Chapitre 3.10a – L`impulsion et la quantité de mouvement

Chapitre 3.10a – L’impulsion et la quantité
de mouvement
L’impulsion d’une force constante
v
L’impulsion correspond au transfert de quantité de mouvement causé par une force F
v
appliquée durant un intervalle de temps ∆t :
J
v v
J = F ∆t
où
v
J : Impulsion appliquée sur un objet ( Ns )
v
F : Force qui effectue l’impulsion (N)
∆t : Durée d’application de la force ( ∆t = t f − t i ) (s)
v
F
ti
tf
La quantité de mouvement
La quantité de mouvement est une mesure de l’état de mouvement d’un objet ayant une
v
vitesse de translation v et une masse m. On définit classiquement1 la quantité de
mouvement de la façon suivante :
v
v
p = mv
où
v
v
v
p : La quantité de mouvement associé à un objet ( kg ⋅ m/s )
m : La masse de l’objet (kg)
v
v : La vitesse de l’objet (m/s)
v
p
m
Théorème de la quantité de mouvement
Le théorème de la quantité de mouvement nous permet d’affirmer que l’impulsion est
l’agent qui fait varier la quantité de mouvement dans le temps :
Puisque qu’une impulsion produit une variation de la quantité de mouvement, nous
pouvons ajouter ce terme à notre théorème de la conservation de la quantité de
mouvement :
v
v v
p f = pi + J
où
Unité :
1
v
p f : Quantité de mouvement final ( Ns ou kg ⋅ m/s )
v
p i : Quantité de mouvement initiale ( Ns ou kg ⋅ m/s )
v
J : Impulsion totale extérieure appliquée ( Ns )
Ns =
kg m
kg m
m
s=
= kg
2
s
s
s
v
En mécanique relativiste, la quantité de mouvement est égale à p =
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
v
mv
1− v2 / c2
.
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Preuve :
À partir de la 2ième loi de Newton, appliquons une force durant un intervalle de temps
v
v
(impulsion J ) afin de produire une variation de la quantité de mouvement p :
v
v
v
v
dv
v
v dv
F =m
F = ma
⇒
(Remplacer a =
)
dt
dt
v
v
⇒
Fdt = m dv
(Multiplier par dt )
v
v
⇒
Fdt = d (mv )
(Distribuer m dans la dérivée)
v
v
v
v
⇒
F dt = d p
(Remplacer p = mv )
v
v
⇒
F∆t = ∆p
(Relaxer notation d → ∆ )
v v
v v
v
⇒
J = p f − pi
(Remplacer J = F∆t )
v
v
v
⇒
p f = pi + J ■
(Réécriture)
Situation A : On pousse une boîte. Une boîte 2 kg ayant une vitesse initiale de 2 m/s selon
l’axe négatif des x est poussée à l’aide d’une force de 5 N selon l’axe positif des x pendant
3 secondes. On désire déterminer la vitesse de la boîte après 3 secondes de poussée.
Appliquons le théorème de la quantité de mouvement selon l’axe x afin d’évaluer la vitesse
de la boîte après 3 secondes de poussée constante :
px f = pxi + J x
⇒
(mv ) = (mv ) + J
⇒
mv x f = mv x i + (Fx ∆t )
(Remplacer J x = Fx ∆t )
⇒
(2)v x f
(Remplacer valeurs num.)
⇒
2v x f = −4 + 15
(Calcul)
⇒
v x f = 5,5 m/s
(Évaluer v x f )
xf
xi
x
= (2 )(− 2 ) + (5)(3)
(Remplacer p x = mv x )
La 2ième loi de Newton avec la quantité de mouvement
La 2ième loi de Newton peut être réécrite à l’aide de la définition de la quantité de
v
mouvement p . Sous cette forme2, cette loi permet plus facilement de mette en relation
l’influence d’une force et la modification de l’état de mouvement d’un objet :
v dpv
F=
dt
où
v
F : La force appliquée en newton (N)
v
p : Quantité de mouvement associé à un objet ( kg ⋅ m/s )
t : Le temps en seconde (s)
2
C’est plutôt sous cette forme qu’Isaac Newton a énoncé sa 2ième loi.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Preuve :
À partir de la 2ième loi de Newton, effectuons une réécriture de cette loi introduisant la
v
notion de quantité de mouvement p :
v
v
v
dv
v
v
v
F = ma
⇒
F =m
(Définition de l’accélération, a = dv / dt )
dt
v d (mvv )
F=
⇒
(Entrer la constante m dans la dérivée)
dt
v dpv
v
v
⇒
F=
■
(Remplacer p = mv )
dt
L’impulsion d’une force non constante
v
v
Pour évaluer l’impulsion J d’une force F , nous avons besoin d’évaluer l’aire sous la
courbe d’un graphique de force en fonction du temps t . Ce calcul peut s’effectuer grâce à
l’intégrale d’une fonction Fx (t ) :
Force constante
Force non constante
Fx (N )
Fx
Jx
ti
∆t
tf
t (s )
tf
(selon l’axe x)
∫ F dt
Jx =
x
t =ti
J x = Fx ∆t
(vectoriel)
v
J=
tf
v
F
∫ dt
t =ti
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Chapitre 3.12 - Situation 1 : Une balle rebondit.
Une balle de 0,1 kg rebondit sur le sol. L’interaction
entre le sol et la balle dure 0,04 s. Pendant cet
intervalle de temps, la force résultante agissant sur la
balle (selon un axe y dont le sens positif est orienté
vers le haut) est donnée par le graphique ci-contre.
Immédiatement avant le début de l’interaction, la
v
vitesse de la balle est égale à − 20 j m/s . On désire
déterminer sa vitesse immédiatement après la fin de
l’interaction.
ΣF y (N )
300
200
100
t (s)
0
0
0,02
0,04
Évaluons la quantité de mouvement avant l’impact :
v
v
v
v
v
v
pi = −2 j Ns
pi = mv i
⇒
pi = (0,1)(− 20 j )
⇒
Évaluons l’impulsion donnée par le sol :
1 carré = 1 un = 50 N × 0,005 s = 0,25 Ns
Avec :
v
J=
ΣF y (N )
tf
v
F
∫ dt = aire sous la courbe
t = ti
300
200
⇒
v
v
v
J = 8 carrés (1 un) j + 6 triangles (1 un) j
⇒
v
v
J = 14 × 0,25 j
⇒
v
v
J = 3,5 j Ns
100
t (s)
0
0
0,02
0,04
Nous pouvons évaluer la quantité de mouvement
quantité de mouvement :
v
v
v
v
v
v
p f = pi + J
⇒
p f = (− 2 j ) + (3,5 j )
v
v
⇒
p f = 1,5 j
v
v
⇒
mv f = 1,5 j
v
(0,1)vv f = 1,5 j
⇒
v
v
v f = 15 j m/s
⇒
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
finale à partir de la conservation de la
(Remplacer num.)
(Calcul)
v
v
(Quantité de mouvement, p = mv )
(Remplacer num.)
v
(Isoler la vitesse finale v f )
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