TD mécanique du point - moodle@insa

Département STPI
1ère année
1er semestre
UF Physique (I1ANPH21)
Mécanique du point matériel
TRAVAUX DIRIGES
Année 2016-2017
Plus d’exercices… ? Pourquoi ne pas consulter des livres spécialisés à la
Bib’INSA.
Mécanique 1 aux éditions DUNOD de J-P. Faroux et J. Renault
Mécanique du point aux éditions DUNOD d’A. Gibaud et M. Henry
Mécanique fondements et applications aux éditions MASSON de J-P. Pérez

2
Exercice 1 : Analyse vectorielle
On considère un espace à trois dimensions muni d'un repère d'observation cartésien
. Le vecteur est unitaire et sa direction est définie par les angles  et (voir
schéma). Le vecteur  est colinéaire à . Le vecteur   est la projection de  dans le plan
(0,x,y).
1) Exprimez le vecteur  selon les
vecteurs de base  et  en fonction
de r et .
2) Exprimez le vecteur  selon les
vecteurs de base
en fonction
de r,  et .
3) Calculez le produit scalaire  en
utilisant une méthode géométrique.
Retrouver ce résultat en utilisant les
composantes des deux vecteurs
impliqués.
4) On donne  
 et     Quel est
l'angle, en degrés, entre les vecteurs
 et ?
5) Calculez les produits vectoriels
suivants :
 ;  ;  ;  et 
5) Nous considérons que l'angle  est désormais fonction du temps avec  . L'angle  et la
quantité r restent constantes. Calculez l'expression 
 de manière analytique, c'est à dire en
explicitant les coordonnées des vecteurs dans la base cartésienne.
6) Nous allons retrouver le résultat précédent de manière géométrique. A partir de la norme unitaire
de , que peut-on dire déduire sur 
 et  ? En déduire géométriquement l’expression de
 .
7) Soit le vecteur 
  . Calculez le produit vectoriel 
 . Commentaires ?
8) Calculez l'expression 
 avec la méthode de votre choix
9) Soit le vecteur  
. Calculer la forme différentielle de  (c'est
à dire ainsi que sa dérivée par rapport au temps 
, avec  et  et k = -2 ).

3
Exercice 2 : Le mouvement circulaire, repère cylindrique et repère de Frenet
Nous nous intéressons au mouvement circulaire d’un
point M dans le référentiel  repéré par le repère
d’observation ). La position du point M est
repérée sur son orbite grâce à l'angle entre l'axe
[Ox) et le vecteur  (voir schéma). Le rayon du cercle
est r.
1) Etablir l'expression du vecteur position 
dans la base  en fonction de r et  puis
dans la base .
2) Nous étudions le mouvement dans .
Dériver le vecteur position  par rapport au
temps et établir l'expression du vecteur vitesse
dans la base , en fonction de r et 
et 
 . Faite de même dans la base .
3) Etablir l'expression formelle du vecteur
accélération  dans la base  en fonction
de r, , 
 et  . Idem dans la base .
4) Déterminer la norme du vecteur vitesse en fonction de r et .
5) Exprimer les vecteurs du repère de Frenet  et  en fonction de .
6) Déterminer les composantes de l’accélération dans le repère de Frenet.
Exercice 3 : La spirale
Un point M décrit dans le plan (O,x,y) une spirale d'équations paramétriques :
  et  
avec    
 et   
A l'origine du temps t = 0, nous avons   . Le repère () constitue un repère d’observation
pour le référentiel  dans lequel est étudié le mouvement. On le note .
1) Déterminer l'expression formelle de (i) le vecteur position  , (ii) le vecteur vitesse  et
(iii) le vecteur accélération  dans le repère d’espace polaire .
2) Calculer l'expression formelle du module du vecteur vitesse.

4
3) Montrer que les vecteurs unitaires parallèle  et normal  à la trajectoire sont donnés par
 et 
4) Calculer l'expression formelle du vecteur accélération  dans le repère de Frenet  ,
(c.a.d. trouver et  et sachant que    + )
5) Trouver une méthode alternative pour déterminer  et sans connaître au préalable les
expressions de  et ?
6) Etablir, en utilisant deux méthodes différentes, l'expression du rayon de courbure R de la
trajectoire à n'importe quel temps t.
Exercice 4 : Le skieur de vitesse.
Un skieur de masse m descend en ligne droite une piste de
vitesse d’inclinaison. Lors de sa descente il subit les
frottements de la piste qu’on négligera dans un premier
temps et les frottements de l’air caractérisés par le
coefficient. On assimile le skieur à une masse ponctuelle
M. Le mouvement est étudié dans le Référentiel galiléen 
de repère d’observation . A l’instant t = 0 le
skieur à une vitesse nulle et se trouve en (0, 0).
1) Déterminer dans le repère les expressions de la vitesse  et de l’accélération
 du skieur.
2) Faites le bilan des forces subies par le skieur dans le référentiel  et donner leurs
expressions dans le repère.
3) Quelle(s) force(s) exerce(nt) le skieur sur la piste ?
4) En appliquant le PFD, déterminer les composantes de la vitesse du skieur en fonction du
temps. Quelle autre informations tirez-vous du PFD ?
5) Déterminer ses coordonnées x(t) et y(t).
6) Sur quels paramètres peut-on jouer pour augmenter la vitesse du skieur ?
7) Que se passerait-il si les frottements étaient nul ?

5
Rq : Le record du monde de vitesse de 252 km.h-1 est détenu par l’Italien Simone Origone. Il a
atteint cette vitesse sur une piste de 1km avec une pente moyenne de 52%.
Exercice 5 : Le spectromètre de masse : mouvement d’une particule chargée
dans un champ électrique et dans un champ magnétique.
On considère une particule de charge q = et de masse m  se déplaçant
dans un référentiel galiléen . Nous allons étudier à tour de rôle l’effet d’un champ
électrique  et l’effet d’un champ magnétique  sur la particule. Nous rappelons que la force de
Lorentz s’écrit  . On négligera le poids dans la suite de l’exercice.
1 : Effet du champ électrique
La particule M est située à l’instant t = 0 en (0, y0, 0). Sa
vitesse initiale est nulle. Un champ électrique uniforme
 est appliqué dans la région x = 0, x = 50cm.
1) Appliquer le PFD dans le référentiel pour
déterminer les composantes de la vitesse de la particule.
2) Déterminer la position de la particule au cours du
temps.
3) Calculer le travail effectué par le champ
électrique entre x = 0 et 50cm.
4) Grâce au théorème de l’énergie cinétique, déterminer la vitesse acquise par la particule en
sortie de la zone où règne le champ électrique.
5) Quel est le bilan des forces dans la zone où x > 50cm. Comment évolue la vitesse de la
particule dans la zone où x > 50cm ?
2 : Effet du champ magnétique
La particule M est située à l’instant t = 0 en (0, y0, 0). Sa
vitesse initiale est   . Un champ magnétique
uniforme  règne dans tout l’espace.
1) Exprimer les composantes Fx, Fy, Fz de la force
subie par la particule à un instant t quelconque en
fonction de E, B, q et des composantes de la vitesse vx et
vy.