
Pour rechercher la limite d’une suite de matrices colonnes, on recherche la matrice limite
dans les suites constantes vérifiant la relation X = AX + B.

3) Recherche d’une suite constante ou d’un état stable
Propriété :
Soit I la matrice identité de même taille qu’une matrice A.
Si la matrice I – A est inversible, pour toute matrice B de même taille que A, il existe une et
une seule matrice colonne X vérifiant X = AX + B.
Dem :
Par opérations sur les matrices
X = (I – A)-1 B.
Remarque :
Il n’y a qu’une seule matrice colonne limite solution, si la suite est convergente, elle est
indépendante des valeurs de X0.
Propriété :
Si I – A n’est pas inversible,
 Soit il n’existe aucune matrice colonne vérifiant X = AX + B.
 Soit il existe une infinité de matrice X solution de X = AX + B.
II. Marches aléatoires
Définition
On dit qu’une marche aléatoire est convergente si la suite des matrices colonnes (Xn) des
états de la marche aléatoire converge.
Dans le cas de l’étude d’une marche aléatoire telle que la suite des états de la marche
aléatoire vérifie une relation du type Xn+1 = A Xn + B, une suite constante vérifiant
X = AX + B est aussi appelée état stable de la marche aléatoire.
Remarque :
Une marche aléatoire peut-être convergente ou divergente selon l’état initial X0.
S’il y a convergence, ça ne peut être que vers un état stable.