Énoncé

´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT–´ ETIENNE, MINES DE NANCY,
T´ EL´ ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2010
SECONDE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` ere PSI
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 4 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` ere page de la copie :
PHYSIQUE II — PSI.
L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 7 pages.
– Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` a le
signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` a prendre.
– Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. La bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
PHYSIQUE D’UN BALLON DE FOOTBALL
On l’a observ´ e lors de r´ ecentes comp´ etitions internationales : le mouvement d’un ballon de football
est parfois si surprenant qu’il semble tenir d’un tour de magie. On a cherch´ e` a mieux comprendre
les m´ ecanismes qui r´ egissent la dynamique du ballon de football, et, en particulier, ` a l’occasion de
l’introduction d’un nouveau mod` ele, r´ eput´ e plus «rapide»mais aussi plus impr´ evisible, on a proc´ ed´ e
`
a des ´ etudes exp´ erimentales et ` a des simulations num´ eriques. Dans ce probl` eme, on exploite quelques
mesures qui ont pour but d’´ evaluer le coefficient de traˆ ın´ ee et on d´ eveloppe un mod` ele th´ eorique qui
permet d’interpr´ eter certains r´ esultats. On se limite au cas dans lequel le ballon est simplement en
mouvement de translation dans l’air. Les donn´ ees num´ eriques utiles et les notations correspondantes
sont rassembl´ ees dans le tableau ci dessous. ` A l’exception de la question 4 pour lequel on conservera
les 4 chiffres significatifs de mesure pour remplir le tableau, on utilisera 2 chiffres significatifs dans
le reste des applications num´ eriques. Les vecteurs sont not´ es avec un chapeau s’ils sont unitaires b ex,
avec une fl` eche −→ vdans le cas g´ en´ eral.
Masse volumique de l’air ρ =1,2 kg.m−3
Viscosit´ e cin´ ematique de l’air n=1,4·10−5m2.s−1
Module de l’acc´ el´ eration de la pesanteur g=9,8 m.s−2
Masse du ballon m=0,50 kg
Diam` etre du ballon D=22 cm
`
A toutes fins utiles on rappelle certaines relations. Pour un fluide incompressible dans lequel le champ
de vitesse est −−−−→ V(−→ r,t), le champ de pression P(−→ r,t)et la masse volumique
ρ (−→ r,t), l’´ equation de
Navier-Stokes s’´ ecrit
∂
−→
V
∂ t+−→
V·−−→ grad−→ V=−1
ρ
−−→
gradP+n−−−−→ ∆−→ V

Physique d’un ballon de football
Pour toute fonction fde Rdans Rquatre fois d´ erivable, le d´ eveloppement de Taylor au quatri` eme
ordre de fau voisinage de 0 s’´ ecrit
f(
θ ) = f(0) + f′(0) θ +f′′(0)
θ
2
2+f(3)(0)
θ
3
3! +f(4)(0)
θ
4
4! +o
θ
4
Enfin pour une fonction hde deux variables r´ eelles xet y, on d´ emontre que
– Si h(x,y) = g(
θ , ϕ )alors
∂ h
∂ x=
∂ g
∂θ∂θ ∂ x+
∂ g
∂ϕ∂ϕ ∂ x;
– Si h(x,y) = f(
θ )alors
∂ h
∂ x=f′(
θ )
∂θ
∂ x.
I. — Nombre de Reynolds et coefficient de traˆ ın´ ee
Lorqu’un fluide, ici l’air, de vitesse −→ U, de module U, s’´ ecoule autour d’une sph` ere de diam` etre D,
on d´ efinit le nombre de Reynolds Re =UD
n. Lorsque Re prend des valeurs inf´
erieures ` a l’unit´ e on
parle d’un ´ ecoulement ` a petit nombre de Reynolds. La force de frottement visqueux −→ Fqui agit sur
la sph` ere est proportionnelle ` a la vitesse de l’´ ecoulement. Elle est donn´ ee par la formule de Stokes :
−→
F=−3
π n ρ D−→ U.
Dans le cas des ´ ecoulements ` a grand nombre de Reynolds, la force de traˆ ın´ ee −→ Tqui agit sur la
sph` ere est proportionnelle au coefficient de traˆ ın´ ee C, sans dimension, et au carr´ e de la vitesse selon
la relation
−→
T=−1
2C
ρ
π D2
4U−→
U
1 — ´ Evaluer la valeur num´ erique du nombre de Reynolds dans le cas d’un ballon de football se
d´ eplac¸ant dans l’air avec une vitesse de 100 km.h−1. Que peut-on en d´ eduire?
L’axe Oz qui oriente les grandeurs vectorielles est dirig´ e selon la verticale descendante, son vecteur
unitaire est not´ eb ez. On cherche ` a valider exp´ erimentalement la loi donnant la force de traˆ ın´ ee en me-
surant la vitesse d’un ballon soumis au seul champ de pesanteur. Ce dernier est lˆ ach´ e d’une hauteur
de 27 m dans une enceinte contenant de l’air au repos, avec une vitesse initiale −→ vo=vob
eztelle que
vo>0. On proc` ede ` a des s´ eries de mesures du module de la vitesse instantan´ ee au cours du mouve-
ment par v´ elocim´ etrie laser. L’intervalle
τ =30 ms s´ eparant deux mesures successives est constant.
On donne dans le tableau ci-dessousun extrait des valeurs vidu module de la vitesse, mesur´ ees aux
dates ti=i×
τ .
i1234567891011
vim.s−15,220 5,480 5,736 5,988 6,237 6,482 6,726 6,986 7,253 7,522 7,789
2 — ´ Evaluer le module de l’acc´ el´ eration instantan´ ee ai`
a la date tien fonction de vi+1,viet
τ .
3 — En utilisant le th´ eor` eme de la r´ esultante cin´ etique, ´ etablir la relation scalaire entre les gran-
deurs m,ai,get la norme Tide la force de traˆ ın´ ee ` a la date ti.
4 — Reproduire et compl´ eter le ta-
bleau ci-contre. ` A partir de ces donn´ ees et
en utilisant le document joint avec le su-
jet, repr´ esenter les points de coordonn´ ee
v2
i;Tiet [log10(Re);C]. Commenter les
diagrammes obtenus.
i1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
v2
im2.s−2
Ti[N]
C
log10(Re)
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Physique II, ann´ ee 2010 — fili` ere PSI
Les ´ etudes exp´ erimentales ´ etablissent l’existence d’un nombre de Reynolds critique Rec, voisin de
105, au-del` a duquel le coefficient de traˆ ın´ ee chute brutalement. Les m´ ecanismes responsables de cette
chute sont li´ es ` a la nature de l’´ ecoulement de l’air autour du ballon. On se propose de mod´ eliser ce
r´ egime d’´ ecoulement dans les questions suivantes.
FIN DE LA PARTIE I
II. — ´ Ecoulement d’un fluide visqueux le long d’une paroi solide
Dans un premier temps, afin de simplifier le
probl` eme, on assimile la surface du ballon
`
a une plaque plane semi-infinie d’´ equation
(y=0, x>0)repr´ esent´ ee sur la figure 1.
L’´ ecoulement du fluide, au-dessus de la
plaque, est suppos´ e stationnaire, incompres-
sible et bidimensionnel. Le champ de vi-
tesse est pris sous la forme −→ V=u(x,y)b ex+
v(x,y)b ey. Les fonctions uet vsont respec-
tivement appel´ ees composante longitudinale
et verticale du champ de vitesse. Loin de la
plaque, la vitesse se stabilise ` a la valeur U,
ainsi :
FIG. 1 – ´ Ecoulement d’un fluide au dessus d’une
plaque semi-infinie.
lim
y→+∞−→
V=Ub ex=−→ V∞
On n´ eglige l’action de la pesanteur. Le nombre de Reynolds est maintenant d´ efini comme une fonc-
tion de la variable xpar la relation : Re(x) = Ux/n. Dans la suite du probl` eme, on consid´ erera
syst´ ematiquement que Re(x)≫1, ce qui suppose que le domaine d’´ etude exclut la singularit´ ex→0.
On appelle couche limite la r´ egion dans laquelle la vitesse du fluide diff` ere sensiblement de sa valeur
loin de la plaque.
Pour ´ evaluer l’´ epaisseur
δ (x)de cette couche limite, on adopte le point de vue Lagrangien. Une parti-
cule de fluide ´ emise au voisinage de l’origine Ose d´ eplace d’une distance approximative x(t)≃Ut le
long de l’axe Ox entre l’instant initial et la date t. Par ailleurs, au cours de la mˆ eme dur´ ee, l’influence
de la viscosit´ e est perceptible sur une ´ epaisseur
δ (t) = √nt.
5 — D´ eduire de cette ´ evaluation la loi δ (x)donnant l’´ epaisseur de la couche limite ` a une distance
xde l’arˆ ete de la plaque. ` A quelle condition la g´ eom´ etrie plane permet-elle de d´ ecrire correctement la
surface du ballon?
6 — Former le rapport δ (x)/xet l’exprimer en fonction de Re(x).
On d´ eduit de la question pr´ ec´ edente que
δ (x)≪x. Il apparaˆ ıt que l’´ ecoulement est caract´ eris´ e par
deux ´ echelles de longueur, l’une (´ epaisseur de la couche limite) ´ etant tr` es faible devant l’autre (dis-
tance longitudinale le long de la plaque). On cherche ` a prendre en compte cette caract´ eristique de
fac¸on ` a simplifier les ´ equations de la dynamique du fluide en ´ ecoulement. On proc` ede de la fac¸on
suivante : pour toute grandeur g(x,y)relative ` a l’´ ecoulement on ´ evalue les ordres de grandeur des
d´ eriv´ ees partielles en ´ ecrivant que :
∂ g
∂ x≃g xet
∂ g
∂ y≃g δ
7 — En ´ ecrivant l’hypoth` ese d’´ ecoulement incompressible, montrer que l’un des ´ el´ ements du
couple (u,v)est n´ egligeable devant l’autre.
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Physique d’un ballon de football
8 — Montrer que −−−−→
∆−→
V≃
∂
2u
∂ y2b
ex+
∂
2v
∂ y2b
ey
et en d´ eduire que la composante selon b exde l’´ equation de Navier-Stokes se simplifie en
u
∂ u
∂ x+v
∂ u
∂ y=−1 ρ∂
P
∂ x+n
∂
2u
∂ y2(1)
FIN DE LA PARTIE II
III. — Couche limite laminaire sans gradient de pression
On suppose dans un premier temps que l’´ ecoulement a lieu en l’absence de gradient longitudinal de
pression, soit
∂ P
∂ x≡0. On cherche, dans ce r´
egime, ` a obtenir la solution de l’´ equation (1)v´ erifiant les
conditions aux limites suivantes :
– le champ de vitesse s’annule au contact de la plaque;
– l’´ ecoulement est uniforme loin de la couche limite, soit lim
y→∞−→
V(x,y) = Ub exavec U=cste.
On se propose d’utiliser pour cela la variable r´ eduite
θ (x,y) = yrU
nx introduite par Prandtl dans sa
th´ eorie des ´ ecoulements visqueux bidimensionnels.
9 — Exprimer θ (x,y)en fonction de x,yet Re(x), puis en fonction de yet δ (x). En d´ eduire la
dimension de la variable
θ .
On recherche une solution du probl` eme dans laquelle la composante longitudinale r´ eduite f=u/Ude
la vitesse ne d´ epend que de
θ . Cette hypoth` ese sera discut´ ee ` a la question 14. On introduit donc deux
nouvelles fonctions fet gv´ erifiant u(x,y) = U f(
θ )et v(x,y) = Ug(x, θ )
10 — Traduire les conditions aux limites y→0 et y→∞par des ´ equations portant sur les fonctions
fet g.
11 — Exprimer
∂ u
∂ x,
∂ v
∂ y,
∂ u
∂ yet
∂
2u
∂ y2en fonction de U,x,
θ ,Re(x)et des d´ eriv´ ees de fet g.
12 — En ´ ecrivant la condition d’´ ecoulement incompressible montrer que
g(x, θ ) =
α
pRe(x)
θ f( θ )−Z
θ
0f(
ξ )d ξ
o` u
α est une constante que l’on d´ eterminera.
13 — En utilisant les r´ esultats pr´ ec´ edents, v´ erifier que la dynamique de l’´ ecoulement dans la
couche limite est r´ egie par l’´ equation de Blasius
f′′(
θ ) + α f′( θ )Z
θ
0f(
ξ )d ξ =0
que l’on ne cherchera pas ` a r´ esoudre directement.
14 — Expliquer pourquoi l’´ equation de Blasius confirme l’hypoth` ese pr´ eliminaire concernant la
d´ ependance de la vitesse longitudinale par rapport aux variables spatiales.
15 — On consid` ere les points Met M∗de coordonn´ ees respectives (x,y)et (x∗,y∗). Quelle relation
existe-t-il entre u(M)et u(M∗)si y
√x=y∗
√x∗
Cette propri´ et´ e est appel´ ee invariance d’´ echelle, commenter cette d´ enomination.
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Physique II, ann´ ee 2010 — fili` ere PSI
La r´ esolution num´ erique de l’´ equation de
Blasius permet d’obtenir la repr´ esentation
graphique de la fonction f( θ ), celle-ci fait
l’objet de la figure 2. On constate qu’au voi-
sinage de l’origine, la courbe repr´ esentative
de f(
θ )poss` ede un domaine lin´ eaire qui
s’interrompt brusquement. Apr` es le do-
maine lin´ eaire, la courbe se rapproche tr` es
rapidement de son asymptote. Une lec-
ture graphique permet d’obtenir la valeur
num´ erique :
a=f′(0) = 3
10
.
FIG. 2 – Repr´ esentation graphique de la solution de
l’´ equation de Blasius.
16 — ` A partir de la solution num´ erique, d´ eterminer une expression approximative de u(x,y)en
fonction de x,y,Uet Re(x)dans la couche limite. Montrer que la transition entre la couche limite et
le domaine de l’´ ecoulement uniforme est situ´ ee approximativement ` a une distance Y(x)de la plaque
que l’on exprimera en fonction de
δ (x).
On suppose que la fonction f( θ )poss` ede un d´ eveloppement de Taylor ` a tout ordre au voisinage de
z´ ero.
17 — D´ emontrer que d2f
d θ
2
θ =0=d3f
d θ
3
θ =0=0 et que par cons´
equent, il existe une constante
btelle que f( θ ) = a θ +b θ
4+o
θ
4. Exprimer ben fonction de a.
FIN DE LA PARTIE III
IV. — D´ ecollement de la couche limite laminaire
L’´ equation de Blasius a ´ et´ e´ etablie sous l’hypoth` ese U=cste, ce qui revient ` a supposer que, le long
de la fronti` ere entre le solide et le fluide, le gradient de pression est nul. On ´ etudie maintenant une
situation plus r´ ealiste qui prend en compte ce gradient de pression dans une zone o` u les lignes de
courant divergent et qui conduit au fait que U=U(x). Pour cela nous allons, dans un premier temps,
chercher la structure du champ de vitesse hors de la couche limite, domaine o` u l’´ ecoulement est
suppos´ epotentiel et incompressible. Nous en d´ eduirons alors la loi U(x)ainsi que l’expression du
gradient de pression. Nous ´ etudierons finalement l’effet produit par ce dernier.
Afin de rendre compte de la courbure des lignes de courant au voisinage de la surface du ballon, on
assimile localement cette surface ` a un di` edre d’angle
α = π /(m+1). La constante mest un param` etre
n´ egatif qui est pris dans l’intervalle ]−1/3,0]si bien que
α ∈[ π ,3 π /2[. On rep` ere un point Mdu
fluide par ses coordonn´ ees polaires (r,
ψ )avec ψ ∈[0, α ]et on recherche le potentiel des vitesses sous
la forme
ϕ (r, ψ ) = F(r)cos[(m+1) ψ ]. La g´ eom´ etrie du syst` eme est repr´ esent´ ee sur la figure 3.
FIG. 3 – ´ Ecoulement ` a la surface du ballon
On donne, dans le syst` eme de coordonn´ ees choisi :
−−→
grad
ϕ =
∂ϕ
∂ rb
er+1
r
∂ϕ
∂ψ
c
e
ψ
∆ ϕ =1
r
∂
∂ rr
∂ϕ
∂ r+1 r2
∂
2
ϕ
∂ψ
2
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