Question 4 - WebCampus

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Statistiques et Probabilités – TP 2
Solutionnaire
Question 1
(cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., chapitre 2)
Une station balnéaire décide de réaliser une étude de son climat. Pour cela, le nombre de
jours de soleil par mois d’été a été retenu comme mesure du climat. La distribution du
nombre de jours de soleil par mois d’été durant les cinq dernières années est la
suivante :
Année
Juin
Juillet
Août
1
10
15
20
2
10
15
7
3
14
14
20
4
14
14
20
5
10
15
7
Quel est le mois que vous choisiriez pour vos vacances ? Explicitez votre réponse en
vous aidant de la moyenne et de l’écart-type.
Calculons la moyenne et l’écart-type du nombre de jours d’ensoleillement pour les trois
mois d’été. Nous considérons les données comme provenant d’un échantillon.
1) Mois de Juin
Moyenne = μ = (10 + 10 + 14 + 14 + 10) / 5 = 58 / 5 = 11.60
X = jours de soleil
(X-μ)
(X-μ)2
10
-1.60
2.56
10
-1.60
2.56
14
2.40
5.76
14
2.40
5.76
10
-1.60
2.56
=0
=19.20
Variance = 2 = 19.20 / 4 = 4.80
Ecart-type =  = 2.19

2
2) Mois de Juillet
Moyenne = μ = (15 + 15 + 14 + 14 + 15) / 5 = 73 / 5 = 14.60
X = jours de soleil
(X-μ)
(X-μ)2
15
0.40
0.16
15
0.40
0.16
14
-0.60
0.36
14
-0.60
0.36
15
0.40
0.16
=0
=1.20
Variance = 2 = 1.20 / 4 = 0.30
Ecart-type =  = 0.55
3) Mois d’août
Moyenne = μ = (20 + 7 + 20 + 20 + 7) / 5 = 74 / 5 = 14.80
X = jours de soleil
(X-μ)
(X-μ)2
20
5.20
27.04
7
-7.80
60.84
20
5.20
27.04
20
5.20
27.04
7
-7.80
60.84
=0
= 202.80
Variance = 2 = 202.80 / 4 = 50.70
Ecart-type =  = 7.12
Conclusion : Malgré le fait que le mois d’août est le mois d’été pour lequel le nombre de
jours d’ensoleillement est le plus élevé en moyenne, il semble préférable de partir en
vacances au mois de juillet puisque la moyenne du nombre de jours d’ensoleillement est
légèrement plus faible (14.6 jours contre 14.8) mais l’écart-type pour ce mois est
nettement plus bas que pour le mois d’août (0.55 contre 7.12).

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Question 2
Un joueur lance simultanément 2 dés (6 faces numérotées de 1 à 6). Les dés sont
parfaitement équilibrés.
a) Quelle est la probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 ?
b) Quelle est la moyenne de la somme ?
a) Le joueur lance simultanément deux dés à 6 faces. Les résultats possibles, au nombre
de 36, sont repris dans le tableau suivant :
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
Considérons la variable aléatoire X qui représente la somme des 2 dés, ses valeurs vont
donc de 2 à 12.
Xi
Fi
XiFi
2
1
2
3
2
6
4
3
12
5
4
20
6
5
30
7
6
42
8
5
40
9
4
36
10
3
30
11
2
22
12
1
12
=252
La probabilité d’obtenir une somme supérieure ou égale à 9 : Pr(X  9) = 10 / 36 =
0.2778, soit 27.78%. En consultant le tableau des résultats, on observe que la somme
des deux dés vaut 9, 10, 11 ou 12 dans 10 cas sur 36.
b) Moyenne de la somme = 252 / 36 = 7

4
Question 3
Si les deux dés étaient lancés successivement 4 fois, quelle est la probabilité que la
somme soit supérieure à 9 au moins 3 fois ?
(Remarque : si vous utilisez les tables, vous pouvez prendre la valeur donnée la plus
proche de celle calculée).
Pr (X > 9, au moins 3 fois) = ?
Déterminons tout d’abord la probabilité de l’événement « somme des dés est
strictement supérieure à 9 ». X peut donc valoir 10, 11 ou 12. En consultant le tableau
des résultats que nous avons établi à l’exercice précédent, on observe que la somme des
deux dés vaut 10, 11 ou 12 dans 6 cas sur 36. D’où, Pr (X > 9) = 6 / 36 = 0.1667, soit
16.67%.
On utilise la table des probabilités binomiales individuelles, avec n = 4,  = 0.20
(approximation de 0.1667), et s valant 3 ou 4.
D’après la table,
Pr (X > 9, au moins 3 fois) = 0.026 + 0.002 = 0.028, soit 2.8%.
Nous pouvons également calculer cette probabilité en appliquant la formule générale
suivante (avec n = nombre d’expériences, s = nombre de succès et p = la probabilité de
succès) :
Pr (X = s) =
sns pp
sns n )1( )!(! !
Dans le cas présent, nous devons ainsi calculé la somme de deux probabilités Pr(s = 3) +
Pr(s = 4). Soit,
043 )1667,01()1667,0(
!0!4 !4
)1667,01()1667,0(
!1!3!4 
= 0,01544 + 0,00077 = 0,01621.
La différence (non négligeable) entre le résultat calculé et celui fourni par les tables
provient d’une part, de l’approximation de la probabilité de succès (0,20 dans les tables
au lieu de 0,1667) et d’autre part, de l’arrondi à la troisième décimale réalisé dans les
tables.
Question 4
Un boulanger achète des œufs pour la réalisation de ses pâtisseries. Afin de s’assurer
de la fraîcheur de tous les œufs contenus dans une boîte, il effectue le test suivant :
de chaque boîte (une boîte contient 100 œufs), il retire 5 œufs et les casse afin de
constater leur fraîcheur (il fait confiance à son odorat qui est fiable à 100%). Si les 5
œufs sont déclarés frais, il accepte la boîte car il considère que tous les œufs de la

5
boîte sont frais. Si un œuf ou plus sont déclarés pourris, il rejette impitoyablement la
boîte.
a) Quelle est la probabilité qu’il accepte une boîte qui contient 20 œufs pourris ?
b) Combien d’œufs devrait-il casser pour s’assurer que la probabilité d’accepter une
boîte qui contient 20 œufs pourris est inférieure à 10% ?
Les épreuves ne sont pas indépendantes l’une de l’autre. On peut cependant donner une
approximation du résultat en utilisant les tables de la Loi Binomiale.
(cf. WONNACOTT et WONNACOTT, 4e éd., pp. 130-136 pour la théorie et pp. 869-871
pour les tables).
a) Probabilité du succès (c’est-à-dire de tomber sur un œuf pourri) =  = 20 / 100 = 0,2 ;
le nombre d’épreuves = 5 et le nombre total de succès en n épreuves = s.
On cherche la probabilité que le boulanger accepte la boite (autrement dit, il n’a trouvé
aucun œuf pourri parmi les 5 œufs qu’il a cassés), soit Pr(s = 0) =
sns )1(
s
n
=
3276,0)2,01(2,0
!5!0 !5
)1(
)!sn(!s !n 50sns 
, soit 32,8%.
La table portant sur les probabilités binomiales individuelles (p. 870) donne également
directement la valeur trouvée par calculs ci-dessus : n = 5, s = 0 et π = 0,2  Pr(s = 0) =
0,328.
b) Il s’agit, en augmentant le nombre d’épreuves n, de faire tomber la Pr(s = 0) en
dessous de 10%. En consultant la table, nous trouvons que le nombre d’épreuves
nécessaires pour que la probabilité soit inférieure à 10% est de 11 (= n). Dans ce cas,
Pr(s = 0) = 0,086, soit 8,6%.
Question 5
Notre boulanger se demande quelle serait la probabilité qu’il déclare « pourri » un œuf
tiré au hasard dans une boîte de 100 œufs contenant 20 œufs pourris si son odorat
était fiable à 80%.
Quelle est alors la probabilité qu’un œuf déclaré pourri soit réellement pourri ?
Quelles sont les données de l’énoncé ? On sait que la boîte de 100 oeufs contient 20
oeufs pourris. La probabilité qu’un oeuf contenu dans la boîte soit pourri = Pr (pourri) =
0.20 et la probabilité qu’un oeuf ne soit pas pourri = Pr (non-pourri) = 1 - Pr (pourri) =
0.80.