formes quadratiques - Licence de mathématiques Lyon 1

C H A P I T R E 2
F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S
1. Définitions et exemples
DEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUE
Soit b une forme bilinéaire sur E.
L’application  
 et appelée forme quadratique associée.
Remarque :
 l’ensemble des formes quadratiques sur E est un espace vectoriel sur 
Remarque :
La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée.
 est linéaire.
Son noyau est l’espace des formes bilinéaires alternées.
PROPOSITION 13 :
Toute forme quadratique q sur E est associée à une et une seule forme bilinéaire symétrique. On
l’appelle a forme polaire et on la note .
d’où  Q(E)= dim 
est un isomorphisme (car inj et de même dimension)
Pour calculer  la partie symétrique de b 
PROPOSITION 14 : FORME DE POLARISATION
Soit q une forme quadratique de forme polaire . Alors  est donnée par .
PREUVE:
 Il faut montrer que
 est bilinéaire symétrique
 q lui est associée.

FORMES QUADRATIQUES
2
Exemples :
1) f,g forme linéaires sur E
q :  est forme quadratique
 est bilinéaire
2)  
 est bilinéaire symétrique
b est la forme polaire de q
 est quadratique
3) 
 forme quadratique
 elles sont linéaires
C’est bien une forme quadratique de forme polaire
 n’est pas quadratique
4)  
5) 
 forme quadratique
DEFINITION 14 : ESPACE QUADRATIQUE
On appelle un espace quadratique la donnée d’un espace vectoriel et d’une forme quadratique.

FORMES QUADRATIQUES
3
2. Représentation d’une forme quadratique dans une base.
E  dim finie,  muni d’une base 
DEFINITION 14 : REPRESENTATION MATRICIELLE
On appelle matrice associée à q dans B la matrice de sa forme polaire
PROPOSITION 15 :
Soit q forme quadratique représentée par A dans B. Soit B’ une autre base et A’ la matrice de q dans
B’ et P la matrice de passage de B à B’.
Alors  et  
DEFINITION 15 : REPRESENTATION POLYNOMIALE
homogène de degré d.
ex : 
P Homogène de degré 2. 
On lui associe la matrice
   matrice sym
Réciproquement à une matrice symétrique m lui associe un polynôme homogène de degré 2.
Rmq : 
On dit que P représente la forme quadratique q dans la base.

FORMES QUADRATIQUES
4
3. Equivalence de formes quadratiques
DEFINITION 16 : MORPHISME
 et  espaces quadratiques :
Un morphisme d’espaces quadratiques : 
Et  
 Un morphisme injectif est une isometrie
 Un morphisme bijectif est un isomorphisme
Morphisme : diagramme commutatif
E u F
q q’
K
Remarque : Les isomorphismes d’espaces quadratiques donnent une relation d’équivalence sur
l’ensemble des formes quadratiques , si  et ) sont isomorphes alors que q est équivalente
à q’ et on le note 
 et 
    on a   est un isomorphisme
d’espace quadratique
PROPOSITION 16 :
 et  espaces quadratiques.  ,  formes polaires associées à  alors les assertions
suivantes sont équivalentes :
1) 
2)   
PREUVE:
  linéaire bijection tel que 
donc  donc 
  tel que 
On considère l’application 
 C’est une forme bilinéaire
 Elle est symétrique
 Sa forme quadratique associée est 
Donc il s’agit de (par unicité de sa forme polaire)

FORMES QUADRATIQUES
5
CORROLAIRE 17 :
q,q’ 2 formes quadratiques sur des espaces de dimensions finies sont équivalentes :
1) 
2) Leurs matrices associées sont congruentes
3) Dans les bonnes bases elle ont la même matrice et même polynôme
4. Domaine, dimension, rang, noyau
E  dim finie
q forme quadratique, b forme polaire
DEFINITION 17 : DOMAINE
 est représenté par q si  tel que .
On appelle domaine de q l’ensemble 
On dit que q est universelle si 
Exemple :
1)  est universelle , 
2) Toute forme quadratique non nulle sur  est universelle. Soit  tel que .
Soit . Soit 
et il existe  tel que
 donc 
3) q forme quadratique sur  qui n’est pas négative ni positive alors elle est universelle
PROPOSITION 18 :
Si  alors 
E u F
q q’
K
Si , ,   donc 
Si , ,   donc 
DEFINITION 18 : DIMENSION
La dimension de q est la dimension de l’espace E.
DEFINITION 19 : DIMENSION
Le noyau de q est l’ensemble.