7.Poly-cours Cond et Indep

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CHAPITRE VII : CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE
I] Rappels
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard (exemple : lancer d'une pièce ou d'un
dé, tirage d'une carte au hasard dans un jeu de cartes, ou d'une boule dans une urne...).
FIL CONDUCTEUR : une situation servira de « fil conducteur » tout au long des rappels. Cette situation correspond à
l’expérience aléatoire suivante :
« On lance un dé cubique non truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6 , et on note le résultat obtenu ».
1/ Univers
. Définition : Dans une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble des résultats possibles (ou des éventualités).
En général, on le note Ω .
. Exemple : Dans l’expérience aléatoire définie ci-dessus, quel est l’univers ?
Ω = ..........................
2/ Événements – Événements élémentaires
. Définition : Un événement est une partie de l’univers.
. Exemple : Dans notre fil conducteur, on considère les événements :
A : « obtenir un nombre pair »
B : « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 »
A= { 2 ; 4 ; 6 }
B = ........................
. Définition : Un événement élémentaire est un événement ne possédant qu'une seule éventualité.
. Exemple : C =..........
. Remarques : On appelle événement impossible, et on note ∅ , l'événement qui ne contient aucune éventualité.
Ω est appelé aussi parfois événement certain.
3/ Intersection de deux événements – Événements disjoints ou incompatibles
A ∩ B est l'événement constitué des éléments appartenant à la fois à A et à B : des éléments communs à A et à B.
A ∩ B = { x ∈ Ω / x ∈ A … x ∈ B}
. Exemple : Dans notre situation, on a : A ∩B =............
. Définition : Deux événements sont dits disjoints ou incompatibles s’ils n’ont pas d’élément commun ( A ∩ B = ∅ ).
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4/ Événement contraire
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. Définition : L’événement contraire d’un événement A de l’univers Ω est l’événement constitué des éléments de
A = { x ∈ Ω / x…A}
n’appartenant pas à A . On le note A .
. Exemple : Dans notre exemple,
A = ....................
;
Ω
B = .......................... En général, Ω =..........
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5/ Réunion de deux événements
A∪ B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B (c'est-à-dire appartenant au moins à un des ensembles A ou B).
A ∪ B = {x ∈ Ω / x ∈
A … x ∈ B}
. Exemple : Dans notre situation, on a : A ∪ B = .............................
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6/ Loi de probabilité – Modélisation d’une expérience aléatoire
Pour décrire mathématiquement une expérience aléatoire, on construit un modèle de cette expérience : pour cela, on
détermine l'univers Ω associé à cette expérience, et on associe à chaque éventualité un nombre appelé probabilité (elle mesure
les chances qu'a l'événement de se réaliser). Une loi de probabilité est une mesure sur un univers Ω .
Il y a deux façons de trouver un modèle probabiliste : Prenons le cas du lancer d'un dé cubique (6 faces numérotées 1 à 6) :
• La première façon (modèle à priori, dicté par l'intuition) est de considérer le dé comme parfait, et donc que les 6
1
résultats possibles ont la même probabilité .
6
• La deuxième façon (modèle à posteriori, à l'aide d'une approche statistique par les fréquences) consiste à répéter un
très grand nombre de fois l'expérience de lancer du dé. La loi des grands nombres veut que, à l'issue de ce très grand
nombre de lancers, les fréquences d'apparition de chacune des faces s'approchent de plus en plus de leurs probabilités.
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. Définition : Soit un univers Ω comprenant un nombre n d'éventualités : Ω = { e1 ; e2 ; .......... ; en }.
Définir une loi de probabilité P sur Ω consiste à associer, à chaque éventualité ei un nombre pi compris entre 0 et 1, et
tel que : p1 + p2 + ........ + pn = 1. On dit que pi est la probabilité de ei associée à la loi P. On note : pi =P( ei ).
. Exemple : Dans notre fil conducteur, on peut à priori prendre comme loi de probabilité la loi associant, à chacune des 6
1
éventualités (ou faces du dé) la probabilité , car il est précisé dans l'énoncé de l'expérience que le dé est non truqué.
6
. Définition : La probabilité d’un événement A, notée P(A), est la somme des probabilités des événements élémentaires
qui constituent A. On a : 0 ≤ P ( A ) ≤ 1.
. Remarque :
P ( Ω ) = 1 : la€somme des probabilités de tous les événements élémentaires de
Ω vaut 1.
7/ Équiprobabilité
. Définition : L’équiprobabilité (ou loi équirépartie) correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même
probabilité.
1
Cette probabilité commune vaut alors :
.
nombre d' éléments de Ω
. Remarque : C'est le cas dans notre fil conducteur.
. Théorème : Dans une situation
€ d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est :
nombre d' éléments de A nb de cas favorables
P(A) =
=
.
nombre d' éléments de Ω
nb de cas possibles
. Exemple : Dans notre situation, calculer : P(A) = .............
P(B) = ...................
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8/ Probabilité de la réunion de deux événements
. Théorème : Pour tout événement A et B, on a :
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B).
. Exemple : Dans notre situation, calculer : P(A∩ B) = ..................., puis P(A∪ B) = ..............................
. Remarque :
En particulier, lorsque A et B sont disjoints : P(A∪ B) = P(A)+P(B) car A∩ B= ∅ donc P(A∩ B) = 0.
9/ Probabilité d’un événement contraire
. Théorème : Pour tout événement A : P(A) = 1 − P(A) .
. Exemple : Dans notre exemple, calculer : P( A ) = ............
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