Chapitre V : Conditionnement Extrait du programme : I. Probabilité

Chapitre V : Conditionnement
Extrait du programme :
I.
Probabilité conditionnelle
Définition : Soient A et B deux événements avec PA≠.
On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre noté PAB défini par :
PAB PAB
PA
Remarque : Cela peut aussi s’écrire P(A)PA(B)= P(AB)
On en déduit que P(A)PA(B) = P(B)PB(A), les deux membres étant égaux à P(AB)
Point-méthode 13 : Calculer la probabilité d’une intersection
Tous les élèves de Terminale d’un lycée ont passé un test de certification en anglais.
(1) 80% ont réussi le test
(2) Parmi ceux qui ont réussi le test, 95% n’ont jamais redoublé
(3) Parmi ceux qui ont échoué au test, 2% n’ont jamais redoublé.
On considère les événements T : « l’élève a réussi le test » et D : « l’élève a déjà redoublé ».
Quelle est la probabilité qu’un élève de Terminale ait réussit le test et n’ait jamais redoublé ?
Solution : Il faut définir les événements utilisés :
On considère les événements T : « l’élève a réussi le test » et D : « l’élève a déjà redoublé ».
On traduit les données de l’énoncé sous forme de probabilités :
 
Alors (1) se traduit par : P(T)=80% ; (2) par PT( D ) = 95% et (3) par P T (D)=2%.

La probabilité de TD « L’élève a réussi le test et n’a jamais redoublé » est :


P(TDP(T)PT(D) = 0,80,95=0,76
Point méthode 14 : Construire un arbre pour représenter une expérience et calculer des
probabilités :
Représenter l’expérience décrite ci-dessus par un arbre pondéré et retrouver le résultat précédent
Solution :
Règle 1 : Sur les branches du 1er niveau, on inscrit les probabilités des
événements correspondants
Règle 2 : Sur les branches du 2ème niveau, on inscrit des probabilités
conditionnelles
Règle 3 : La somme des probabilités inscrites sur les branches issues
d’un même nœud est égale à 1.
Règle 4 : Le produit des probabilités des événements rencontrés le long
du chemin est égal à la probabilité de l’intersection de ces événements.

Ainsi pour le chemin rouge, on trouve : P(TD= 0,80,95 = 0,76
II.
Probabilités totales
On appelle feuille d’un arbre l’extrémité du dernier niveau de branche.
Propriété : Formule des probabilités totales
La probabilité d’un événement associé à plusieurs feuilles d’un arbre est la somme des probabilités de
ces feuilles.
cas particulier : lorsque A est un événement tel que P(A)0 et P(A)1, alors A et A forment une
partition de , et donc pour tout événement B : P ( B ) = P ( A∩B ) + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
Exemple : Si on reprend l’exemple précédent, alors on peut calculer la probabilité pour qu’un élève

n’ait pas redoublé. Il s’agit du calcul de P(D) :


 
P(D)=P(TDP(TD) = 0,80,95 + 0,2 0,02 = 0,764
Point-méthode 15 : Construire et utiliser un arbre pondéré et la formule des probabilités totales
Trois candidats A, B et C se présentent à une élection. Ils obtiennent respectivement la moitié, les trois
dixièmes et le cinquième des suffrages. D’autre part, on sait que 50% des électeurs de A, 30 % des
électeurs de B et 40% des électeurs de C sont des hommes.
On interroge au hasard une personne s’étant prononcé pour l’un des trois candidats.
1. Décrire l’expérience aléatoire à l’aide d’un arbre pondéré.
2. En déduire la probabilité d’interroger un homme ayant voté pour le candidat C.
3. On interroge au hasard une personne s’étant prononcé pour l’un des trois candidats.
Déterminer la probabilité que ce soit une femme.
4. La personne interrogée est une femme. Quelle est la probabilité qu’elle ait voté pour le
candidat C ?
Solution :
1. On note respectivement A, B et C les événements « avoir
voté pour le candidat A, B ou C », F et H les événements
« être une femme » et « être une homme ».
L’énoncé permet d’écrire : P(A)=0,5 ; P(B) = 0,3 et P(C) = 0,2 ; PA
(H)=0,5 ; PB(H)=0,3 et PC(H)=0,4
On peut donc construire un arbre pour représenter cette situation.
2. On cherche P(C∩H).
P(C∩H)=P(C)PC(H) = 0,20,4 = 0,08
La probabilité qu’un homme ait voté pour le candidat C est
de 0,08.
3. Une femme peut avoir voté pour le candidat A, B ou C.
Il s’agit d’un événement lisible sur 3 feuilles de l’arbre.
D’après la formule des probabilités totales, on a donc :
P(F)=P(A∩F)+P(B∩F)+P(C∩F)= 0,50,5 + 0,30,7 +0,20,6 = 0,58
La probabilité que la personne interrogée soit une femme est de 0,58.
4. Ici, l’énoncé nous donne une indication sur l’ensemble de référence : ce sont les femmes.
Donc, on cherche PF ( C ), et on utilise l’arbre ainsi que le résultat précédent pour faire le
calcul.
P ( C∩F ) 0,2 × 0,6
PF ( C ) =
=
 0,207
0,58
P(F)
III.
Loi binomiale
Dans ce paragraphe, il ne s’agit que de rappels de cours de 1ES. Vous trouverez tout dans le chapitre
X qui se trouve sur le forum. Je vous invite à reprendre les points-méthodes y figurant. Mais voici tout
de même quelques brefs rappels.
1. Loi (ou épreuve ou schéma) de Bernoulli
Définition : On appelle loi (ou épreuve) de Bernoulli, une loi de probabilité définie sur un univers 
formé de deux issues possibles, nommées « succès » (1) et « échec » (0). La loi est alors de la forme :
xi
pi
0
1–p
1
p
avec p  ] 0 ; 1[
Exemples : Lancer d’une pièce de monnaie. Obtenir ou non le 6 lors du jeter d’un dé.
Propriété : L’espérance de la loi de Bernoulli vaut p et sa variance p(1 – p).
2. Loi binomiale
Définition
Lorsqu’on répète n fois une épreuve de Bernoulli et que le résultat d’une épreuve ne dépend pas des
résultats obtenus aux épreuves précédentes, ces épreuves sont indépendantes. On s’intéresse à la
variable aléatoire X prenant pour valeur le nombre k de succès obtenus durant les n épreuves.
La loi de probabilité de X suit la loi binomiale de paramètres n et p, où n est le nombre d’épreuves et
p la probabilité de succès. On note B(n, p) cette loi.
Exemples : Jeter six fois de suite la même pièce de monnaie ; choisir cinq fois de suite un jeton dans un sac
contenant des jetons verts et des jetons bleus, en remettant à chaque fois le jeton tiré ; lancer un dé cubique
parfaitement équilibré, quatre fois de suite.
Expression de la loi binomiale
Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre k de succès au cours des n épreuves. Alors on a :
n
pk = p(X = k) = ( k ) pk(1 – p)n – k
Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale
Théorème( admis) :
L’espérance mathématique d’une loi binomiale de paramètres n et p est :
E(X)= n p.
La variance d’une loi binomiale de paramètres n et p est V(X)= n p( 1– p).
L’écart-type (X) vaut : (X) = n p – p
Exercice de rappel :
Dans une production de fruits, il y a 30% de fruits abîmés. On prélève un échantillon aléatoire de 80
fruits ( la population est suffisamment grande pour considérer qu’il s’agit de tirages avec remise).
Quelle est la probabilité d’avoir exactement 10 fruits abîmés ?
Quelle est la probabilité qu’il y ait au moins 16 fruits abîmés ?
Solution :
Aucune variable aléatoire n’est définie, on n’oublie pas de le faire.
Soit X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de fruits abimés parmi les 80. On répète 80 fois,
de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli (le fruit est-il abimé ?) de probabilité
de succès 0,30.
Alors X suit la loi binomiale de paramètres 80 et 0,30.
P(X=10) = 1,4 × 10− 4 (On a tapé : BinomFdP(80,0.3,10) ou menu Stat/DIST/Binm/Bpd/Variable10-80-0.3)
P(X≥16) = 1 − P ( X≤ 15 ) = 0,984 (pour avoir P ( X≤ 15 ) on a tapé : BinomFRep(80,0.3,15) ou
menu Stat/DIST/Binm/Bcd/variable-15-80-0.3)