Chapitre IV

Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
CHAPITRE IV
REGIME VARIABLE
Equations de Maxwell
I. PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA CHARGE : (Régime variable)
Supposons une surface fermée comprenant une charge q à l’intérieur, et un courant I sortant.
Principe de conservation de la charge :
Courant sortant de S ⇔ diminution de q dans S;
d’où I = −
dq
;
dt
I
Comme I = ∫ J.dS
⇒ ∫ J.dS = −
q
q
∫ E.dS = ε ⇒ q = ε ∫ E.dS
vu que (théorème de Gauss)
donc
dq
dt
Figure 1 : Surface fermée S
∫ J.dS = − dt (ε ∫ E.dS )
d
∂E
.dS = 0
∂t
∂E 

ou bien ∫  J + ε
 .dS = 0
∂t 

Cette expression représente l’équation de conservation de la charge.
soit ∫ J.dS + ∫ ε
1. Forme intégrale
∂E 

∫  J + ε ∂t  .dS = 0 est la forme intégrale de l’équation de conservation de la charge.
2. Forme différentielle
L’intégrale de surface fermée

∫  J + ε
∫(J +ε ∂∂Et ).dS peut être transposée en une intégrale de volume
∂E 
∂E 

 .dS = ∫ div J + ε
dv = 0
∂t 
∂t 

V
(
)
Par conséquent, div J +ε ∂E dv=0
∂t
ou bien autrement, sachant que divE =
ρ
:
ε
divJ +ε ∂ (divE )=0 ;
∂t
On déduit alors : divJ +
Cours ETL307
∂ρ
=0
∂t
1
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Remarque :
∂ρ
et ∂E ne sont considérés que dans le cas du régime variable, ils sont négligeables dans
∂t
∂t
les autres régimes. C’est-à-dire que :
∂ρ
en RS et RQS :
≈0 et ∂E ≈0 (négligeables)
∂t
∂t
Donc, l’équation d conservation de la charge dans ces cas devient : ∫ J.dS =0 ou divJ =0
Les termes
Remarque :
La conservation de la charge est respectée, car lorsqu’un électron sort par la borne négative, il prend la place d’un électron
libre dans la matière qui relie les deux bornes (car les bornes doivent être reliées par un conducteur pour que le courant
circule), l’électron ainsi chassé va voler à son tour la place d’un électron situé un peu plus proche de la borne positive, et
ainsi de suite jusqu’à la borne positive, dans laquelle le dernier électron de la ‘chaîne’ va rentrer.
Donc, lorsqu’un électron sort de la borne négative, au même moment, un électron rentre dans la borne positive. La batterie
ainsi que le conducteur ne se sont donc pas chargés, ils sont toujours neutres, bien que le courant circule !
II. LOI DE MAXWELL-AMPERE
D’après le théorème d’Ampère rotH =J .
On peut écrire :
rotH = J ⇒ div(rotH ) = divJ
Comme div rot =0, on obtient :
divJ =0
Mais en régime variable nous avons divJ =−
∂ρ
et non pas divJ =0 !
∂t
Par conséquent, le théorème d’Ampère rotH = J n’est plus valable dans le régime variable.
• Question : que devient le théorème d’Ampère dans ce cas ?
• Réponse :
Nous connaissons que (en R.S et R.Q.S) :
divJ = 0 ⇔ rotH = J (1)
Par analogie en régime variable nous pouvons poser :
∂E 
∂E

div J + ε
 = 0 ⇔ rotH = J + ε
∂t 
∂t

•
Conclusion : Maxwell a transformé le théorème d’Ampère en régime variable et a ajouté le terme
ε ∂E . Le théorème d’Ampère devient dans ce cas : rotH =J +ε ∂E (forme différentielle)
∂t
∂t
Forme intégrale :
rotH = J +ε ∂E ⇒∫ rotH.dS = ∫ J +ε ∂E .dS
∂t
∂t S
S
(
)
L’intégrale de surface ∫rotH.dS peut être transposée en une intégrale linéique fermée :
S
∫rotH.dS =∫ H.dl
S
On arrive alors à l’expression différentielle suivante :
∂E 

∫ H.dl = ∫S  J + ε ∂t  .dS (Forme intégrale)
Cours ETL307
2
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
III. EQUATIONS DE MAXWELL
Maxwell a établi quatre équations fondamentales de l’électromagnétisme et qui sont :
1. Equation de Maxwell-Gauss (MG) :
q
Forme intégrale : ∫ E.dS =
ε
Le flux électrique passant à travers une surface fermée est égal au rapport
Forme différentielle : divE =
ρ
ε
q
ε
.
C’est la charge électrique qui est à l’origine (source) du champ électrique.
2. Equation de Maxwell-flux magnétique (MΦ ) :
Forme intégrale : ∫ B.dS = 0
Le flux magnétique passant à travers une surface fermée est nul.
Forme différentielle : divB =0
Par analogie avec l’équation MG, il n’existe pas de "charge magnétique" dans la nature.
3. Equation de Maxwell-Faraday (MF) :
∂
Forme intégrale : ∫ E.dl = − ∫ B.dS
∂t
Un conducteur traversé par un flux magnétique variable est le siège d’une f.e.m induite.
Forme différentielle : rotE =− ∂B
∂t
Un champ magnétique variable crée un champ électrique variable.
4. Equation de Maxwell-Ampère (MA) :
Forme intégrale : ∫ H.dl =J +ε ∂E
∂t
Forme différentielle : rotH =J +ε ∂E
∂t
∂
E
Un champ électrique variable (
) crée au même titre qu’un courant (J) un champ magnétique variable.
∂t
Remarques :
• Les équations de Maxwell sont valables dans les trois régimes.
• Pour obtenir les équations dans le régime stationnaire, il suffit de poser ∂ =0 .
∂t
• Pour obtenir les équations dans le régime dépendant du temps (quasi-stationnaire), il suffit de
∂ρ
poser : ∂E ≈0 et
≈0 .
∂t
∂t
• Les équations de MA et MF montrent que les champs E et H sont liés entre eux ⇒
C’est le champ électromagnétique.
EXERCICE
1. On considère dans le vide un champ électrique E = E m sin (ω t − β z )u y .
Déterminer le champ magnétique H associé à E.
2. On considère dans le vide un champ magnétique H = H m exp j (ω t + β z )u x
Déterminer le champ électrique E associé à H.
3. Que peut-on conclure ?
Cours ETL307
3
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Solution :
1) M.A : rotE =− ∂B =−µ0 ∂H
∂t
∂t
 ux u y uz  ux u y uz 
rotE =  ∂ ∂ ∂  =  0 0 ∂  =ux − ∂E y 
 ∂x ∂y ∂z  
∂z   ∂z 
 Ex E y Ez   0 E y 0 
∂H
⇒
∂t
βE
βE
d’où H = − m ∫ cos(ω t − β z )dt u x = − m sin (ω t − β z )u x + Cte
Soit rotE = β E m cos(ω t − β z )u x + 0 = − µ 0
µ0
µ 0ω
2) H = H m exp j (ω t + β z )u x
M.A : rotH = J +ε 0 ∂E
∂t
dans le vide : J =0
d’où rotH =ε 0 ∂E
∂t
 ux u y uz   ux u y uz 
soit rotH =  ∂ ∂ ∂  =  0 0 ∂  =u y ∂H x ⇒
 ∂x ∂y ∂z  
∂z 
∂z
 H x H y H z   H x 0 0 
( )
rotH = jβ H m exp j(ωt + β z ) u y =ε 0 ∂E ⇒
∂t
jβ H m
jβ H m 1
exp j(ωt + β z )dt uy =
E=
exp j(ωt + βz )u y
ε0 ∫
ε 0 jω
βH m
exp j(ωt + β z )u y +Cte
Donc E =
ε 0ω
3) On peut conclure que :
• Un champ électrique E variable crée un champ magnétique H variable ;
• Un champ magnétique H variable crée un champ électrique E variable ;
• E⊥ H .
IV. LOI D’OHM LOCALISEE
La loi d’Ohm localisée est exprimée par la relation suivante :
J =σE
où σ conductivité électrique (1 Ωm)
σ=1
ρ
avec ρ résistivité (Ωm)
Exemples :
- Cuivre : σ =5,81.107 Ω−1m −1 ; ρ =1,7.10−8 Ωm
-
Aluminium : σ =3,54.107 Ω−1m −1 ; ρ =2,8.10−9 Ωm
-
Silicium (semi-conducteur) : σ =1,6..10−5 Ω−1m−1 ; ρ =6,25.103 Ωm
-
Verre : σ ≈.10−12 Ω−1m−1 ; ρ ≈.1012 Ωm
Cours ETL307
4
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Démonstration :
Soit un conducteur cylindrique de section S et de longueur L, soumis à une tension U
L
La loi d’Ohm généralisée s’écrit comme suit :
U =RI (1)
R : résistance du conducteur
S
I
Comme
U
ρ
R = ∫ dl , I =∫ J dS , et U = ∫ E dl
S
nous obtenons en substituant dans l’équation 1 :
ρ
E
Figure 2
ρ
∫ E dl =∫ S dl ∫ J dS ⇒ E = S J
Soit J = E
ρ
Ou bien J =σE
Cette égalité est également valable en notation vectorielle : J =σE
V. CONDITIONS LIMITES
Soient deux milieux diélectriques
différents (air et verre par exemple)
séparés par une interface –frontière
fictive de séparation- située dans le plan
YOZ par exemple.
Question : Que devient le champ
électromagnétique quant il passe d’un
milieu à un autre ?
Y
Milieu 1 (air)
(ε1 , µ1)
Et1
E1
Et2
ut
E2
un
En1
Posons E = Et + En
Et: composante tangentielle par rapport à
la surface de séparation (plan YOZ).
En: composante perpendiculaire par
rapport à la surface de séparation.
Milieu 2 (verre)
(ε2 , µ2)
En2
O
X
Figure 3
Z
1. CHAMP ELECTRIQUE
a) Composantes tangentielles :
La forme intégrale de l’équation de MF est :
∫ E.dl =− ∂∂t ∫ B.dS
Le contour fermé considéré est un rectangle ABCD situé de part et d’autre de la frontière.
∫ E.dl = ∫ E.dl = E n1 .DN + E n 2 .NC + Et 2 .CB + En 2 .BM + En1 .MA + Et 1 .AD
ABCDA
Etant donné qu’on veut étudier le champ à la frontière des deux matériaux, c’est-à-dire les
conditions limites du champ électrique, on pose :
AM = MB = DN = NC ≈0 ,
Cours ETL307
5
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
On obtient alors :
∫ E.dl = Et2 .CB+ Et1.AD=CB(Et2 − Et1 ),
Y
ABCDA
Milieu 1
Par ailleurs, vu que :
AB≈0 , donc S = ABxBC ≈0
En1
En2
B
A
M
On déduit que :
− ∫ ∂B .dS ≈0
∂t
Et1
En outre sachant que :
AD=-CB
on arrive à
∫ E.dl =CB(Et2 − Et1 )=0
E1
Et2
N
D
E2
C
En2
En1
X
O
ABCDA
Soit donc
Milieu 2
Figure 4
Et2 = Et1
Z
Conclusion : les composantes tangentielles du champ électrique sont égales.
b) Composantes normales :
La forme intégrale de l’équation de MG est :
q
∫ E.dS =
Y
ε
Milieu 1
Milieu 2
(ε1 , µ1)
On considère comme surface fermée un cylindre
de longueur L.
q
∫ E.dS = ⇒∫ε E.dS =q⇒∫ D.dS =q
(ε2 , µ2)
D2
L
D1
ε
ρs
Soit ∫ D.dS = ∫ Dn1.dS1 + ∫ Dn2 .dS2 + ∫ Dn3 .dS3
Dn1
dS1
On suppose le cas général où la surface de
séparation porte une charge q=ρsS .
dS2
Dn2
dS3
X
Par ailleurs, vu que l’on étudie les conditions limites,
on pose alors L≈0 , soit donc S3 ≈0 .
Figure 5
Z
D’où :
∫ D.dS =∫ Dn1.dS1 +∫ Dn2.dS2 =−Dn1 S1 + Dn2 S2
Comme S1 = S2 = S :
∫ D.dS =S[Dn2 −Dn1 ]= ρs S
Soit donc Dn2 − Dn1 = ρs
Si ρs =0 qui est le cas le plus fréquent, on aboutit alors à :
Ou bien ε 2 E n 2 = ε 1 E n1 ⇒ E n 2 = E n1
Cours ETL307
Dn2 = Dn1
ε1
ε2
6
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
2. CHAMP MAGNETIQUE
a) Composantes perpendiculaires :
La forme intégrale de l’équation de MΦ est :
∫ B.dS =0
Y
(ε2 , µ2)
(ε1 , µ1)
Considérons comme pour le cas précédent une
surface cylindrique de longueur L.
B2
L
B1
L’application de cette équation à cette surface donne :
∫ B.dS = ∫ B n1 .dS1 + ∫ B n 2 .dS 2 + ∫ B n3 .dS 3 = 0
Bn1
dS2
Bn2
dS1
À la frontière entre les deux milieux (conditions limites)
on doit poser :
L≈0 , soit donc S3 ≈0 .
dS3
X
O
Figure 6
Z
On obtient alors :
∫ B.dS = ∫ B n1 .dS1 + ∫ B n 2 .dS 2 = − Bn1 S1 + Bn 2 S 2 = 0
Comme S1=S2 =S :
S(Bn2 − Bn1 )=0
Soit Bn2 = Bn1
Ou bien : µ 2 H n 2 = µ 1 H n1 ⇒ H n 2 = H n1
µ1
µ2
Conclusion : les composantes perpendiculaires de l’induction B sont égales.
Y
b) Composantes tangentielles
La forme intégrale de l’équation de MA est :
∫ H.dl =∫ J.dS +∫ε ∂∂Et .dS
H2
Hn1
A
Choisissons comme contour fermé un cadre ABCD situé
de part et d’autre de la frontière entre les deux milieux.
Hn2
B
M
H1
Ht2
Ht1
D H
n1
N
Hn2
C
O
X
Figure 7
L’application de l’équation de M.A à ce cadre donne :
Z
∫ H.dl = ∫ H.dl = H
n1
.DN + H n2 .NC + H t2 .CB + H n2 .BM + H n1.MA+ H t1.AD
ABCDA
A la frontière entre les deux milieux (conditions limites), on doit poser :
AM = MB = DN = NC ≈0 .
On obtient alors :
∫ H.dl =H t2 .CB+ H t1.AD
Par ailleurs, vu que :
AD=-CB
On peut écrire:
Cours ETL307
7
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
∫ H.dl =CB.(H
t2
− H t1 ) (1)
D’autre part, comme AB ≈0 ,
⇒ S = ABxBC ≈0 ⇒ ε ∫ ∂E .dS ≈0
∂t
Calculons maintenant ∫ J.dS .
On considérera le cas général où la surface de séparation entre les deux milieux est une nappe de courant,
quoi que ce cas est peu probable en pratique.
Courant volumique: le courant I circule dans un conducteur volumique de section S (figure 8).
La densité de courant dans ce cas est :
Js = I
S
C’est une densité de courant surfacique.
Nappe de courant :
Le courant I circule dans une nappe (plan) de largeur L (figure 9).
La densité de courant dans ce cas est :
Jl = I
L
C’est une densité de courant linéique.
I
Figure 8 : Courant volumique
S
L
I
Figure 9 : Nappe de courant
Par conséquent
I = Jl L
Y
Dans le cas donc où un courant surfacique circule dans la
surface de séparation, le courant qui passe à travers le cadre
ABCD est :
Jn
A
M
J
B
Jn
Jt
I = J n BC
On ne considère que la partie du courant traversant le cadre,
c’est-à-dire la composante perpendiculaire au cadre. Cette
condition est dictée par le théorème d’Ampère lui même.
D
Comme J n = J z et que J z =J.uz , on obtient ce qui suit :
I = (J.uz )BC = J.(ux ∧ u y )BC = u y .(J ∧ ux )BC = (J ∧ ux ). BCu y
soit I = (J ∧ u x ). CB (2).
Jt
N
J = Jn + Jt
C
X
O
Figure 10
Z
En établissant l’égalité des équations (1) et (2), on obtient :
CB. ( H t2 − H t1 ) = CB. (J ∧ ux )
Cours ETL307
8
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Soit H t2 − H t1 = J ∧ u x
En posant n12 comme étant le vecteur unitaire dirigé du milieu 1 vers le milieu 2, on arrive à :
H t 2 − H t1 = J ∧ n 12
RESUME :
E t 2 = E t1 ;
ε 2 E n 2 − ε 1 E n1 = ρ s (en général ρs = 0) ;
µ 2 H n 2 = µ1 H n1 ;
H t 2 − H t1 = J ∧ n 12 (en général J = 0).
EXERCICE
Soient deux milieux isolants différents. La surface de séparation entre les deux milieux est située dans le
plan XOY.
On donne B1 = 1,2u x + 0,8u y + 0,4u z .
Déterminer l’induction B2 régnant dans le milieu 2.
X
Solution :
B 1 = 1,2u x + 0,8u y + 0,4u z ⇒
Milieu 1
(ε1=ε0 , µ1=15µ0)
1  1,2
0,8
0,4 
uy +
uz 
 ux +
15
15 
µ1 µ 0  15
1
(0,08u x + 0,05u y + 0,03u z )
soit H 1 =
H1 =
B1
Milieu 2
(ε2=ε0 , µ2=µ0)
=
Bt1
µ0
B1
Bt2
D’autre part, nous avons H t2 − H t1 = J ∧n12
comme J =0 on pose
H t 2 = H t1
B2
Bn2
Bn1
O
Z
Figure 11
Y
Les composantes tangentielles sont : ux et uy .
d’où H = H = 1 (0,08ux +0,05u y )
t2
t1
µ0
et donc Bt2 = µ2 H t2 = µ0 H t2 =0,08ux +0,05u y
La composante normale étant suivant uz , alors :
Bn1=0,4uz
vu que Bn 2 = Bn1 , il vient:
Bn2 =0,4uz
d’où B2 = Bt2 + Bn2 =0,08ux +0,05u y +0,4uz
Cours ETL307
9
Dr.Tilmatine Amar