Application à l`étude de différents circuits électriques

Chapitre 7 Annexe
EXEMPLES D’ÉTUDES DE SYSTÈMES ÉLECTRIQUES
1 Réponse d’un circuit RC à un échelon de tension
Cadre de travail
On considère un circuit constitué d’un
résistor de résistance R, en série avec
un condensateur de capacité C, initia-
lement déchargé.
L’ensemble est, à l’instant t, soumis à
une tension e(t), décrite par l’échelon
de tension représenté ci-dessous :
On cherche à déterminer la valeur de la tension aux bornes du conden-
sateur, et de l’intensité du courant traversant ce circuit à l’instant t.
→Étude du circuit
A l’instant t, on a :
•d’après la loi des mailles (et la loi d’Ohm), e(t) = R i(t) + u(t);
•le condensateur étant, ici, dans une phase de charge, il est en convention récep-
teur, si bien que la charge électrique q(t)traversant le condensateur vérifie :
q(t) = C u(t);
•puisque l’intensité i(t)du courant traversant le condensateur décrit le débit
de charge électrique à travers celui-ci, il vient : i(t) = dq
dt(t) = Cdu dt(t).
Ainsi, à l’instant t:RC du
dt(t) + u(t) = e(t).
→Résolution de l’équation différentielle obtenue
En notant τ=RC 1, et en reprenant les notations mathématiques usuelles, on
voit que la fonction uvérifie l’équation différentielle :
(E)y0+1
τy=e(t) τ
•Résolution de l’équation homogène associée (E0):y0+1
τy= 0.
Les solutions de (E0)sont les fonctions de la forme t7→ λe−t
τ, où λ∈R.
•Détermination d’une solution particulière
On voit facilement que la fonction fdéfinie sur R+par f(t) = E0est une
solution particulière de (E).
Par conséquent, l’ensemble des solutions de (E)est :
 R+−→ R
t7−→ E0+λe−t
τ;λ∈R
→Prise en compte des conditions initiales
Le condensateur étant initialement déchargé, par continuité de sa charge,
u(0) = 0. Ainsi, l’unique solution cherchée est définie par le paramètre λ=−E0.
Par conséquent, pour tout t∈R+,u(t) = E01−e−t
τ:
On en déduit la valeur de l’intensité :
pour tout t∈R+,
i(t) = Cdu
dt(t) = E0 Re−t
τ.
1. On montre que τest homogène à une durée, que l’on appelle constante de temps

2 Réponse d’un circuit RL à un échelon de tension
Cadre de travail
On considère un circuit constitué d’un
résistor de résistance R, en série avec
une bobine d’inductance Let un
condensateur de capacité C, initiale-
ment déchargé.
L’ensemble est, à l’instant t, soumis
à une tension e(t), qui, comme précé-
demment, passe d’une valeur nulle à
une valeur E0à l’instant t= 0.
On suppose, en outre, qu’avant l’instant t= 0, le régime permanent est atteint :
la bobine se comporte comme un fil et, pour tout t < 0,i(t)=0.
On cherche à déterminer la valeur de la tension aux bornes de la
bobine, et de l’intensité du courant traversant ce circuit à l’instant t.
→Étude du circuit
A l’instant t, on a :
•d’après la loi des mailles, e(t) = R i(t) + u(t);
•la tension aux bornes de la bobine – qui est en convention récepteur – vérifie :
u(t) = Ldi
dt(t).
Ainsi, à l’instant t:R i(t) + Ldi
dt(t) = e(t).
→Résolution de l’équation différentielle obtenue
En notant τ=L
R(que l’on appelle encore constante de temps), et en reprenant
les notations mathématiques usuelles, on voit que la fonction ivérifie l’équation
différentielle :
(E)y0+1
τy=e(t) Rτ
La résolution de cette équation différentielle du premier ordre se déroule de
façon analogue à la précédente, et amène l’ensemble de solutions suivant :
(" R+−→ R
t7−→ E0
R+λe−t
τ#;λ∈R)
→Prise en compte des conditions initiales
Puisque, pour tout t < 0,i(t) = 0, et comme le courant traversant une bo-
bine dépend continûment du temps, il vient alors : i(0) = 0. L’unique solution
cherchée est donc définie par le paramètre λ=−E0
R.
Ainsi, pour tout t∈R+,i(t) = E0
R1−e−t
τ:
On en déduit la valeur de la tension :
pour tout t∈R+,
u(t) = Ldi
dt(t) = τE0e−t
τ.
Quelques considérations physiciennes
Dans les deux exemples précédents, la réponse du circuit considéré à un échelon
de tension peut être décomposée en deux phases :
i. le régime transitoire, qui correspond aux premiers instants de l’évolution de
l’état du circuit ;
ii. le régime établi, qui correspond au nouvel équilibre du circuit.
Les circuits étudiés ici présentent des régimes établis dans lesquels tension et in-
tensité sont indépendantes du temps : on parle alors de régime permanent continu.
Cette caractéristique traduit le fait qu’une fois chargé, un condensateur se com-
porte comme un interrupteur ouvert, tandis que, une fois l’équilibre établi, une
bobine se comporte comme un fil.

3 Etude d’un circuit RLC
Cadre de travail
On considère un circuit constitué d’un
résistor de résistance R, en série avec
une bobine d’inductance Let un
condensateur de capacité C.
L’ensemble est, à l’instant t, soumis à
une tension e(t).
On veut déterminer la valeur de la tension aux bornes du condensa-
teur à l’instant t.
→Étude du circuit
A l’instant t, on a :
•d’après la loi des mailles, e(t) = R i(t) + uL(t) + uC(t);
•la tension aux bornes de la bobine – qui est en convention récepteur – vérifie :
uC(t) = Ldi
dt(t);
•en considérant le condensateur en convention récepteur, la charge électrique
q(t)qui le traverse vérifie : q(t) = C u(t), et donc : i(t) = dq
dt(t) = CduC dt(t).
Ainsi, à l’instant t:RC duC
dt(t) + LC d2uC dt2(t) + uC(t) = e(t).
En d’autres termes, la fonction uCest solution de l’équation différentielle :
(E)y00 +R
Ly0+1 LC y=e(t) LC
→Résolution de l’équation homogène associée
L’équation homogène considérée peut s’interpréter comme l’équation régissant
la tension aux bornes du condensateur lorsque le circuit n’est pas soumis à un
courant « extérieur » au montage RLC en série : on parle alors de « régime libre ».
Pour décrire ce régime libre, nous supposerons, ici, le condensateur préalablement
chargé : le régime libre correspond alors au comportement du circuit lorsque le
condensateur se décharge dans la bobine et la résistance.
L’équation caractéristique associée est r2+R
Lr+1 LC = 0, et le discriminant
de cette équation est ∆ = R2
L2−4 LC .
Notons δune racine carrée (complexe) de ∆: comme ∆est réel, δest un nombre
réel (éventuellement nul) ou imaginaire pur.
Plusieurs cas de figure apparaissent alors :
Si R= 0 (ce qui signifie que le circuit ne possède aucune résistance... et qu’on
néglige l’effet Joule produit par le courant électrique) : dans ce cas, ∆<0, ce
qui impose que δest un imaginaire pur. Il existe donc ω0∈R(que l’on peut
choisir strictement positif) tel que 1
LC =ω2
0et les solutions de l’équation
caractéristique sont iω0et −iω0.
Ainsi, les solutions de (E0)
sont les fonctions de la forme
t7→ λcos(ω0t) + µsin(ω0t),
où (λ, µ)∈R2.
Comme on l’a vu que ce genre
de fonctions peut se réécrire
sous la forme
t7→ Acos(ω0t+ϕ),
où A∈R+(c’est l’amplitude
de la tension) et ϕ∈R.
Le réel ω0est appelé pulsation propre 2d’oscillation.
Dans cette situation, le courant traversant le circuit ne subit pas d’atténuation
d’amplitude.
Si R > 0(ce qui est effectif dès que l’on tient compte de l’effet Joule), en
notant encore ω0=r1
LC , et en posant Q=L Rω0(grandeur appelée facteur
de qualité), l’équation homogène associée à (E)se réécrit :
(E0)y00 +ω0
Qy0+ω2
0y= 0
L’équation caractéristique de cette dernière est r2+ω0
Qr+ω2
0= 0, et son
discriminant vaut ∆0=ω2
01
Q2−4.
2. propre, car ne dépendant que des caractéristiques du condensateur et de la bobine

→Si Q > 1
2, alors ∆0<0, et les solutions de l’équation caractéristique sont
−ω0
2Q1 + ip4Q2−1et −ω0 2Q1−ip4Q2−1.
Alors, en posant
ω=ω0r1−1
4Q2(pseudo-
pulsation), les solutions de
(E0)sont donc les fonctions
de la forme
t7→ Ae−ω0
2Qtcos(ωt +ϕ),
où A∈R+et ϕ∈R.
Ce comportement est dit pseudo-périodique, et on considère que l’amplitude
est alors faiblement amortie.
Le retour vers un régime permanent s’effectue ici par oscillations exponen-
tiellement amorties autour de ce régime, de pseudo-pulsation Ω.
→Si Q=1
2, alors ∆ = 0, et l’équation caractéristique admet −ω0
2Qpour
unique solution.
Par conséquent, les solutions
de (E0)sont de la forme
t7→ (At +B)e−ω0
2Qt,
où (A, B)∈R2.
On parle alors d’amortissement critique, et le retour vers le régime perma-
nent s’effectue sans oscillation ni dépassement de la valeur finale.
→Si Q < 1
2, alors ∆>0, et l’équation caractéristique a deux solutions
réelles négatives :−ω0
2Q1 + p1−4Q2et −ω0 2Q1−p1−4Q2.
Les solutions de (E0)sont alors les fonctions de
la forme
t7→ e−ω0
2QtAetω0p1
4Q2−1+Be−tω0p1 4Q2−1,
où (A, B)∈R2.
Le retour à un régime permanent s’effectue, là aussi, sans oscillation ni
dépassement de la valeur finale : on parle alors de régime apériodique.
Remarque : le régime critique assure le retour à l’équilibre le plus rapide sans
dépassement de la valeur finale.
→Réponse à un échelon de tension
On suppose, à présent, le circuit soumis, à l’instant t, à une tension e(t), passant
d’une valeur nulle à une valeur E0à l’instant t= 0.
Le condensateur sera supposé préalablement déchargé, et aucun courant ne tra-
verse le circuit initialement : autrement dit, uC(0) = 0 et i(0) = duC
dt(0) = 0.
Dans ce cas, la fonction t7→ E0est une solution particulière de l’équation (E).
La tension uC(t)aux bornes du condensateur à l’instant tpeut donc s’écrire
comme la somme d’une des solutions décrites précédemment et de E0.
Par exemple, dans le cas où Q > 1
2(amortissement « faible ») :
→il existe (λ, µ)∈R2tel que, pour tout t>0:
uC(t) = E0+ e−ω0
2Qt(λcos(ωt) + µsin(ωt)).
→comme uC(0) = 0,λ=−E0;
→puisque duC
dt(0) = 0,µ=−E0 2Q×ω0 ω.
Ainsi, dans ce cas, pour tout t>0:
uC(t) = E01−e−ω0
2Qt(cos(ωt) + ω0
2Qω sin(ωt))
Nota bene
De nouveau, la réponse du circuit considéré à un échelon de tension passe par un
régime transitoire (qui est décrit par la résolution de l’équation homogène), qui
laisse ensuite place au régime établi (qui n’est autre que la solution particulière).