diffusion en mécanique quantique

PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 1
Introduction à la Diffusion
1 Introduction
La diffusion est une technique expérimentale très puissante dans une gamme de domaines
de la physique. À ma connaissance, Ernest Rutherford est le premier qui a utilisé cette
technique pour étudier un système microscopique; il a comparé la prédiction de son modèle
de l’atome dans le cas de la diffusion d’une particule chargée (une particule α, c’est-à-dire,
un noyau d’He) sur une feuille d’atomes d’or. Les résultats de l’expérience concordaient avec
ses prédictions, une étape de grande importance, évidemment, dans la compréhension de la
Nature. En physique des particules, l’accélérateur/collisionneur peut être vu comme une
incarnation moderne de la technique inventée par Rutherford. Typiquement, une expérience
est d’un de deux types: un faisceau sur une cible fixe, ou un faisceau sur un autre. Le premier
type est dit dans le référentiel du laboratoire; le deuxième est souvent dans le référentiel du
centre de masse. Peu importe le type de situation expérimentale, l’analyse d’une collision
se fait premièrement en décrivant le problème en termes des coordonnées relatives et du
centre de masse. La dynamique du centre de masse est triviale, et on se concentre sur le
mouvement relatif, qui est décrit par un hamiltonien d’une particule de la masse réduite, en
interaction avec un potentiel ancré à l’origine. Nous allons supposer que cela a été fait, et
on se concentre sur le problème relatif, ainsi formulé. Je vais utiliser m pour la masse; en
principe, c’est la masse réduite.
La mesure qu’on fait dans une expérience de collision (et donc la grandeur qu’on veut calculer) est la section efficace différentielle, ce qui correspond intuitivement à la probabilité
de diffusion par un angle donné. Plus précisement, on définit la section efficace de la façon
suivante. Le nombre de particules dn diffusées dans une petite région angulaire dΩ en direction (θ, φ) ≡ Ω dans un intervalle de temps dt est proportionnel à dΩ, dt, et au courant de
particules incidentes, jinc . On écrit:
dn =
dσ
· jinc · dt · dΩ.
dΩ
(1)
dσ/dΩ (parfois écrite σ(Ω)) est la section efficace différentielle. En principe, dσ/dΩ peut
dépendre de θ, φ, mais si le faisceau est en direction z et que le potentiel est symétrique sous
rotation, dσ/dΩ ne dépend pas de φ.
La section efficace totale est l’intégrale de dσ/dΩ sur tous les angles:
Z
σ=
dΩ
dσ
.
dΩ
(2)
La dimension de σ (et de dσ/dΩ) est longueur2 ; l’unité standard est le barn: 1 bn = 10−24
cm2 .
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 2
2 Ondes partielles
On considère une particule de masse m en interaction avec un potentiel V (r). On suppose
que le potentiel dépend de r seulement, et que V (r) → 0 lorsque r → ∞ suffisamment
rapidement (plus rapidement que 1/r). On commence avec l’étude d’une onde plane de
vecteur d’onde k et d’énergie E = h̄2 k 2 /2m. Cette onde et sa densité de courant sont:
h̄
h̄k
(ψ ∗ ∇ψ − ∇ψ)∗ ψ) =
.
(3)
2mi
m
Pour simplifier la discussion, on suppose que k ∝ ẑ. Il est très utile de faire un développement
de l’onde plane en termes d’ondes sphériques (ou ondes partielles):
ψ(r) = eik·r ,
j(r) =
eikz =
∞
X
il (2l + 1)Pl (cos θ)jl (kr),
(4)
l=0
q
où les Pl sont les polynômes de Legendre (Pl (cos θ) = 4π/(2l + 1)Yl0 (θ, φ)), et jl (kr) est
une fonction de Bessel sphérique (voir la fin de ce texte pour quelques propriétés des jl ).
Dans la limite r → ∞, jl (kr) → (kr)−1 sin(kr − lπ/2); donc
eikz →
=
∞
X
l=0
∞
X
il (2l + 1)Pl (cos θ)
(2l + 1)Pl (cos θ)
l=0
1
sin(kr − lπ/2)
kr
´
1 ³
(−)l+1 e−ikr + eikr
2ikr
(5)
Dans le dernier facteur, on voit que le premier terme représente la composante de l’onde
plane se propageant vers l’origine (onde entrante), tandis que l’autre terme se propage vers
l’infini (onde sortante). (Remarque: il est important de ne pas interpréter l’onde sortante
comme une onde diffusée: il n’y a pas de diffusion, car on n’a pas encore ajouté de potentiel.)
Si on envoie une onde plane vers un potentiel, la présence du potentiel va diffuser l’onde,
ce qui aura un effet sur l’onde sortante seulement. Donc on peut dire qu’en présence d’un
potentiel,
∞
´
X
1 ³
ψ → (2l + 1)Pl (cos θ)
(−)l+1 e−ikr + Sl (k)eikr ,
(6)
2ikr
l=0
où Sl (k) est une phase; on va écrire Sl (k) = exp 2iδl (k), où δl (k) est le déphasage de l’onde.1
Équivalemment, on peut écrire
ψ → eikz +
∞
X
(2l + 1)Pl (cos θ)
l=0
1
1
eikr
(Sl (k) − 1)eikr ≡ eikz + f (θ)
,
2ikr
r
(8)
Pourquoi “déphasage”? On peut écrire (6) de la façon suivante, ce qui est à comparer avec la première
ligne de (5):
∞
X
1
ψ→
eiδl il (2l + 1)Pl (cos θ) sin(kr − lπ/2 + δl ).
(7)
kr
l=0
La phase du sin change par δl .
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 3
où l’amplitude de diffusion f (θ) est
f (θ) =
∞
1 X
(2l + 1)Pl (cos θ)(Sl (k) − 1)
2ik l=0
∞
1X
=
(2l + 1)Pl (cos θ)eiδl sin δl .
k l=0
Parfois, on écrit f (θ) =
P
l
(9)
fl (θ), où fl (θ) = k −1 (2l + 1)Pl (cos θ)eiδl sin δl .
L’éq. (8) est très intuitive: la solution de l’équation se sépare en une partie qui est ce qu’on
aurait eu en l’absence du potentiel (l’onde plane) et une deuxième partie, l’onde diffusée.
Ayant décrit la forme asymptotique de la solution et défini les grandeurs principales de la
diffusion (section efficace, amplitude de diffusion, déphasages), il reste deux choses à faire.
Il faut trouver la relation entre f (θ) et la section efficace, et il faut apprendre à calculer f (θ)
pour un potentiel et k donnés.
2.1 Relation entre f (θ) et la section efficace
Calculons le courant de la fonction d’onde (8):
j(r) =
h̄
(ψ ∗ ∇ψ − (∇ψ)∗ ψ)
2mi
(10)
La fonction d’onde comprend deux parties, l’onde plane incidente et l’onde diffusée. Le
courant comprend donc trois termes: un terme quadratique en l’onde plane, un terme mixte,
et un terme quadratique en l’onde diffusée. Le premier terme ne donne rien d’autre que le
courant (3).
Le terme mixte contient des termes proportionnels à exp ±ikr(1 − cos θ). Ces termes varient
extrêmement rapidement en fonction de θ (on note que kr est grand dans la région asymptotique, donc un petit changement de cos θ implique un très grand changement de la phase de
l’exponentielle) et dans une région angulaire arbitrairement petite, on aura une annulation
entre différentes contributions au courant.
Finalement, le troisième terme est le courant de particules diffusées. On peut négliger le
gradient agissant sur f (θ)/r: ces termes donnent une contribution ∼ r−3 , qui est négligeable
pour r grand. Un peu d’algèbre donne le résultat final:
j=
h̄k |f (θ)|2
h̄k
ẑ +
r̂.
m
m r2
(11)
Selon la définition donnée plus haut de la section efficace différentielle, on trouve
dσ
= |f (θ)|2 .
dΩ
(12)
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 4
La section efficace totale est donnée par l’intégrale de (12):
σ = 2π
Z π/2
0
dθ sin θ|f (θ)|2 .
(13)
On peut montrer que σ s’écrit comme une contribution de chaque onde partielle (c’est-à-dire,
chaque valeur de l):
X
4π X
σ= 2
(2l + 1) sin2 δl ≡
σl .
(14)
k l
l
2.2 Calcul de f (θ)
Cette partie du travail est un peu plus difficile. On a l’Équation de Schrödinger (ÉS):
h̄2 2
−
∇ ψ + V (r)ψ = Eψ.
2m
(15)
Dans le cours Mécanique Quantique I, on a étudié l’ÉS pour nombreux potentiels; on s’est
intéressé principalement aux états liés (d’énergie négative si le potentiel est nul à r = ∞). Ici,
on veut trouver des solutions d’énergie positive. Le type de solution qu’on cherche correspond
à l’envoi d’une onde plane vers le potentiel, plus une onde diffusée. Ceci nous donne une
condition sur la fonction d’onde à l’infini, comme on va voir bientôt. Or, le potentiel étant
invariant sous rotation, on peut chercher une solution formée d’une fonction d’onde radiale
et d’une harmonique sphérique. En fait, on peut aller plus loin: si l’onde plane se propage
en direction z, la solution sera invariante sous rotation autour de cet axe: c’est-à-dire, la
solution sera indépendante de φ, et donc la partie angulaire de la solution sera un Yl0 , ou,
équivalemment (à une constante près), un Pl (cos θ).
On cherche donc une solution de (15) de la forme
ψ(r, θ) = Pl (cos θ)Rl (r).
(16)
La fonction d’onde radiale obéit à:
Ã
!
2
2mV (r) l(l + 1)
Rl00 (r) + Rl0 (r) + k 2 −
Rl (r) = 0,
−
r
r2
h̄2
(17)
où k 2 = 2mE/h̄2 est le vecteur d’onde. L’éq. (17) est une équation différentielle du deuxième
ordre; il y a donc deux solutions indépendantes, et la solution la plus générale est une
combinaison linéaire des deux. Cependant, le comportement lorsque r → 0 élimine l’une de
ces solutions: il y a une et seulement une solution qui est acceptable physiquement.2
2
“Comportement lorsque r → 0” est un peu trop restrictif, en fait. Par exemple, pour la sphère dure
(V (r) = ∞ pour r < a), c’est le comportement à r = a qui est important: il faut que Rl (a) = 0. Mais la
conclusion est la même: il y a une seule solution physiquement acceptable.
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 5
Dans la limite r → ∞, on suppose que V → 0, auquel cas (17) tend vers l’équation de Bessel
sphérique. La solution acceptable sera donc une certaine combinaison linéaire des fonctions
de Bessel sphériques, jl (kr) et nl (kr), asymptotiquement. Si on imagine pour le moment
qu’on a déterminé la solution, on connaît les coefficients des deux fonctions de Bessel:
Rl (r) → jl (kr) + Cl nl (kr),
(18)
où on a choisi la normalisation de Rl de sorte que le coefficient de jl soit 1, et où le coefficient
Cl (réel) est déterminé.
Connaissant le comportement asymptotique des fonctions de Bessel sphériques, on peut écrire
celui de Rl :
´
´
1 ³ −i(kr−lπ/2)
Cl ³ −i(kr−lπ/2)
e
− ei(kr−lπ/2) −
e
+ ei(kr−lπ/2)
2ikr
2kr
´
1 ³
= −
(1 + iCl )e−i(kr−lπ/2) − (1 − iCl )ei(kr−lπ/2)
2ikr
µ
¶
(1 + iCl )(−i)l
1 − iCl ikr
l+1 −ikr
=
(−) e
+
e
.
2ikr
1 + iCl
Rl (r) → −
(19)
Ceci multiplié par Pl (cos θ) est la solution physiquement acceptable de (15) de moment
angulaire l. La solution générale de cette équation est une combinaison linéaire de ces
solutions:
X
ψ=
al Pl (cos θ)Rl (r).
(20)
l
Les coefficients al sont déterminés par le fait que la fonction d’onde consiste en l’onde plane
et l’onde diffusée. Dans la région asymptotique, donc, la solution doit se comporter comme
(6), répété ici:
ψ→
∞
X
l=0
(2l + 1)Pl (cos θ)
´
1 ³
(−)l+1 e−ikr + Sl (k)eikr ,
2ikr
En comparant cette équation et (19) dans (20), on voit que les coefficients sont
(i)l+1 (2l + 1)
.
al =
1 + iCl
Plus intéressant (difficile à croire, mais vrai. . . ) est le fait que les phases Sl , et donc les
déphasages, sont déterminées en comparant (19) et (6):
Sl (k) = e2iδl =
1 − iCl
,
1 + iCl
(21)
ou, équivalemment,
tan δl = −Cl .
(22)
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 6
3 Exemple: Puits carré sphérique
3.1 Déphasages
Considérons en détail le cas du puits carré sphérique, discuté dans Gasiorowicz chap. 10 et
dans le chap. 23:
(
−V0 < 0
r<a
V (r) =
(23)
0
r>a
Pour r < a, l’équation radiale est
q
2
l(l + 1)
2m(E + V0 )
Rl00 + Rl0 −
R
+
Rl = 0.
l
r
r2
h̄2
(24)
Définissant κ ≡ 2m(E + V0 )/h̄, les solutions sont jl (κr) et nl (κr). Ces solutions sont
pertinentes pour r < a; nl diverge et est non-physique. Donc, la solution à l’intérieur, qu’on
peut écrire R<,l (r), est R<,l (r) = Al jl (κr).
Pour r > a, l’analyse est identique, sauf que le potentiel est zéro; de plus, les deux solutions
sont √
acceptables. La solution dans cette région est R>,l (r) = jl (kr) + Cl nl (kr), où on écrit
k = 2mE/h̄ et où on a choisi la normalisation de la solution de telle sorte que le coefficient
devant jl (kr) est 1.
La continuité de Rl (r) et de sa dérivée à r = a donnent la relation
κ
jl0 (κa)
j 0 (ka) + Cl n0l (ka)
=k l
.
jl (κa)
jl (ka) + Cl nl (ka)
(25)
Cette équation détermine Cl , et donc (voir (22)) tan δl :
tan δl =
kjl0 (ka)jl (κa) − κjl (ka)jl0 (κa)
.
kn0l (ka)jl (κa) − κnl (ka)jl0 (κa)
(26)
3.2 Faible énergie
Dans le cas général, cette expression n’est pas tellement transparente; considérons le cas de
faible énergie, ka ¿ 1. Alors on peut utiliser la limite ka → 0 dans jl (ka) et nl (ka) (voir
annexe). Un peu d’algèbre donne
(ka)2l+1
tan δl =
(2l + 1)!!(2l − 1)!!
(
)
ljl (κa) − κajl0 (κa)
.
(l + 1)jl (κa) + κajl0 (κa)
(27)
Dans le cas “générique” de κa (c’est-à-dire, à l’exception de points spéciaux où le numérateur
ou le dénominateur de (27) est zéro), l’expression {· · ·} est un nombre d’ordre 1; donc
tan δl ¿ 1, et on conclut que
sin δl ' δl ' tan δl '
(ka)2l+1
· o(1).
(2l + 1)!!(2l − 1)!!
(28)
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 7
Ces quantités, et les sections efficaces partielles, diminuent rapidement avec l. On trouve
l’expression suivante pour la section efficace dans le canal l:
σl =
4π
4
(2l + 1) sin2 δl ' πa2 (ka)4l
· o(1).
2
k
(2l + 1)!!(2l − 1)!!3
(29)
Le premier facteur est la surface (bi dimensionnelle) de la cible vue par le faisceau; les autres
facteurs diminuent rapidement avec l. La diffusion est dominée par l = 0.
σ ' σ0 = 4πa2 · o(1).
(30)
(Pour déterminer le facteur o(1), il faudrait étudier le dernier facteur de (27).)
Le canal l = 0 domine la diffusion, qui est donc isotrope à cet ordre. Mais il y a des
corrections dépendantes de l’angle venant de l > 0. Pour déterminer la première correction
de ce type, regardons l’expression (12) pour la section efficace différentielle (f (θ) donné dans
(9)), en gardant seulement les termes l = 0, 1.
¯2
dσ
1 ¯¯
¯
= |f (θ)|2 ' 2 ¯eiδ0 sin δ0 P0 (cos θ) + 3eiδ1 sin δ1 P1 (cos θ)¯
dΩ
k
!
Ã
δ1 P1 (cos θ)
sin2 δ0 P0 (cos θ)2
1+6
.
'
k2
δ0 P0 (cos θ)
(31)
On a δ0 ' ka, δ1 ' (ka)3 /3, P0 (cos θ) = 1, P1 (cos θ) = cos θ;
dσ
' a2 (1 + 2(ka)2 cos θ + 0(ka4 )).
dΩ
(32)
(Les coefficients o(1) sont implicites.) Le premier terme est simplement le terme venant
de l = 0; le deuxième terme est un terme d’interférence qui donne une anisotropie dans la
diffusion : la diffusion vers l’avant est augmentée, et celle vers l’arrière est réduite. (Mais
notez que le sens de l’anisotropie dépend du signe des facteurs d’ordre 1, qui ne sont pas
nécessairement tous positifs!)
La diffusion à basse énergie diminue avec l. Ceci n’est pas une particularité du puits carré:
c’est une propriété de la diffusion dans n’importe quel potentiel de courte portée. Ce comportement peut être compris intuitivement: si l 6= 0, il y a une barrière centripète qui
empêche la particule de s’approcher vers l’origine.
Plus l est grand, moins important sera l’effet du potentiel, et par conséquent la diffusion
est diminuée. Plus mathématiquement, on peut regarder la version classique de la diffusion.
La trajectoire d’une particule classique est caractérisée par deux grandeurs : la quantité de
mouvement et le paramètre d’impact (la distance minimale entre la particule et l’origine si
la particule n’était pas déviée par le potentiel), par exemple. Si le potentiel est nul (ou très
petit) pour r > a, une particule de paramètre d’impact b > a ne sera pas (ou presque pas)
diffusée. Or, on peut exprimer le paramètre d’impact en termes de p et du moment angulaire
L : b = L/p. Donc, la condition b > a se traduit par L/p > a. Pour une particule de vecteur
d’onde k et de moment angulaire l, on conclut que la diffusion est minime si l > ka. À basse
énergie (ka ¿ 1), seulement le canal l = 0 peut subir une diffusion importante.
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 8
4 Effet Ramsauer-Townsend; Diffusion résonnante
Dans la dérivation de (28), on a spécifiquement exclu des valeurs “non génériques” de κa.
Que se passe-t-il dans ces cas spéciaux? Ces points spéciaux donnent beaucoup de structure
à la section efficace.
Si le numérateur du dernier facteur dans (27) est zéro pour une valeur donnée de l (l0 ,
disons), sin δl0 = 0 et ce canal ne contribuera pas à la diffusion. La diminution de σl0 en
fonction de l’énergie peut être assez brusque. Bien que ce phénomène soit intéressant dans
tous les canaux, il est particulièrement important si le phénomène a lieu à basse énergie, dans
le canal l = 0, pour la raison suivante. À basse énergie, le canal l = 0 domine la diffusion
(génériquement), mais si en variant l’énergie (toujours à basse énergie) on passe à travers
une valeur où sin δ0 = 0, la section efficace totale va chuter de façon dramatique. Cet effet
est nommé l’effet Ramsauer-Townsend.
Aussi intéressant est le cas où le dénominateur de (27) est zéro. Cela implique que sin δl0 =
±1, et (voir (14)) la section efficace de ce canal est maximale dans le voisinage de ce point.
Ce phénomène est nommé une résonance. Souvent (mais pas toujours) quand cela arrive,
le maximum est un pic étroit dans la section efficace en fonction de l’énergie. On peut
comprendre ce qui se passe intuitivement, en examinant le cas d’une résonance à basse
énergie dans un puits carré sphérique. Dans le cas de l = 0, le dénominateur est zéro quand
s
κa =
2m(V0 + E)
a = (n + 1/2)π.
h̄2
(33)
Si cette condition est satisfaite pour E ¿ V0 , (33) ressemble à la condition pour un état lié
à E = 0 dans un puits carré sphérique:3
s
2m(V0 )
a = (n + 1/2)π.
h̄2
(34)
On peut interpréter la résonance comme étant une manifestation de la proximité à un état
lié: les particules sont presque attrappées dans l’état lié, ce qui influence beaucoup leurs
trajectoires: elles sont facilement diffusées.
En théorie des champs (que ce soit relativiste, comme en physique des particules, ou nonrelativiste, comme en physique de la matière condensée), on voit aussi des résonances. Dans
ce contexte-là, la résonance est un signe d’un état intermédiaire quasi-stable, près de la
couche de masse. Par exemple, une collision e+ e− pourrait donner lieu à une annihilation
en un Z 0 virtuel. Le Z se désintègre par la suite en d’autres particules (lepton-antilepton,
quark-antiquark, etc.). L’énergie et la quantité de mouvement du Z sont égales à la somme
de celles des particules initiales. En général, le Z n’est pas sur sa couche de masse: c’est-àdire, E 2 6= p2 c2 + m2Z c4 . Le Z doit “tricher” temporairement. Mais si l’expérience est faite
3
Voir
q Gasiorowicz, Eq. (10-93) pour l = 0; on obtient l’équation transcendentale κa cot κa = −αa, où
α = 2m|E|/h̄2 . Cette équation aura des solutions d’énergie zéro si (34) est satisfaite.
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 9
de telle sorte que le Z est, en fait, sur (ou près de) la couche de masse,4 il n’est pas forcé de
tricher. Le Z dure donc plus longtemps et le processus aura une section efficace beaucoup
plus élevée qu’à une autre énergie.
Dans la figure on voit un graphique des sections efficaces partielles σ0 et σ1 d’un puits
sphérique, en fonction de ka. On voit des résonances et des zéros dans chaque canal.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Résonances et zéros de la section efficace d’un puits carré sphérique. Les sections
efficaces partielles (normalisées par 4πa2 ) des canaux l = 0 (ligne solide) et l = 1
(tirets longs), et la somme des deux (tirets courts), sont tracées en fonction de ka.
Le paramètre 2mV0 a2 /h̄2 = 1.0.
5 Théorème Optique
Mea-culpa. Dans la section 2.1. j’ai fait une passe mathématique illégale. En fait, la
conclusion de cette section est un peu douteuse, pour la raison suivante. Selon (11), le
courant comprend deux parties: celle de l’onde plane, et celle de l’onde diffusée. Si l’on
calcule le flux de particules sortant d’une grande sphère centrée à l’origine (par “flux”, je
veux dire l’intégrale du courant radial sur la surface de la sphère), on constate que l’onde
plane donne zéro (il y a autant de particules entrantes que sortantes dans l’onde plane), et
l’onde diffusée donne un flux net qui est précisement la section efficace totale fois le courant
incident. Selon l’équation de continuité (conservation de charge), un flux net de particules
doit être dû a une diminution du nombre de particules dans la sphère. Pourtant, la fonction
d’onde (8) décrit une situation statique (la fonction d’onde ne change pas dans le temps,
à part la phase exp −iEt/h̄), donc le nombre de particules à l’intérieur de la sphère est
constant, et on a une contradiction.
La résolution se trouve dans les termes d’interférence. J’ai dit que ces termes viennent tous
avec un facteur exp ±ikr(1 − cos θ), qui oscille extrêmement rapidement. L’oscillation vient
4
Ce serait le cas, par exemple, si la collision était dans le référentiel du centre de masse et que la somme
des énergies des deux faisceaux était égale à la masse du Z [fois c2 , bien sûr!].
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 10
du fait que l’onde plane se propage toujours et partout en direction z, tandis que l’onde
diffusée se propage en direction radiale. Cela implique qu’en un point quelconque dans
l’espace, la phase relative change selon la position. Ceci n’est pas vrai, par contre, le long
de l’axe positif z (θ = 0): le long de cet axe, les surfaces de phase constante coı̈ncident pour
les deux ondes. C’est donc dans cette direction que le terme d’interférence pourrait avoir un
effet.
Y compris les termes d’interférence, le flux sortant de la grande sphère doit donner zéro:
Z
r2 dΩ(jonde
plane,r
+ jonde
diff,r
+ jint,r ) = 0,
(35)
ou
h̄k
σ + Φint = 0.
(36)
m
L’intégrale du terme d’interférence donne donc une façon de calculer la section efficace totale.
0+
Calculons le flux dû aux termes d’interférence, Φint . Le courant est donné par
(
jint
Ã
h̄
eikr
=
e−ikr cos θ ∇ f (θ)
2mi
r
!
−ikr
∗e
+ f (θ)
r
)
ikr cos θ
∇e
− c.c.
(37)
On s’intéresse surtout à la composante radiale. Avec un peu d’algèbre, on trouve
jint,r
h̄
=
2mi
(
f (θ)eikr(1−cos θ) − f (θ)∗ e−ikr(1−cos θ)
r2
)
´
ik(1 + cos θ) ³
ikr(1−cos θ)
∗ −ikr(1−cos θ)
.
+
f (θ)e
+ f (θ) e
r
(38)
Regardons juste le dernier terme. Nous allons voir que ce terme donne une contribution au
flux indépendante de r. Un traitement identique du premier terme de (38) donnerait une
contribution au flux qui diminue comme 1/r; ce terme est donc négligeable loin de l’origine.
Négligeant ce terme, on a
(
jint,r
Le flux est
)
h̄k
eikr(1−cos θ)
'
2i Im if (θ)(1 + cos θ)
.
2mi
r
½
(39)
¾
Z 1
2πrh̄k
(40)
Φint =
Im i
dµf (µ)(1 + µ)eikr(1−µ) ,
m
−1
où µ = cos θ et où par un petit abus de notation on écrit f (θ) → f (µ). Comme le dernier
facteur oscille rapidement sauf vers en avant, on s’attend à ce que l’intégrale soit dominée
par la contribution à µ = 1.5 Nous pouvons, donc, remplacer f (cos θ)(1 + µ) → 2f (0). Cela
donne
½
¾
Z 1
4πrh̄k
Φint =
Im if (0)
dµeikr(1−µ) .
(41)
m
−1
5
Ceci est essentiellement le contenu du lemme de Riemann-Lesbegue; voir Gasiorowicz p. 390 et ex. 23-7.
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 11
L’intégrale est élementaire; négligeant le terme venant de la borne inférieure (qui oscille
rapidement), on obtient
½
Φint =
4πrh̄k
1
Im if (0)
m
−ikr
¾
= −4π
h̄
Imf (0).
m
(42)
Mettant cette expression dans (36) donne le résultat final, le théorème optique:
σ=
4π
Imf (0).
k
(43)
(Vous avez sans doute l’impression que la dérivation manque un peu de rigueur. Je suis
d’accord. Mais il y a une certaine satisfaction quand on fait en quelques lignes ce que ferait
un mathématicien en 40 pages! Par contre, je dois avouer que j’aurais aimé faire quelque
chose un peu plus propre mathématiquement. Peut-être l’année prochaine. . . )
6 Approximation de Born
La décomposition de σ en termes d’ondes partielles est utile, particulièrement à basse énergie,
quand les sections efficaces partielles diminuent rapidement avec l. Par conséquent, on peut
tronquer la série après quelques termes. Il va de soit que cette décomposition ne s’applique
que si le potentiel est invariant sous rotation.
Une autre approximation, celle dite de Born, s’applique à haute énergie et/ou si le potentiel
est faible. L’approximation de Born ne fait pas de décomposition angulaire, et s’applique
peu importe les propriétés du potentiel sous rotation. Il s’agit, en gros, d’une application de
la théorie des perturbations au problème de diffusion.
L’ÉS peut être réarrangée pour donner
(∇2 + k 2 )ψ(r) =
2mV (r)
ψ(r),
h̄2
(44)
où (comme d’habitude) k 2 = 2mE/h̄2 . On peut interpréter le membre de droite comme terme
de “source” ajouté à l’équation “homogène” (c’est-à-dire, (∇2 + k 2 )ψ(r) = 0).6 Pourtant,
la “source” dépend de la fonction qu’on essaie d’évaluer, et la même méthode qui nous
donne une solution à l’équation de Poisson ne donne qu’une équation intégrale pour ψ. Nous
pouvons écrire la solution de (44) en termes de la fonction de Green de l’opérateur à la
gauche. La fonction de Green est par définition la solution de l’équation
(∇2(r) + k 2 )G(r, r0 ) = δ 3 (r − r0 ),
6
(45)
La terminologie est similaire à ce que vous avez probablement vu en électromagnétisme: si k = 0 et
qu’on écrit le membre de droite de (44) 4πρ, on a l’équation de Poisson pour le potentiel électromagnétique.
Le membre de droite est la source du potentiel.
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 12
qui est (44) avec la source remplacée par une fonction-delta située à un point quelconque, r0 .
L’idée sous-jacente de l’approche en fonctions de Green est que pour une équation linéaire
à laquelle on ajoute une source, la linéarité de l’équation implique que la solution pour une
somme de sources est la somme des solutions pour chaque source individuellement.
La solution de (44) peut être écrite
Z
ψ(r) = ψh (r) +
d3 r0 G(r, r0 )
2mV (r0 )
ψ(r0 ),
h̄2
(46)
où ψh est une solution de l’équation homogène (sans source, i.e., (∇2(r) + k 2 )ψh (r) = 0, où
il est prudent de noter que la dérivée est prise par rapport à r et non pas par rapport à
la variable muette d’intégration r0 ). Avec un petit peu d’algèbre, on peut vérifier que (46)
donne une solution en opérant avec (∇2(r) + k 2 ).
Quelle est la fonction de Green? L’éq. (45) n’est pas tellement difficile à résoudre; la solution
est
0
eik|r−r |
0
,
(47)
G(r, r ) = −
4π|r − r0 |
comme on peut vérifier en substituant (47) dans (45). (Deux remarques: 1. On observe que
si k → 0, (45) devient l’équation de Poisson pour une charge ponctuelle à r0 ; dans cette même
limite (47) est le potentiel électromagnétique correspondant. 2. La solution de (45) n’est
pas unique; par exemple, si on remplace k → −k dans (47) on obtient une autre solution.
Eq. (47) est la solution appropriée pour la diffusion.)
Est-ce que (46) représente la solution de l’ÉS pour un potentiel quelconque? Pas du tout:
dans cette équation, on a écrit ψ en termes d’une intégrale contenant ψ. Ce qu’on a fait est
simplement une transformation d’une équation différentielle en une équation intégrale. Cette
dernière n’est pas plus facile à résoudre que l’ÉS de départ, mais elle est mieux structurée
pour faire un développement perturbatif.
On a trouvé l’expression (46) pour la fonction d’onde ψ; cette expression ressemble beaucoup
à (8): la fonction d’onde est une onde plane (solution de l’ÉS sans potentiel) plus une onde
diffusée. Cette apparence est correcte: on va choisir comme solution de l’équation homogène
une onde plane. Donc, (46) devient
Z
ψ(r) = eik·r +
d3 r0 G(r, r0 )
2mV (r0 )
ψ(r0 ).
h̄2
(48)
Jusqu’ici on n’a fait aucune approximation, mais on ne peut pas aller tellement loin avec (48)
sans approximation: on ne peut pas évaluer l’intégrale (pour déterminer ψ), car l’intégrande
contient ψ. L’approximation de Born est une solution formelle itérative de (48). Si l’on a
raison de croire que l’effet du potentiel est petit, on peut espérer que le deuxième terme
0
dans (48) sera plus petit que le premier. Cela étant, on peut approximer ψ(r0 ) ' eik·r dans
l’intégrande, ce qui donne
Z
ik·r
ψ(r) ' e
+
0
m Z 3 0 eik|r−r |
2mV (r0 ) ik·r0
0
ik·r
dr
V (r0 )eik·r .
e
=e −
d r G(r, r )
2
2
0
|r − r |
h̄
2πh̄
3 0
0
(49)
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 13
On s’intéresse à la fonction d’onde dans la région asymptotique: r → ∞. Dans ce cas, on
peut approximer |r − r0 | ' r dans le dénominateur de (49). Dans la phase exp ik|r − r0 |,
par contre, il faut être prudent: cette même approximation aurait comme conséquence la
perte d’un facteur de phase indépendant de r dans la limite r → ∞. Donc on fait une
approximation de Taylor de |r − r0 |, qui donne |r − r0 | ' r − r̂ · r0 . Ainsi, on obtient
ψ(r) ' eik·r −
m 1 Z 3 0 ik(r−r̂·r0 ) ik·r0
eikr
0
ik·r
d
r
e
e
V
(r
)
≡
e
+
fB (θ, φ),
r
2πh̄2 r
(50)
où fB (θ, φ) est l’amplitude de diffusion dans l’approximation de Born. Définissant un vecteur
kΩ ≡ kr̂ (c’est le vecteur d’onde des particules diffusées en direction r), on a:
fB (θ, φ) = −
m Z 3 0 −i(kΩ −k)·r0
d re
V (r0 )
2
2πh̄
(51)
Finalement, si nous définissons le changement de vecteur d’onde (proportionnel au changement de la quantité de mouvement de la particule lors de la diffusion) ∆ ≡ kΩ − k, on
écrit
m
m Z 3 0 −i∆·r0
d re
V (r0 ) = −
Ṽ (∆),
(52)
fB (θ, φ) = −
2
2πh̄
2πh̄2
où Ṽ (∆) est la transformée de Fourier de V (r).
À titre d’exemple, on considère le potentiel dit de Yukawa:
V (r) = V (r) = −e2
e−r/a
,
r
(53)
ce qui ressemble au potentiel électromagnétique. En fait, ce potentiel peut décrire l’interaction électromagnétique entre deux particules chargées s’il y a un écrantage de la force lorsque
la distance entre les particules est plus grande que l’ordre de la distance caractéristique a.
Alternativement, ce potentiel décrit une force médiée par une particule massive, dont la
longueur d’onde de Compton est a. (La longueur d’onde de Compton est une longueur
intrinsèque d’une particule massive, qui est donnée par λC = h̄/mc.)
Évaluons la transformée de Fourier de V . Comme V ne dépend pas des angles, ce sera aussi
le cas pour Ṽ (∆). Par conséquent, on peut choisir l’orientation de ∆ en direction z afin de
simplifier l’intégrale. Donc,
Ṽ (∆) = −2πe
2
Z ∞
0
dr r
2
Z 1
−1
dµ e−i∆rµ
e−r/a
.
r
(54)
Les intégrales sont faciles; on obtient
1
,
+ (1/a)2
(55)
2me2
1
.
2
2
h̄ ∆ + (1/a)2
(56)
Ṽ (∆) = −4πe2
et
fB (θ) =
∆2
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 14
Dans l’approximation de Born, la section efficace différentielle est
dσB
4m2 e4
1
= |fB (θ)|2 =
.
4
2
dΩ
h̄ (∆ + (1/a)2 )2
(57)
Or, ∆ = |kΩ − k|. Ces deux vecteurs sont de longueur k, et l’angle relatif entre eux est θ,
donc ∆2 = 4k 2 sin2 (θ/2). On obtient finalement
dσB
4m2 e4
1
=
.
2
4
2
dΩ
h̄ (4k sin (θ/2) + (1/a)2 )2
(58)
Si nous prenons la limite a → ∞, nous obtenons le potentiel Coulomb, V (r) = e2 /r. Dans
cette limite on obtient (écrivant h̄2 k 2 /2m = E)
dσB
→
dΩ
Ã
e2
4E sin2 (θ/2)
!2
.
(59)
Vous vous souvenez clairement, sans doute, que cette expression n’est rien d’autre que la
section efficace différentielle de Coulomb en mécanique classique. D’autant plus, c’est le
résultat exact en mécanique quantique. (Ce calcul se trouve dans plusieurs livres avancés,
tels que Sakurai, Modern Quantum Mechanics, ou Schiff, Quantum Mechanics.) L’égalité de
ces résultats est co}ıncidente, surtout pour le résultat obtenu par l’approximation de Born:
tout le formalisme que nous avons considéré ne s’applique pas au problème de diffusion
Coulomb, car la forme asymptotique ((18), par exemple) ne s’applique pas pour le potentiel
Coulomb.
PHY 3813, Hiver 2004
16 juillet, 2004
Mécanique Quantique Avancée
Introduction à la Diffusion – Page 15
A Quelques propriétés des fonctions de Bessel sphériques
Équation de Bessel sphérique:
Ã
Ã
d2
2 d
l(l + 1)
+
+ k2 −
2
dr
r dr
r2
!!
Rl = 0
Les solutions sont jl (kr) et nl (kr).
Fonctions de Bessel pour l = 0, 1, 2:
sin kr
kr
sin kr cos kr
j1 (kr) =
−
(kr)2
kr
3 sin kr 3 cos kr sin kr
j2 (kr) =
−
−
(kr)3
(kr)2
kr
j0 (kr) =
cos kr
kr
cos kr sin kr
n1 (kr) = −
−
(kr)2
kr
3 cos kr 3 sin kr cos kr
n2 (kr) = −
−
+
(kr)3
(kr)2
kr
n0 (kr) = −
Comportement asymptotique: pour r → ∞,
´
1
1 ³ −i(kr−lπ/2)
sin(kr − lπ/2) = −
e
− ei(kr−lπ/2)
kr
2ikr
´
1 ³ −i(kr−lπ/2)
1
e
+ ei(kr−lπ/2)
nl (kr) → − cos(kr − lπ/2) = −
kr
2kr
jl (kr) →
Pour r → 0,
(kr)l
(kr)l
=
1 · 3 · · · (2l + 1)
(2l + 1)!!
1 · 3 · · · (2l − 1)
(2l − 1)!!
nl (kr) → −
=−
l+1
(kr)
(kr)l+1
jl (kr) →
Relation avec fonctions de Bessel standard:
r
jl (x) =
π
J 1 (x),
2x l+ 2
r
nl (x) =
π
N 1 (x)
2x l+ 2