Systèmes Triphasés Puissance en régime triphasé

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Systèmes Triphasés
Puissance en régime triphasé
0. Les dangers du courant électrique :
I. Grandeurs caractéristiques associées à un dipôle:
1.1 - Valeur moyenne
Soit y(t) une fonction temporelle périodique de période T.
On définit la valeur moyenne de y(t) par la relation suivante :
YTytdt
moy
T
=1
0
()
∫.
Exemple :
L’expression du premier motif est y(t) = VMsin
ω t pour 0 < t < T/2. Dans ce cas Ymoy = 2VM
π
.
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 5 10 15 20 25 30 35 40
time (ms)
v(t)
1.2 - Valeur efficace
Soit y(t) une fonction temporelle périodique de période T.
On définit la valeur efficace de y(t) noté Y par la relation suivante :
YTytdt
T
22
0
1
= ()
∫
Y désigne la valeur efficace notée R.M.S. par les anglo-saxons. Lettres abréviations de Root Mean Square.
La valeur efficace d’un courant permet de chiffrer l’effet joule dans un conducteur.
Exemple :
Réseau E.D.F. 50Hz. Soit un tension d’expression v(t) = VMsin100πt, on trouve VVM
= 2
Pour V = 230 volts efficaces on a VM = 230 2soit 325 volts crête environ, et U = V 3 = 230 3= 400 V.
Réseau AVION 400Hz. Soit un tension d’expression v(t) = VMsin800πt, on trouve VVM = 2

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Pour V = 115 volts efficaces on a VM = 115 2soit 162 volts crête environ, soit 325 volts crête à crête, et U = V 3= 200 V.
1.3 - Représentations
Vecteurs de Fresnel
A la grandeur
() ( )
vt V t
M
=+cos ωβ on associe le vecteur
(
)
r
Vt dont le module est égal à la valeur efficace V. La projection du
vecteur
()
r
Vt sur l’axe x’ox est égale à la mesure de v(t) à l’instant t. Le vecteur de Fresnel V
r
correspond au vecteur
(
)
r
Vt à
l’instant t = 0s. +
ω
t+
β
x’ o
()
r
Vt
VM
x
v(t)
β
x
o
x’
r
V
VM
2
Application:
la grandeur temporelle v(t) = v1(t) + v2(t) avec v1(t) = VM1cos(
ω t + β
1) et v2(t) =VM2 cos(
ω t + β
2) est rapidement
déterminée en faisant la somme vectorielle des vecteurs de Fresnel associés à v1(t) et v2(t) .
Complexe
A la fonction temporelle v(t) on associe la fonction complexe
(
)
tjjtjjtj
MeVeeVeeVtv
ωβωβω
⋅=== 22
Le nombre complexe VVe
j
=
β
est appelé phaseur.
β
ℑ
ℜ
V
V
Rappel:
Soit Vajb e
i
=+ = ρ
β
on définit le module et l’argument de V de la manière suivante:
VV a b== +
22
β
βπ
=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟≥
=+ ⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟<
Arc b
asi a
Arc b
asi a
tan
tan
0
0
En électrotechnique la tension d’alimentation v(t) est en général commune à tous les récepteurs. On a alors pour habitude de
choisir v(t) comme référence de phase soit v(t)=VMcos
ω t. Alors V=V.ej0=V. Le courant dans une charge placée sous la tension
v(t) s’écrit i(t)=IMcos( ω t- ϕ ). L’angle ϕ est l’angle orienté de I vers V.
Dans le plan complexe, pour un circuit R,L série on a
(
)
IZIjLRV
⋅
=
ω
+ = .
() () () ()
Arg I Arg V Arg Z Arc L
RArg Z=−=−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=− =−0tan
ωϕ
Z
V
I
=V/Z
ℜ
ℑ
θ
ϕ
II Notions de puissance associées à un dipôle
2.1 - Puissance instantanée
Considérons un dipôle en convention récepteur

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v(t)
i(t)
La puissance instantanée est par définition: p(t) = v(t).i(t).
Si p(t) > 0 le dipôle reçoit de la puissance, si p(t) < 0 le dipôle fournit de la puissance.
Exemple:
v(t) = V2cosωt; i(t) = I2cos(
ω t - ϕ )
0 5 10 15 20 25 30 35 40
time (ms)
-300
-200
-100
0
100
200
300 v
(
t
)
i
(
t
)
ϕ
p
(
t
)
Dans ce cas on a p(t) = VIcos
ϕ + VIcos(2 ω t - ϕ ) car
() ()
()
cos cos cos cosa b ab ab=++−
1
2.
2.2 - Puissance active
La puissance active est définie par la relation suivante:
()
Ppt Tvtitdt
T
==
∫
1
0
()()
Unité le Watt, symbole: W
Dans le cas sinusoïdal on a:
PTVI dt TVI t dt VI
TT
=+ −=
∫∫
11
2
00
cos cos( ) cos ϕωϕϕ
Remarques:
La quantité VI cos(2
ω t - ϕ ) s’appelle puissance fluctuante.
On peut également écrire P = IV
r
r
., qui correspond au produit scalaire des vecteurs de Fresnel associés aux grandeurs
temporelles v(t) et i(t).
On peut écrire aussi P = V I cos
ϕ = VIa , en posant Ia = Icos ϕ appelée composante active du courant ou
composante wattée.
2.3 - Puissance réactive
La puissance réactive n’est définie qu’en sinusoïdal. Elle se définie par la relation suivante:
Q = V I sin ϕ .
Unité le Volt-Ampère Réactif ,ou VAR
V
II
r=sin
ϕ
I
II
a
=
cos
ϕ
ϕ

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Remarques:
Par analogie avec la puissance active on écrit Q = V(Isin
ϕ ) , on pose alors Isin ϕ = Ir la composante réactive du courant on dit
aussi déwattée.
La composante du courant qui est effectivement convertie en travail est Ia mais l’intensité véhiculée en ligne est égale à
III
ar
=+
22
valeur supérieure à l’intensité strictement nécessaire pour faire le travail en question. La composante réactive
est donc responsable d’un surplus de pertes joules en ligne et également d’un surplus de chute de tension en ligne.
Cette puissance réactive de valeur moyenne nulle est échangée entre source et récepteur sous forme d’énergie magnétique ou
électrostatique, tour à tour emmagasinée dans les bobinages ou les condensateurs, et restituée par ces éléments.
Exemple:
Montrons que la puissance réactive Q est associée aux réactances d’un circuit. Soit un circuit R, L, C série en régime
permanent.
v(t)
i(t)
C
L
R
I
/jC
ω
j
L
ω
I
R
I
I
V
ϕ
Calculons VIsin
ϕ : commençons par sin
ϕω
ω
ωω
=−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
LC
I
V
LC
Z
11
2222 11
sinsinsin I
C
IL
C
LIZIIZIVIQ
ω
ω
ω
ωϕϕϕ
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−==⋅==
On voit que Q est le produit d’une réactance par le carré d’une intensité.
Convention:
On peut écrire Q = QL + QC avec QL >
0 et QC < 0
⇒Une bobine absorbe de la puissance réactive.
⇒Un condensateur fournit de la puissance réactive.
Ceci est cohérent avec les conventions de signes adoptées, en effet:
()
ZjLet ArgZ
LL
===+ ωϕ
π
2
()
ZjC et Arg Z
CC
===−
12
ωϕ
π
QL = VLILsin
ϕ
L = VLIL > 0, avec
ϕ
L = +
π
2 QC = VCICsin
ϕ
C = -VCIC < 0, avec
ϕ
C = -
π
2.
2.4 - Puissance apparente
Pour v(t) et i(t) des fonctions temporelles périodiques (pas nécessairement sinusoïdales) de valeurs efficaces respectives V et I
on définit la puissance apparente de la manière suivante: S = VI
Unité le Volt-Ampère, ou VA
En notation complexe on a VV = et
ϕ j
IeI − =
On définit la puissance apparente complexe S de la manière suivante:
()
S V I V Ie VIe VI jVI P jQ
jj
=⋅ = = = + =+
−
**cos sin
ϕϕ
ϕϕ
SSVI VI== =.*

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Remarques:
Pour un dipôle absorbant une intensité efficace I sous la tension efficace V la puissance apparente en service est S = VI. Le
constructeur d’appareils indique la puissance apparente nominale SN = VNIN. Elle correspond au produit des grandeurs
nominales pour lesquelles l’appareil a été conçu.
On donne également à SN le nom de puissance de dimensionnement.
Sous certaines conditions prévues par le constructeur on peut faire fonctionner le dispositif avec S > SN.
2.5 - Facteur de puissance
Le facteur de puissance d’un dipôle est défini par le quotient de la puissance active absorbée sur la puissance apparente. Soit:
Fp = P
S.
En régime sinusoïdal c’est le cosinus de l’angle
ϕ . En régime périodique non sinusoïdal Fp n’est plus un cosinus mais une
expression plus complexe tenant compte en particulier de la présence des harmoniques. Le régime sinusoïdal apparaît donc
comme un cas particulier.
Pour un dipôle donné on voit que IP
VF
P
V
p
==
cos
ϕ
dans le cas sinusoïdal. Pour P et V données, l’intensité du
courant sera minimale si le facteur de puissance est égal à un.
2.6 - Théorème de Boucherot
Dans l’ensemble d’un réseau (sans changement de fréquence) les puissances actives, réactives, fluctuantes et apparentes
complexes sont conservatives. Ce théorème traduit le principe de conservation de l’énergie.
Exemple:
Soit une usine comportant plusieurs ateliers consommant respectivement P1, S1, P2, S2.….. , PN, SN
La puissance totale PT absorbée est la somme des puissances partielles absorbées. Il en est de même pour la puissance réactive
QT.
P
1,Q1
S1
P
2,Q2
S2
P
3,Q3
S3
P
4,Q4
S4
P
T = P1+P2+P3+P4
QT = Q1+Q2+Q3+Q4
• La puissance apparente S ne se conserve pas, ce qui veut dire que la puissance totale apparente d’un ensemble d’éléments
n’est pas égale à la somme des puissances apparentes de chaque élément. Ceci se traduit donc par ST
≠ S1 + S2 + S3 +... SN
• En revanche la puissance apparente complexe est conservative, ce qui se traduit par SSSS
T
=
+
++
123
......
Vérifions cette dernière proposition sur un exemple (éléments en parallèle)
v
i1i2i3ikiN
i
II I I I
kN
=
+
+
+
12
........ ....... ( Loi des nœuds)
Prenons le complexe conjugué de I et multiplions par V, on obtient la puissance apparente complexe S
sVI VI VI VI VI S
kNk
k
N
==++ + =
=
∑
*** * *
...... ....
12 1