Poly 2016-2017 - Inria Sophia Antipolis

Introduction à la modélisation financière
en temps continue
&
Calcul Stochastique
Mireille Bossy
INRIA
Master 2 IMAFA à Polytech Nice Sophia Antipolis
(24 novembre 2016)

SOMMAIRE
Sommaire
1 Quelques elements de la theorie des probabilites iii
1.1 Espace de probabilité, variable aléatoire ............................... iii
1.1.1 Loi d’une variable aléatoire ................................. iv
1.1.2 Indépendance ......................................... iv
1.2 Quelque lois usuelles ......................................... v
1.2.1 Masse de Dirac ........................................ vi
1.2.2 Loi uniforme ......................................... vi
1.2.3 Loi normale et variables aléatoires gaussiennes ....................... vi
1.3 Quelques résultats élémentaires et Inégalités ............................. vii
1.4 Convergence de variables aléatoires ................................. viii
1.5 Probabilité conditionnelle sachant un événement ........................... xi
1.6 Espérance conditionnelle sachant une tribu ou une variable aléatoire ................ xi
1.7 Loi des grands nombres et théorème de limite centrale ....................... xiv
2 Processus Stochastiques et mouvement Brownien 1
2.1 Généralités sur les processus stochastiques .............................. 1
2.2 Le mouvement brownien ....................................... 2
2.2.1 Quelques propriétés du mouvement brownien ........................ 2
2.2.2 Quelques propriétés de la trajectoire brownienne ...................... 3
2.2.3 Mouvement brownien vectoriel ............................... 4
2.2.4 Mouvement brownien vectoriel corrélé ........................... 5
3 Premiers éléments de Calcul Stochastique 7
3.1 Filtration et adaptation ........................................ 7
3.1.1 Martingales en temps continue ................................ 8
3.1.2 Des exemples de martingales ................................. 9
3.1.3 L’inégalité maximale de Doob ................................ 9
3.2 Sur la convergence des variables aléatoires .............................. 9
3.2.1 Variation quadratique du mouvement brownien ....................... 10
3.3 Intégrale d’Itô – cas unidimensionnel ................................. 11
3.3.1 Différents espaces de processus ............................... 11
3.3.2 Intégration des processus élémentaires ............................ 12
3.3.3 Intégration des processus de M2
F(0, T )........................... 14
3.3.4 Intégration de processus de L2
F(0, T )............................ 15
3.3.5 L’intégrale stochastique comme processus .......................... 16
3.4 Formule d’Itô – cas unidimensionnel ................................. 17
3.5 Intégrale d’Itô – cas multidimensionnel ............................... 19
3.6 Formule d’Itô – cas multidimensionnel ................................ 20
3.7 Processus d’Itô et martingale ..................................... 22
3.8 Caractérisation de Lévy du mouvement brownien .......................... 23
3.9 Changement de Probabilité ...................................... 23
3.9.1 Exemple élémentaire ..................................... 24
3.9.2 Le cas des variables gaussiennes ............................... 24
iIMAFA POLYTECH NICE SOPHIA/COURS DE MATHS FINANCIÈRES /M. BOSSY

SOMMAIRE
4 Options européennes, modèle de Black et Scholes unidimensionnel 27
4.1 Description du modèle de marché Black et Scholes ......................... 27
4.2 Les stratégies de financement ..................................... 28
4.2.1 Les stratégies autofinancées ................................. 28
4.2.2 Actualisation, changement de numéraire ........................... 29
4.3 Opportunité d’arbitrage et probabilité risque neutre ......................... 29
4.3.1 Lien entre A.O.A et probabilité risque neutre ........................ 30
4.4 Stratégies admissibles ......................................... 31
4.5 Options européennes ......................................... 31
4.5.1 Le pricing d’option européenne dans le modèle de Black et Scholes ............ 32
4.5.2 Premier énoncé pour le pricing d’une option européenne .................. 32
4.5.3 Second énoncé pour la valorisation d’une option européenne ................ 34
4.5.4 La formule de Black et Scholes ............................... 35
4.6 Mouvement brownien et équation de la chaleur ........................... 36
ii IMAFA POLYTECH NICE SOPHIA/COURS DE MATHS FINANCIÈRES /M. BOSSY

CHAPITRE 1. QUELQUES ELEMENTS DE LA THEORIE DES PROBABILITES
Chapitre 1
Quelques elements de la theorie des
probabilites
1.1 Espace de probabilité, variable aléatoire
Définition 1.1.1. On se donne un ensemble Ωet F, un ensemble de parties de Ω.
Fest une tribu sur Ω, encore appelé une σ-algèbre, si cet ensemble d’ensembles vérifie les trois propriétés
suivantes :
1) ∅ ∈ F et Ω∈ F ;
2) si A∈ F alors son complémentaire Ac∈ F ;
3) Fest stable par l’intersection et la réunion dénombrable.
Définition 1.1.2. Une probabilité Psur l’espace mesurable (Ω,F)est une mesure positive sur (Ω,F)de masse
1. Plus précisément, Pest une application de Fdans [0,1] telle que
— 1) P(Ω) = 1.
— 2) Si (An)n∈Nest une suite d’éléments de Ftelle que Ai∩Aj=∅,i6=j, alors P([
n∈N
An) = X
n∈N
P(An).
L’espace mesuré (Ω,F,P)est appelé espace de probabilité.
A un phénomène aléatoire, on peut associer de façon intuitive un couple (Ω,F).Ωest appelé l’ensemble
des réalisations. On note par ωun élément générique de Ωappelé épreuve ou réalisation.Fest l’ensemble des
parties de Ωassociées à des événements. Ωest l’événement certain, ∅est l’événement impossible.
Un événement Aest dit presque sûr si son complémentaire Acest P-négligeable, P(Ac) = 0.
Une propriété Pest dite presque sûre (noté p.s.) si Pest vraie Ppresque partout ou encore si l’ensemble des
ω∈Ωqui ne satisfont pas Pest P-négligeable.
Définition 1.1.3. Une variable aléatoire (v.a.) Xest une fonction mesurable définie sur l’ensemble Ω, à valeurs
dans un autre espace mesurable (E, E).
X: Ω −→ Eet pour tout B∈ E,X−1(B)∈ F.
Dans toute la suite Esera égal à Rou Rdet Eà la tribu borélienne de Rou Rdnotés B(R),B(Rd). Suivant le
contexte, |x|désignera la valeur absolue sur Rou la norme euclidienne sur Rd.
Dès que RΩ|X(ω)|dP(ω)<+∞, pour une v.a. Xà valeurs dans Rd, son espérance E(X)est bien définie et
E(X) = ZΩ X(ω)dP(ω).
Pour 1≤p < ∞on définit l’espace Lp(Ω,F,P)comme l’espace des variables aléatoires X p-intégrables,
c’est à dire vérifiant E|X|p=ZΩ|X|p(ω)dP(ω)<∞. En identifiant entres elles les variables égales presque
sûrement, on obtient l’espace quotient Lp(Ω,F,P)(noté parfois simplement Lp). Pour 0<p<∞, on pose
kXkp= (E|X|p)1
p.
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