Forces de frottement

Forces de frottement
But : Les forces de frottement s’opposent au mouvement et interviennent dès lors qu’une partie de la
surface d’un mobile est en contact avec un solide (frottement solide) ou avec un fluide (frottement
visqueux). Le but de cette manipulation consiste à étudier les principales caractéristiques de ces deux
types de forces de frottement.
• Dans une première partie, nous étudierons le frottement solide apparaissant lors du déplacement d’un
chariot sans roue sur un rail.
• Dans une deuxième partie, nous étudierons le frottement visqueux apparaissant lors de la chute d’une
bille dans de l’huile.
Nous étudierons ces deux types de mouvement avec des enregistrements vidéo comme au TP
« cinématique ». A partir de l’évolution temporelle de la vitesse des mobiles, nous pourrons définir ou
vérifier les caractéristiques des forces mises en jeu.
I. Frottement solide :
Dans cette partie nous n’aborderons pas le cas du frottement solide statique (quand un mobile est à
l’arrêt, voir cours) mais uniquement le cas du frottement solide dynamique, le plus courant (quand un
mobile est en mouvement).
I.1. Présentation du système étudié :
Figure 1 : chariot sur son rail
Le système se compose d’un chariot pouvant
se déplacer sur un rail (figure 1). Le rail est en
aluminium et mesure 80 cm de long pour 3 cm
de largeur. Le contact du chariot sur le rail est
assuré par 2 patins en laiton placés à l’avant et
à l’arrière. Des roulements à billes placés sous
le chariot permettent de le guider sur le rail
sans frottement latéral. Les forces de
frottement que nous allons étudier seront donc
caractéristiques du couple laiton sur
aluminium.
Masses
additionnelles
Repère de position
(pour pointage vidéo)
Roulements de
guidage sur le rail
Rail en
aluminium
Mécanique TP3
Patin en laiton
1
I.2. Rappels théoriques :
Lorsqu’un mobile se déplace en glissant sur un
support solide, il est soumis à son poids P et à
la force de réaction du support. Si le mobile se
déplace sans frottement, la réaction est normale
à la surface de contact. En revanche, s’il y a des
frottements, la réaction n’est plus normale. Elle
se décompose de la manière suivante :
R
RN
RT
v
P
R = RN + RT
avec R N : composante normale ( ici R N = P ).
R T : composante tangentielle s’opposant au glissement du
mobile et caractérisant la force de frottement.
La force de frottement Ff ( = R T ) est tangente à la surface de contact. Elle a donc la même direction
que le vecteur vitesse mais son sens en est opposé. Et on montre que le rapport
Ff
= µ
RN
est une constante sans dimension, appelée coefficient de frottement
dynamique, qui dépend essentiellement de la nature des matériaux en contact
ainsi que de la rugosité de leurs surfaces en contact. Il est indépendant de la
vitesse du mobile et de l’aire des surfaces en contact.
(dans la littérature, ce coefficient possède plusieurs notations : µ, µD, k, kD )
En résumé : on caractérise la force de frottement solide par le vecteur :
Ff
direction : tangent aux surfaces en contact
sens
: opposé au mouvement
norme
: Ff = µ R N
Mécanique TP3
2
I.3. Manipulation :
a- Mouvement sur le rail à l’horizontale :
♦ Etude théorique :
Le rail est placé dans le plan xOy et
colinéaire à la direction Ox. Le chariot est
lancé à la main avec une vitesse initiale, au
moment du lâché égale à vo (vox,0,0). Les
forces de frottement vont freiner le mobile
jusqu’à son immobilisation. On souhaite
déterminer l’évolution temporelle théorique
de sa vitesse et de sa position à partir du
modèle de force donné au paragraphe
précédent.
R
y
RN
Ff
O
z
vo
P
x
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :
P + R = m a ou encore
P + R N + Ff = m a
Projeter cette relation dans le repère Oxy. Montrer que la résultante des forces est égale à la force
de frottement Ff et que l’accélération ax du chariot le long de l’axe Ox s’écrit :
ax = - µg
( µ : coefficient de frottement dynamique )
( g : champ de pesanteur )
En déduire les coordonnées de son vecteur vitesse et de son vecteur position :
Mécanique TP3
3
♦ Exploitation de l’enregistrement vidéo :
•
•
Allumer votre PC et ouvrir le logiciel « LatisPro » par un double clic sur son icône visible
dans le bureau de Windows.
Faire l’acquisition image par image du fichier : frottement 1.avi.
La distance étalon sera prise entre les deux marques jaunes sous le rail (elle mesure 0.3 m).
On pourra pointer le repère blanc sur la base du chariot comme indiqué ci-dessous (point noir).
Prendre soin de bien repérer la position en x avec le pointeur.
(suivre les instructions de la notice LatisPro, « §1) lecture d’un fichier vidéo» )
Les coordonnées relevées, sont automatiquement sauvegardées dans les variables Mouvement
X et Mouvement Y auxquelles LatisPro affecte une abscisse « Temps » (40ms entre 2 images).
Ces variables sont disponibles dans la Liste des Courbes en cliquant sur le bouton
correspondant en haut à gauche dans la fenêtre principale.
(notice §2)
•
Pour simplifier, remplacer le nom des variables « Mouvement X » et « Mouvement Y » par
« X » et « Y » (dans la liste des courbes, double clic sur le nom de chaque variable).
•
Visualiser la courbe x=f(t) sur la fenêtre n° 1 (voir notice, §4, utiliser les symboles « + » non
reliés pour tracer la courbe _ notice §4-e Modifier le style).
•
Calculer la vitesse vx du chariot le long de l’axe Ox. Dans la feuille de calcul, écrire :
Vx=deriv(X) puis taper F2 pour exécuter ce calcul.
•
Visualiser la courbe vx=f(t) sur une nouvelle fenêtre graphique (fenêtre n° 2) (tracé avec les
symboles « + » _ notice §4 et §4-e). Commenter cette courbe :
Le sens de variation :
Est-il en accord avec le mouvement de décélération :
Sa forme :
Que peut-on dire de l’évolution temporelle de l’accélération subie :
Conclusion sur l’évolution temporelle de la force de frottement solide :
La force de frottement dépend-elle de la vitesse du chariot ?
Mécanique TP3
4
♦ Modélisation de vx(t) :
•
•
Suivre la procédure de modélisation (notice §6).
Imprimer votre graphe avec le modèle utilisé et les constantes optimisées (notice §7).
♦ Modélisation de x(t) :
•
•
•
Suivre la procédure de modélisation (notice §6).
Imprimer votre graphe avec le modèle utilisé et les constantes optimisées.
Les constantes ajustées sont-elles en accord avec la modélisation précédente ?
•
Accélération :
ax ± ∆a x = ……………..m.s-2
L’incertitude sur ax sera déterminée avec l’enseignant en tenant compte de tous les résultats
obtenus par les différents binômes.
•
En déduire les valeurs suivantes :
Module de la force de frottement
(masse du chariot mo = 275g ) :
Coefficient de frottement dynamique :
µ ± ∆µ = ……………..
Ff ± ∆Ff = …………….. N
Mécanique TP3
5
c- Mouvement sur le rail incliné :
R
Le rail est maintenant incliné d’un angle α par
rapport à l’axe horizontal Ox. On modifie ainsi
la composante normale R N de la réaction et
donc également la force de frottement Ff . Mais
dans cette géométrie, il apparaît maintenant une
force motrice le long de l’axe du mouvement
(composante du poids le long de O’x’ ).
y
y’
Ff
vo
O’
α
D’après le principe fondamental de la dynamique : O
P + R = ma
ou encore
RN
P + R N + Ff = m a
P
x’
x
z
avec
Ff = µ R N
Projeter cette relation dans le repère O’x’y’ solidaire du rail et montrer que l’accélération le long de
O’x’ s’écrit :
µ
)
a x' = gsin α (1 −
tan α
L’accélération du chariot le long de O’x’ est donc indépendante de la vitesse initiale vo (au moment où
le chariot est lâché). En revanche, elle est très sensible à l’inclinaison α du rail :
si : tan α < µ
⇒
si : tan α > µ
⇒
si : tan α = µ
⇒
µ
> 1 ⇒ ax’ < 0
tan α
µ
< 1 ⇒ ax’ > 0
tan α
µ
= 1 ⇒ ax’ = 0
tan α
le mouvement est décéléré
le mouvement est accéléré
le mouvement est uniforme (à vitesse cste)
On va vérifier expérimentalement qu’au voisinage de α = arctan(µ) on a bien un mouvement rectiligne
uniforme le long de O’x’.
Mécanique TP3
6
♦ Exploitation de l’enregistrement vidéo :
•
On va travailler dans un nouveau fichier LatisPro.
(enregistrer ce fichier dans le répertoire courant puis réinitialiser LatisPro en sélectionnant :
Fichier>Nouveau).
•
Faire l’acquisition du fichier : frottement 3.avi.
La distance étalon est la même que précédemment (0.3 m).
Attention : Lors de l’acquisition de la trajectoire, vous allez repérer la position (X,Y) du
chariot dans le repère Oxy et non dans le repère O’x’y’. Prendre soin de bien repérer la position
en x (horizontalement) mais aussi en y (verticalement). Placer le pointeur comme indiqué cidessous.
•
Pour simplifier, remplacer le nom des variables « Mouvement X » et « Mouvement Y » par « X »
et « Y » (dans la liste des courbes, double clic sur le nom de chaque variable).
•
La vitesse Vx’(t) du chariot le long de l’axe O’x’ parallèle au rail peut se calculer de la manière
suivante :
v = v x ' u x ' = vx u x + v y u y
d’où
v = v x ' = v 2x + v 2y .
•
Attention : le caractère « ‘ » (prime) n’est pas autorisé dans les noms de variables. Nous
appellerons Vxp la vitesse vx’ le long de l’axe O’x’.
•
Dans la feuille de calcul, Calculer Vx(t), Vy(t) et Vxp(t) :
Vx = deriv(X)
Vy = deriv(Y)
Vxp= (Vx^2 + Vy^2)^0.5
Taper F2 pour exécuter ces calculs
•
Visualiser la courbe Vxp(t) sur la fenêtre graphique n° 1.
Commenter cette courbe :
Mécanique TP3
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♦ Modélisation de Vxp(t) :
•
Donner l’expression théorique de vx’(t) en fonction de ax’.
vx’(t) = ………………………………….
•
Suivre la procédure de modélisation pour Vxp (notice §6).
•
En déduire la valeur de l’accélération le long de O’x’ :
ax’ = …………………….
Nous allons comparer cette valeur expérimentale à la valeur théorique attendue ax’ theo , connaissant
le coefficient de frottement dynamique µ déterminé précédemment et l’inclinaison α du rail qui a été
fixée pour cette expérience à une valeur de 13.0° (page 6).
(calculer l’incertitude associée à ax’ theo en tenant compte de l’incertitude sur µ et en négligeant celle
sur α )
ax’ théo. ± ∆ax’ théo. = ………………….…………..
•
Conclure :
Mécanique TP3
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II. Frottement visqueux :
Bien lire les rappels théoriques et la méthode d’intégration numérique
avant de venir en TP.
II.1. Présentation du système étudié :
Le système se compose d’un tube cylindrique en verre rempli d’huile
dans lequel on plonge une bille en acier pour suivre l’évolution de sa
vitesse lors de sa chute. Le tube mesure 55cm de hauteur pour un
diamètre de 8cm et la bille a un diamètre de 11,5mm.
Le mouvement de la bille s’apparente donc au mouvement de la boule
de pétanque étudié au TP « cinématique », mais avec quelques
nuances. Lors du bilan des forces exercées sur la boule de pétanque,
on n’avait pris en compte que son poids. Avec la bille dans l’huile, il
faudra ajouter la poussée d’Archimède et la force de frottement
visqueux qui va caractériser les frottements de l’huile sur la surface de
la bille.
II.2. Rappels :
La bille est lâchée dans l’huile sans vitesse initiale. Le
mouvement s‘effectue le long de l’axe vertical Oy.
Ff
y
Fa
Le bilan des forces est le suivant :
•
Le poids : P = m g = - mg u y avec m = ρacierVbille
m
: masse de la bille
ρacier : masse volumique de l’acier (7,86 g/cm3)
Vbille : volume de la bille.
P
O
•
z
x
La poussée d’Archimède, opposée à P est égale au poids du volume d’huile déplacé par la bille.
m’ : masse du volume d’huile déplacé
F a = + m’g u y avec
m’ = ρhuileVbille
ρhuile : masse volumique de l’huile (0,88 g/cm3)
Remarque : la somme P + F a = - (m-m’)g u y = P app , est souvent appelé poids apparent de la
bille plongée dans l’huile.
Mécanique TP3
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•
La force de frottement visqueux : cette force s’oppose au mouvement. Elle est colinéaire à la
vitesse v de la bille et de sens contraire. Son intensité est proportionnelle au module de la vitesse
élevé à la puissance n (alors que la force de frottement solide est indépendante de la vitesse):
Ff = - k v
n
v
v
= + k v n uy
avec v = v et k cste de proportionnalité
La valeur de n dépend de la manière dont l’huile s’écoule sur la surface de la bille. En général :
- à faible vitesse (écoulement laminaire) : n ≈ 1.
- à forte vitesse (écoulement turbulent) : n ≈ 2.
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit :
P + F a + Ff = m a
⇔
P app + Ff = Frésul tan te = m a
Notation utilisée a (0,a,0) et v (0,v,0) ( a et v en valeur algébrique : v = - v et a = dv )
dt
La projection du PFD le long de l’axe Oy nous donne :
- mg + m’g + k v n = ma = m dv
dt
m
−
m
'
g = - gapp
soit dv - k v n = dt
m
m
gapp
est appelé champ de pesanteur apparent (tout se passe comme si la bille plongée dans
l’huile subissait un champ gapp légèrement plus faible que g en raison de la poussée
d’Archimède).
ρ −ρ
gapp = acier huile g = 8,71 m.s-2
ρacier
Le mouvement de la bille est donc gouverné par l’équation différentielle suivante :
dv - k v n = - gapp
dt
m
(1)
Cette équation admet une solution particulière, v = cste = vL , vitesse limite atteinte par la bille lors
de sa chute. En insérant cette solution dans l’équation (1), on obtient :
vL
n
= m gapp
k
on peut ainsi écrire :
Mécanique TP3
k = g app
m vL n
et simplifier l’éq. (1)
10

v
a = − g app 1 −
 v L
on obtient :
n



La présence de la force de frottement visqueux se traduit donc de la manière suivante :
L’accélération de la bille n’est plus constante comme dans le cas d’une simple chute dans un champ
de pesanteur. Elle évolue au cours du temps et dépend donc de la vitesse de la bille.
à t=0:
quand t
:
v=0,
a = - gapp
v
a
,
v = vmax = vL ,
a=0
( Ff =k v n = 0 )
( Ff
)
( Ff = Ff max = P app )
L’allure du régime transitoire pendant lequel l’accélération évolue de – gapp à 0, sera en fait donnée par
le coefficient « n » figurant dans l’expression de a et de Ff .
Le but de cette manipulation est de déterminer ce coefficient « n » permettant de caractériser la
force de frottement visqueux.
II.3. Manipulation :
♦ Exploitation de l’enregistrement vidéo :
•
On va travailler dans un nouveau fichier LatisPro
(enregistrer le fichier précédent dans le répertoire courant puis réinitialiser LatisPro en
sélectionnant : Fichier>Nouveau).
•
Faire l’acquisition du fichier : frottement 4.avi.
La distance étalon sera prise entre les deux marques noires sur le tube en verre à droite (elle
mesure 0.3 m).
Prendre soin de bien repérer la position verticalement en y (au voisinage du centre de la bille).
•
Pour simplifier, remplacer le nom des variables « Mouvement X » et « Mouvement Y » par « X »
et « Y » (dans la liste des courbes, double clic sur le nom de chaque variable).
•
Visualiser la courbe y(t) sur la fenêtre n° 1.
Mécanique TP3
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•
Calculer la vitesse vy(t) de chute de la bille dans la feuille de calcul :
Vy = deriv(Y) puis taper F2
Et visualiser la courbe Vy(t) sur une nouvelle fenêtre graphique (fenêtre n° 2, notice §4).
•
Commenter la courbe Vy(t) en la comparant à celle obtenue lors de la chute libre de la boule de
pétanque sans aucun frottement visqueux (TP « cinématique »).
•
Décrire l’évolution de l’accélération de la bille. Est-ce bien en accord avec le modèle théorique ?
Evaluer la durée du régime transitoire avant d’atteindre une vitesse constante.
♦ Modélisation :
Pour modéliser les courbes Y(t) et Vy(t), il existe deux méthodes :
- La première que nous avons utilisée jusqu’à présent, consiste à déterminer les expressions
mathématiques de v(t) et y(t) à partir de l’expression de l’accélération a et à simuler les courbes
expérimentales avec ces expressions.
- La seconde consiste à calculer directement numériquement les valeurs successives de v et de y à
partir de l’expression de a et des conditions initiales vo et yo. Cette méthode dite d’intégration
numérique est souvent très utile quand la résolution mathématique des équations devient
difficile.
C’est cette seconde méthode que nous allons utiliser. Parmi les méthodes d’intégration numérique, la
plus simple est la méthode d’Euler présentée ci-dessous :
Mécanique TP3
12
Méthode d’Euler :
A partir des courbes expérimentales y(t) et vy(t), on détermine la position yo et la vitesse
vo initiales de la bille à t = 0, ainsi que sa vitesse limite vL.
à to ,
on a vo et yo ,
à t 1 = t o + ∆t
 v
et on calcule a o = − g app 1 − o
 v L
n



on calcule v1 en faisant l’approximation suivante : v1 ≈ ao ∆t + vo
v(t1 )− v(t o)
t o + t1
)=
≈ a(to) à condition que le pas
2
t1 − t o
∆t = t1- to soit suffisamment petit (on prendra un pas pour le calcul de
4 ms soit 10 fois plus petit que le pas entre 2 points expérimentaux)
En effet :
a(

v
On peut alors calculer : a1 = − g app 1 − 1
 vL
n
De la même manière que v1, on calcule y1 :
Ainsi, à un instant ti = ti-1 + ∆t on a :



y1 ≈ vo ∆t + yo
yi ≈ vi-1 ∆t + yi-1
vi ≈ ai-1 ∆t + vi-1
n

vi 

a i = − g app 1 −
 v L 
(1)
Transcription de la méthode d’Euler dans le tableur de LatisPro :
Dans LatisPro, les valeurs de y(t), vy(t) et ay(t) calculées par la méthode d’Euler, seront appelées
Ye, Ve et Ae. Nous appellerons Te la variable de temps correspondante pour la différencier de la
variable « Temps » des données expérimentales ( car son pas est 10 fois plus petit : ∆t = 4 ms au lieu
de 40ms).
Nous tracerons donc Ye(Te) et Ve(Te) que nous comparerons à Y(Temps) et Vy(Temps). Et nous
ferons varier manuellement les paramètres n, Yo, Vo et VL pour ajuster au mieux les courbes calculées
Ye(Te) et Ve(Te) aux courbes expérimentales Y(Temps) et Vy(Temps).
n : puissance dans l’expression de l’accélération _ formule (1).
Yo : position initiale
Vo : vitesse initiale
VL : vitesse limite
Mécanique TP3
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•
Ouvrir le tableur de LatisPro (Traitements > Tableur ou touche F11).
•
Déterminer les conditions initiales (position Yo et vitesse Vo) ainsi que la vitesse limite VL :
Dans la liste des courbes, pointer les variables Y et Vy et les glisser dans les deux premières
colonnes du tableur. Compléter :
Yo = …………….
Vo = ……………..
VL = …………………..
•
Créer les variables Te, Ye, Ve, Ae dans le tableur :
Cliquer sur la troisième colonne.
Dans la barre de menu du tableur, sélectionner : Variables > Nouvelle.
Dans le champ « Nom », taper : Te (vous pouvez également définir son unité_ optionnel).
Faire de même pour les variables Ye, Ve, Ae créées dans les colonnes n° 4, 5, 6.
Dans la liste des courbes, vous devez voir les nouvelles variables créées.
•
Créer une 7ième colonne « param » dans laquelle on introduira les valeurs des paramètres que l’on
fera varier manuellement pour ajuster au mieux la courbe calculée à la courbe expérimentale :
param[1] = n, param[2] = Yo, param[3] = Vo, param[4] = VL.
Introduire les valeurs numériques de ces 4 paramètres. On commencera avec n = 1.
•
Nous allons maintenant introduire les valeurs ou les expressions de Te, Ye, Ve, Ae sur les deux
premières lignes du tableur puis nous les génèrerons de manière automatique jusqu’à la ligne
n°111 (ainsi Te variera de 0 à 440 ms par pas de 4ms).
Introduire les expressions en caractères gras ci-dessous dans les cellules correspondantes du tableur
LatisPro :
Te
Ye
Ve
Ae
1
0
= param[2]
= param[3]
= -8.71*(1- (Ve/param[4])^param[1])
2
= Te[n-1]+0.004
= Ve[n-1]*.004 +Ye[n-1]
= Ae[n-1]*.004 +Ve[n-1]
= -8.71*(1- (Ve/param[4])^param[1])
Ne pas oublier le signe « = » devant les expressions
•
Pour générer automatiquement les expressions de la ligne n°2, dans les lignes n°3 à 111, procéder
de la manière suivante :
- Sélectionner à la souris (cliquer/glisser) les 4
cellules Te[2], Ye[2], Ve[2], Ae[2] de la
deuxième ligne. Elles apparaissent dans un cadre
noir.
- Cliquer sur le carré dans le coin inférieur droit
de ce cadre (comme indiqué sur la figure cicontre), et glisser la souris jusqu’à la ligne 111
(en gardant le clic gauche enfoncé).
Vous devez voir les valeurs numériques de ces quatre variables sur les 111 lignes du tableur. Si
vous ne voyez que les expressions, cliquer sur le bouton « 3.48 » dans la barre de menu du
tableur.
Mécanique TP3
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•
Affecter l’abscisse Te aux variables Ye et Ve puis tracer Ye(Te) et Ve(Te) :
- Ouvrir une nouvelle fenêtre graphique (dans la barre de menu : Fenêtres > Nouvelle fenêtre).
- Ranger toutes les fenêtres en mosaïque (dans la barre de menu : Fenêtres > Mosaïque).
- Dans la liste des courbes, glisser la variable Ye sur les chiffres de l’axe des ordonnées puis la
variable Te sur les chiffres de l’axe des abscisses. Enfin, glisser la variable Ve sur le même
graphe, sur l’axe des ordonnées.
Dans le bas de la liste des courbes, vous devez voir : Ye = fct(Te) et Ve = fct(Te).
- Pointer à la souris le premier terme « Ye = fct(Te) » qui s’encadre en bleu et le glisser sur le
graphe Y = fct(Temps) (fenêtre n°1). De la même manière, glisser le terme « Ve = fct(Te) » sur
le graphe Vy = fct(Temps) (fenêtre n°2).
•
Vous pouvez maintenant ajuster progressivement les courbes calculées Ye(Te) et Ve(Te) aux plus
près des courbes expérimentales Y(Temps) et Vy(Temps).
- Dans le tableur, modifier la valeur de n : param [1] = 2 et relancer le calcul avec la touche F2.
- Ajuster progressivement la valeur de n (vous pouvez également corriger légèrement la valeur de
VL ou celle de Vo. Cette dernière étant obtenue par extrapolation linéaire _ notice §5).
Conclure sur l’expression mathématique de la force de frottement et sur la nature des écoulements
d’huile autour de la bille au cours de sa chute (voir page 10).
Mécanique TP3
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