E - EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES D`ORDRE n A

E - EQUATIONS DIFFERENTIELLES
LINEAIRES D’ORDRE n
A COEFFICIENTS CONSTANTS
Equation sans second membre
On considère l’équation différentielle linéaire
y(n)+a1y(n−1) +···+any= 0 .
Ce qui suit permet de retrouver les solutions de cette équation en ramenant le problème à un système
de néquations différentielles linéaires d’ordre 1.
Si 1≤i≤n, on notera
bi=−ai
et le polynôme
P(X) = Xn+a1Xn−1+···+an
sera le polynôme caractéristique de l’équation.
Si l’on pose
xn=y
x′
n=xn−1
..........
x′
p=xp−1
..........
x′
2=x1
on a alors
x′
1=b1x1+···+bnxn
et l’on se ramène à résoudre l’équation différentielle
Y′=A·Y
où Aest la matrice 
b1b2... ... bn
1 0
1...
......
1 0
(par convention les éléments omis sont nuls).

E 2
On calcule det(A−λI)en développant ce déterminant par rapport à la première ligne.
Le mineur de b1−λest (−λ)n−1. On regarde comment est formé le mineur de bi: c’est le déterminant
d’une matrice formée de quatre blocs
Bi0
0B′
i
où Biest une matrice triangulaire supérieure d’ordre i−1dont les éléments diagonaux sont tous égaux
à1, et où B′
iest une matrice triangulaire inférieure d’ordre n−idont tous les éléments diagonaux sont
égaux à −λ. On a donc
det Bi= 1 et det B′
i= (−λ)n−i
et le mineur cherché vaut
det Bidet B′
i= (−λ)n−i.
On obtient alors
det(A−λI) = (−λ)n−1(b1−λ) +
n
X
i=2
(−1)i+1(−λ)n−ibi,
ce qui donne en développant
det(A−λI) = (−1)n
a0
P(λ).
Le polynôme caractéristique de Aest donc P(X). Soit λune racine de P. C’est donc une valeur propre
de A. Déterminons le sous-espace propre associé. Si (α1,...,αn)est un vecteur propre associé à λ, il
vérifie le système
αn−1−λαn= 0
...............
α1−λα2= 0
qui montre que le sous-espace propre est de dimension 1et est engendré par
uλ= (λn−1,...,λ,1) .
Si λ1,...,λrsont les valeurs propres distinctes de A, il en résulte que le polynôme caractéristique de
Aest aussi le polynôme minimal de A, et que Aa pour forme de Jordan
J=
A1
...
Ar
,
où Aiest une matrice triangulaire supérieure ayant comme seule valeur propre λiet dont les autres
termes non nuls sont ceux situés au-dessus de la diagonale principale et qui sont tous égaux à 1.
Appelons Qla matrice telle que
J=Q−1AQ .
L’équation
Y′=A·Y
équivaut alors à
Z′=J·Z

E 3
où
Z=Q−1·Y .
Le solutions de la seconde équation étant
Z= exp(tJ)·X
on obtient celles de la première
Y=Q·exp(tJ)·X
où Xest une matrice colonne quelconque. On a donc
exp(tJ) = 
exp(tA1)
...
exp(tAr)
et
exp(tAi) = eλit
1tt2
2... tmi−1
(mi−1)!
..........
.
.
......t2
2
...t
1
où midésigne l’ordre de Ai.
Quant à Q, elle est de la forme
Q=P1. . . Pr
où Piest une matrice à nlignes et micolonnes, dont le premier vecteur colonne est uλi, le deuxième
est un antécédent du premier par l’endomorphisme de matrice Ai−λiI, le troisième un antécédent du
deuxième, etc . . .
La matrice Q·exp(tJ)est alors de la forme
Q1. . . Qr
où Qiest une matrice à nlignes et micolonnes dont la dernière ligne est
eλiteλitP12(t). . . eλitPimi(t)
où Pij est un polynôme de degré j−1exactement. On remarque en effet que le terme de plus haut
degré de Pij provient du produit de tj−1/(j−1)! par le n−ième coefficient de uλiqui vaut 1.
Il résulte de ce qui précède que xn=y, qui est la dernière ligne du produit Q·exp(tJ)·X, est
combinaison linéaire des fonctions
t7→ eλitPij(t)
pour 1≤i≤ret 1≤j≤mi.

E 4
Alors, par changement de base dans l’ensemble des polynômes, les fonctions
t7→ tkeλit
pour 1≤i≤ret 0≤j≤mi−1, constituent une base de l’ensemble des solutions de l’équation
différentielle de départ.
Equation avec second membre
Nous allons maintenant étudier des équations linéaires d’ordre nà coefficients constants avec second
membre. Pour simplifier les notations, introduisons les polynômes de dérivation.
Si l’on a
P(X) =
n
X
k=0
an−kXk,
nous noterons P(d)l’opérateur différentiel, qui à toute fonction yqui est nfois dérivable associe
P(d)(y) =
n
X
k=0
an−ky(k).
Si Uest un intervalle non vide de R, l’application P(d)est un morphisme de l’algèbre des fonctions n
fois dérivables sur Udans l’espace des fonctions définies sur U. En particulier, puisque X(d)(y) = y′,
on a
P(d)(y′) = (XP )(d)(y).
Lemme On a la relation
P(d)(eλxz) = eλxP(d+λ)(z)
Il suffit, en raison de la linéarité, de vérifier ceci pour P(X) = Xn. On a alors, grâce à la formule de
Leibniz
P(d)(eλxz) = (eλxz)(n)=eλx
n
X
k=0 n
kλn−kz(k)=eλx Q(d)(z)
où
Q(X) =
n
X
k=0 n
kλn−kXk= (X+λ)n=P(X+λ),
ce qui donne le résultat.

E 5
Proposition La fonction yest solution de l’équation
(E)P(d)(y) = a
si et seulement si z=e−λxyest solution de l’équation
Q(d)(z) = e−λxa
où Q(X) = P(X+λ).
C’est une conséquence immédiate du lemme puisque
a=P(d)(y) = P(d)(eλxz) = eλxP(d+λ)(z).
Corollaire Supposons que λsoit racine de P, et posons
R(X) = P(X+λ)/X .
Alors yest solution de l’équation (E)si et seulement si z=e−λxyest solution du système
R(d)(u) = e−λxa
z′=u
Si λest racine de P, alors 0est racine de P(X+λ), et P(X+λ)est divisible par X. Donc R′(X)est
un polynôme. Alors d’après la proposition, l’équation
P(d+λ)(z) = R(d)(z′) = e−λxa
équivaut à
P(d)(y) = aavec z=e−λxy ,
ce qui donne le corollaire.
Remarque : ce corollaire donne une méthode de résolution de l’équation (E)en diminuant le degré
de l’équation. Il suffit d’appliquer la méthode jusqu’à obtenir une équation de degré 1. Cependant, il
existe d’autres méthodes de résolution.