II. Probabilités conditionnelles a) exemple Dans un lycée de 1000 élèves n’ayant que des externes ou des internes il y a 55 % de garçons. • Parmi les filles, 70 % sont externes. • Parmi les garçons, 60% sont internes. On tire au hasard une fiche dans le fichier du lycée, on peut donc supposer que nous sommes en situation d’équiprobabilité.On note : • E l’évènement « l’élève est externe » ; • F l’évènement « l’élève est une fille » ; 1) Exprimer par une phrase l’évènement E . E est l’évènement : « l’élève est un interne. » 2) En utilisant les notations du texte,nommer l’évènement « l’élève est un garçon ». L’évènement « l’élève est un garçon » peut se noter F . 3) Exprimer par une phrase l’évènement E ∩ F puis calculer P(E ∩ F). L’évènement E ∩ F est « l’élève est un externe et une fille. » Il y a 45% de filles soit 450 filles et parmi celles-ci 70% sont externes soit 315 filles externes. Donc P(E ∩ F)= 315 = 0,315. 1000 4) On note PF(E) la probabilité d’obtenir une fiche « externe » sachant qu’il s’agit d’une fiche « fille ». a) A partir du texte donner P(F) et PF(E). P(F) = 0,45 et PF(E) = 0,7. b) Comparer P(F) × PF(E) et P(E ∩ F). 0,45×0,70=0,315 donc P(F) × PF(E) =P(E ∩ F). b) Généralisation Définition : Si P(A) ≠ 0, on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre, ∩ P(A B) noté PA(B) ou P(B/A), défini par PA(B) = .( formule des probabilités P(A) conditionnelles) ∩ Cette égalité s’écrit également : P(A B) = PA(B) × P(A).( formule des probabilités composées) Remarque : lorsque P(B) ≠ 0, on a aussi PB(A) = ∩ ∩ P(A B) , ce que l’on peut écrire P(B) P(A B) = P(B) × PB(A). ∩ Ainsi, si P(A) ≠ 0 et P(B) ≠ 0, on a P(A B) = P(A) × PA(B) = P(B) × PB(A). Propriété : Etant donnés deux événements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : PA(B) + PA( B ) =1. Exercice 11 -12 page 161.( Dans certains manuels il y a une erreur : on lira 18 morceaux avec guitaristes) c) Arbres pondérés Exemple 1 : On choisit au hasard une personne de la population décrite ci-dessous : Malades Sains Fumeurs 400 4600 Non fumeurs 600 14400 A est l’évènement : « la personne fume » ; B est l’évènement : « la personne est malade ». B On pourrait échanger les rôles de A et B, ce qui fourni l’arbre suivant : A PB(A)= 0,4 B PA(B)= 0,08 A PA( B ) = 0,92 P(A) = 0,25 PB( A ) = 0,6 B B P( A ) = 0,75 P A P(B) = 0,05 A A (B) = 0,04 P( B ) = 0,95 A P A P B B ( B ) = 0,96 P B (A) = 23/95 B ( A )= 72/95 A Exemple 2 : Une urne contient trois boules rouges et deux boules vertes. On tire deux boules au hasard successivement sans remise. A est l’évènement : « la première boule tirée est rouge » ; B est l’évènement : « la deuxième boule tirée est rouge ». B 1 3 5 . 2 A 1 2 2 5 3 4 B B A 1 4 B Règle des nœuds La somme des probabilités affectées aux branches issues d’un même nœud est égale à 1. Règle du « chemin » La probabilité d’un évènement correspondant à un « chemin » de l’arbre est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche.( C’est une conséquence de la formule des probabilités composées) Exemple 3 B A 0,4 . B 0,98 0,3 B A B 1. Compléter cet arbre. ∩ ∩ ∩ 2. Calculer P(A B) , P( A B) ,P(A B ) et P( A Exercices 13 page 161 ∩B)