Chapitre 4.9b – La mécanique relativiste

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 4.9b – La mécanique relativiste
La 2ième loi de Newton en relativité
En mécanique classique, l’accélération d’un objet est proportionnelle à la somme des forces
appliquées sur l’objet et inversement proportionnelle à son inertie ( amF
v
v
=
∑
). En
mécanique relativiste, cette relation n’est plus valide, car la vitesse de l’objet influence
l’efficacité de l’accélération par l’intermédiaire d’un facteur
γ
. Voici l’expression de la
2
ième
loi de Newton en mécanique relativiste :
v
c
av
mamF v
v
v
v
v
2
3
⋅
+=
∑
γγ
où
F
v
: Force appliquée sur l’objet mesurée dans le référentiel (N)
m
: Masse de l’objet mesurée au repos (kg)
a
v
: Accélération de l’objet dans le référentiel (
2
m/s )
γ
: Le facteur gamma avec vitesse de l’objet (
22
/1/1 cv −= γ )
v
v
: Vitesse de l’objet mesurée dans le référentiel (m/s) (
222
zyx
vvvvv ++== v )
c
: Vitesse de la lumière ( m/s103
8
×=c)
Preuve :
Pour démontrer la 2
ième
loi de Newton en relativité, nous aurons besoin de la règle de la
dérivée en chaîne :
( ) Y
t
XX
t
YXY
t
d
d
d
d
d
d+=
Débutons notre preuve à l’aide de la définition de la 2
ième
loi de Newton :
t
p
F
d
d
v
v
=
⇒
(
)
t
vm
F
d
d
v
v
γ
= (Remplacer
v
m
p
v
v
γ
=
)
⇒
(
)
t
v
mF
d
d
v
v
γ
= (Sortir la constante m de la dérivée)
⇒
+= t
v
t
vmF d
d
d
d
v
v
v
γ
γ
(Dérivée en chaîne :
(
)
t γγ = et
(
)
tvv
v
v
=
⇒
+= a
t
vmF vv
v
γ
γ
d
d (Définition de l’accélération :
tva d/d
v
v
=
)
⇒
t
vmamF
d
d
γ
γ
vv
v
+= (Distribuer m)

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Pour réaliser la dérivée du facteur
γ
, nous aurons besoin de la règle de dérivée d’un
quotient : (nous utiliserons la version de droite)
2
d
d
d
d
d
d
Y
t
Y
X
t
X
Y
Y
X
t
−
= ou bien t
Y
Y
Yt d
d11
d
d
2
−=
lorsque
1
=
X
Évaluons la dérivée du facteur
γ
par rapport au temps :
−
=
22
/1
1
d
d
d
d
cv
tt
γ
(Remplacer
22
/1/1 cv−= γ )
⇒
(
)
(
)
22
2
22
/1
d
d
/1
1
d
dcv
t
cv
t−
−
−=
γ
(Règle de la dérivée d’un quotient)
⇒
(
)
22
22
/1
d
d
/
1
1
d
dcv
t
c
v
t
−
−
−
=
γ
(Simplifier la racine)
⇒
( )
22
22
22
/1
d
d
/1
1
2
1
/1
1
d
dcv
t
cv
cv
t−
−
−
−
=
γ
(Appliquer
1
d
d
−
=
n
n
nx
x
x)
⇒
( )
(
)
22
2/3
22
/1
d
d
/12
1
d
dcv
t
cv
t−
−
−
=
γ
(Mettre terme
2
2
/1 cv
x
− en commun)
⇒
( )
22
3
/1
d
d
2
d
dcv
t
t
−
−
=
γγ
(Remplacer
(
)
2/3
223
/1/1 cv−= γ )
⇒
( )
−
−
=v
t
c
v
td
d2
2d
d
2
3
γγ
(Appliquer
1
d
d
−
=
n
n
nx
x
x, c est constant)
⇒
t
v
c
v
t
d
d
d
d
2
3
γγ
= (Simplification)
Évaluons maintenant la dérivée du module de la vitesse v par rapport au temps. Réécrivons
le module de la vitesse à l’aide de la définition du produit scalaire :
vvv
v
v
⋅= ( vvvvvv
zyx
vv
⋅=++=
222
)
⇒
(
)
vv
t
t
v
vv
⋅=
d
d
d
d (Calculer tv d/d )
⇒
( ) vv
t
vv
t
v
vv
vv
⋅
⋅
=d
d
2
1
d
d (Appliquer
1
d
d
−
=
n
n
nx
x
x)
⇒
( ) vv
t
v
t
v
vv
⋅=
d
d
2
1
d
d (Remplacer vvv
v
v
⋅= )

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Effectuons la dérivée en chaîne du produit scalaire
v
v
v
v
⋅
:
( ) vv
t
v
t
v
vv
⋅=
d
d
2
1
d
d
⇒
⋅+⋅= t
v
vv
t
v
vt
v
d
d
d
d
2
1
d
d
v
vv
v
(Dérivée en chaîne : ( ) Y
t
XX
t
YXY
t
d
d
d
d
d
d+= )
⇒
( ) avva
v
t
v
vvvv
⋅+⋅=
2
1
d
d (Définition de l’accélération : tva d/d
v
v
=
)
⇒
( ) avav
v
t
v
vvvv
⋅+⋅=
2
1
d
d (Commutativité du produit scalaire)
⇒
v
av
t
v
v
v
⋅
=
d
d (Simplification du facteur 2)
Introduisons ce résultat dans notre équation précédente et simplifions notre expression :
t
v
c
v
t
d
d
d
d
2
3
γγ
=
⇒
⋅
=v
av
c
v
t
v
v
2
3
d
d γγ
(Remplacer tv d/d )
⇒
2
3
d
d
c
av
t
v
v
⋅
=
γ
γ
(Simplifier v)
Introduisons ce dernier résultat dans notre équation initiale et manipulons l’expression afin
de retrouver la forme désirée :
t
vmamF
d
d
γ
γ
vv
v
+=
⇒
⋅
+=
2
3
c
av
vmamF
v
v
vv
v
γ
γ
(Remplacer td/d
γ
)
⇒
v
c
av
mamF
v
v
v
v
v
2
3
⋅
+= γγ ■ (Réécriture)
Remarque : L’orientation de l’accélération
a
v
n’est plus parallèle à la force
F
v
, car elle
dépend du module et de l’orientation la vitesse
v
v
de l’objet.

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina
La 2ième loi de Newton en relativité à une dimension : force parallèle
La définition précédente de la 2
ième
loi de Newton est la plus générale, car elle est exprimée
vectoriellement. Lorsqu’un objet se déplace seulement selon l’axe x et qu’il subit la
présence d’une force alignée uniquement selon l’axe x (force parallèle à la vitesse), alors la
2
ième
loi de Newton se simplifie à une équation à une dimension :
xxx
maF
3
γ =
où
x
F : Force appliquée sur l’objet mesurée dans le référentiel (N)
m
: Masse de l’objet mesurée au repos (kg)
x
a : Accélération de l’objet selon l’axe x dans le référentiel (
2
m/s )
x
γ : Le facteur gamma avec vitesse de l’objet selon l’axe x (
2
2
/1/1 cv
xx
−= γ )
x
v : Vitesse de l’objet selon l’axe x mesurée dans le référentiel (m/s)
c
: Vitesse de la lumière ( m/s103
8
×=c)
Preuve :
À partir de la 2
ième
loi de Newton relativiste vectorielle, réduisons cette équation à
l’application d’une force selon l’axe x sachant que l’objet se déplace uniquement selon
l’axe x. Les termes suivants changeront d’écriture :
x
FF →
v
x
γγ →
x
vv →
v
x
aa →
v
xx
avav →⋅
r
v
Alors :
v
c
av
mamF v
v
v
v
v
2
3
⋅
+= γγ (2
ième
loi de Newton relativiste)
⇒
x
xx
xxxx
v
c
av
mamF
2
3
γγ += (Remplacer les termes)
⇒
2
2
3
c
v
amamF
x
xxxxx
γγ += (Simplification et réécriture)
⇒
+=
2
2
2
3
1
c
v
amF
x
x
xxx
γ
γ
(Factoriser
xx
am
3
γ )
⇒
+
−
=
2
2
2
2
2
3
c
v
c
vc
maF
xx
xxx
γ
(Utiliser l’identité
1
:
2
2
2
2
x
x
vc
c
−
= γ )
⇒
xxx
maF
3
γ = ■ (Simplification)
1
Cette identité fut démontrée dans le chapitre 4.4.

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume C Page 5
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
La 2ième loi de Newton en relativité à une dimension : force
perpendiculaire
Lorsqu’un objet se déplace seulement selon l’axe x et qu’il subit la présence d’une force
alignée uniquement selon l’axe y (force perpendiculaire à la vitesse), alors la 2
ième
loi de
Newton se simplifie à une équation à une dimension :
yxy
amF γ =
où
y
F : Force appliquée sur l’objet selon l’axe y mesurée dans le référentiel (N)
m
: Masse de l’objet mesurée au repos (kg)
y
a : Accélération de l’objet selon l’axe y (
2
m/s )
x
γ : Le facteur gamma avec vitesse de l’objet selon l’axe x (
2
2
/1/1 cv
xx
−= γ )
x
v : Vitesse de l’objet selon l’axe x mesurée dans le référentiel (m/s)
c
: Vitesse de la lumière ( m/s103
8
×=c )
Preuve :
Considérons un objet se déplaçant à vitesse
x
v selon l’axe x et subissant une force
y
F selon
l’axe y perpendiculairement au sens de la vitesse. Évaluons la relation entre la force et
l’accélération à partir de la 2
ième
loi de Newton relativiste :
jFF
y
v
v
→
x
γγ → ivv
x
v
v
→ jaiaa
yx
v
v
v
+→
xx
avav →⋅
r
v
Alors :
v
c
av
mamF
v
v
v
v
v
2
3
⋅
+= γγ (2
ième
loi de Newton relativiste)
⇒
( )
iv
c
av
mjaiamjF
x
xx
xyxxy
vvvv
2
3
γγ ++= (Remplacer les termes)
⇒
jamiv
c
av
mmajF
yxx
xx
xxxy
vvv
γγγ + +=
2
3
(Isoler terme i
v
et j
v
)
Puisque le côté gauche de l’équation est uniquement défini selon l’axe y , le côté droit de
l’équation se doit d’avoir un terme nul selon l’axe x . Ainsi, nous pouvons affirmer que :
0
2
3
=+
x
xx
xxx
v
c
av
mma γγ
Ainsi, nous avons l’équation suivante qui peut être généralisée à toute forme de force
perpendiculaire à la vitesse :
jamjF
yxy
v
v
γ = (Usage 0
2
3
=+
x
xx
xxx
v
c
av
mma γγ )
⇒
yxy
amF γ = ■ (Simplifier j
v
)