Angles orientés

Chapitre 4
Angles orientés
Sommaire
4.1 Activité .......................................................... 33
4.2 Orientation du plan ................................................... 34
4.3 Mesures de l’angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls .......................... 34
4.3.1 Ensemble des mesures .............................................. 34
4.3.2 Mesure principale d’un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.3 Angle nul, angle plat, angles droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Propriétés des mesures des angles orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.1 Propriétés de base ................................................ 35
4.4.2 Relation de CHASLES ............................................... 35
4.4.3 Conséquences de la propriété de base et de la relation de CHASLES ................... 35
4.5 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6 Lignes trigonométriques des angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.6.1 Rappels ....................................................... 36
4.6.2 Lignes trigonométriques ............................................. 36
4.7 Exercices ......................................................... 37
4.1 Activité
Soit un repère orthonormal ¡O;~ ı,~ ¢, le cercle Cde
centre Oet de rayon 1 et la droite Dd’équation x=1 qui
coupe l’axe (Ox) en I.
À tout nombre a, on associe le point Mde la droite D,
d’abscisse 1 et d’ordonnée a.
« L’enroulement » de la droite Dautour du cercle Cmet
en coïncidence le point Mavec un point Nde C.
Plus précisément, si aest positif, le point Nest tel que
y
I N =I M =a, l’arc étant mesuré dans le sens inverse des
aiguilles d’une montre et, si aest négatif, le point Nest
tel que y I N =I M = |a|, l’arc étant mesuré dans le sens des
aiguilles d’une montre.
Le point Nest le point du cercle Cassocié au nombre
a.
×
×
×
×
×
I
J
D
M
N
O
Activité 4.1. 1. Placer les points de la droite Midont les ordonnées yisont données par le tableau suivant :
33

4.2 Orientation du plan Première S – 2 007–2 008
MiM1M2M3M4M5M6M7M8M9
yi0π
2−π 2
π
3−π 3π−π2π−2π
Refaire le dessin sur votre feuille au besoin.
2. Placer les points N1,N2,N3,N4,N5,N6,N7,N8,N9du cercle associés à ces nombres.
3. Indiquer un nombre associé à chacun des points I,J,B(−1;0) et B′(0;−1).
4. Existe-t-il plusieurs nombres associés à un même point ?
Si oui, donner quatre nombres associés au point J.
4.2 Orientation du plan
Définition 4.1 (Orientation d’un cercle, du plan, cercle
trigonométrique).On utilisera le vocabulaire suivant :
•Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur
ce cercle appelé sens direct (ou positif). L’autre sens est
appelé sens indirect (négatif ou rétrograde).
•Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plan
dans le même sens. L’usage est de choisir pour sens di-
rect le sens contraire des aiguilles d’une montre (ap-
pelé aussi sens trigonométrique).
•Un cercle trigonométrique est un cercle orienté dans le
sens direct et de rayon 1. Lorsque le plan est muni d’un
repère ¡O;~ ı,~ ¢, le cercle trigonométrique est le cercle
orienté dans le sens direct, de centre Oet de rayon 1.
×
×
Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.
Définition 4.2 (Abscisse curviligne, arc orienté, mesures d’un arc orienté).Le plan est muni d’un repère ¡O;~ ı,~ ¢. Soit
I(0; 1) un point du cercle trigonométrique Cet Dla tangente en IàC, munie du repère (I;~ ) (voir schéma 4.1).
•On appelle abscisse curviligne d’un point Mdu cercle trigonométrique, l’abscisse de tout point Nde la droite D
associé à Mpar enroulement. (Remarque : un point à plusieurs abscisses curvilignes).
•Si les points Aet Bdu cercle trigonométrique ont pour abscisses curvilignes αet β, alors le couple (A;B) est appelé
arc orienté et noté
y
AB.
•Une des mesures de l’arc orienté
y
AB est β−α.
4.3 Mesures de l’angle orienté d’un couple de vecteurs non nuls
4.3.1 Ensemble des mesures
Définition 4.3 (Angle orienté).Soit ~ uet ~ vdeux vecteurs non nuls du plan orienté. On appelle angle orienté, noté
(~
u;~ v), le couple de ces deux vecteurs.
Soit ~ uet ~ vdeux vecteurs non nuls du plan orienté, Oun point quelconque et Cle cercle trigonométrique de centre
O.
On considère A′et B′les points définis par −−→ O A′=~ uet −−→ OB′=~ v.
Les demi-droites [O A′) et [OB′) coupent le cercle trigonométrique Crespectivement en Aet en B(voir le schéma page
suivante).
Définition 4.4 (Mesures d’un angle orienté).Une mesure de l’angle orienté (~ u;~ v), en radian, est une mesure de l’arc
orienté associé
y
AB du cercle trigonométrique.
Remarque. •Si une des mesures de (~ u;~ v)est α, alors toutes les mesures sont de la forme α+2kπavec k∈Z.
•Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures.
On écrit par exemple (~ u;~ v)=π
2signifiant qu’une des mesures de (~
u;~ v)est π
2, les autres étant de la forme π 2+2kπ
avec k∈Z.
On écrit aussi (~ u;~ v)=π
2+2kπavec k∈Z, ou encore (~
u;~ v)=π
2[2π] qui se lit « π 2modulo 2π».
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Première S – 2 007–2 008 4.4 Propriétés des mesures des angles orientés
FIG. 4.1 – Mesures d’un angle orienté
×
×
×~
u
O
A′
A
~
v
B′
B
4.3.2 Mesure principale d’un angle orienté
Définition 4.5 (Mesure principale).La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle orienté
qui appartient à ]−π;π].
4.3.3 Angle nul, angle plat, angles droits
Définition 4.6 (Colinéarité, orthogonalité).Soit ~ uet ~ vdeux vecteurs non nuls du plan orienté.
•Dire que ~ uet ~ vsont colinéaires revient à dire que la
mesure principale de (~ u;~ v) est 0 (angle nul) ou est π
(angle plat).
•Dire que ~ uet ~ vsont orthogonaux revient à dire que la
mesure principale de (~ u;~ v) est π
2(angle droit direct) ou
−π
2(angle droit indirect).
Définition 4.7 (Repère orthonormal direct ou indirect).Soit ¡O;~ ı,~ ¢un repère du plan. On dit que ¡O;~ ı,~ ¢est :
•direct si une des mesures de (
~
ı;~ ) est π
2;•indirect si une des mesures (
~
ı;~ ) est −π
2.
4.4 Propriétés des mesures des angles orientés
4.4.1 Propriétés de base
Propriété 4.1. Soit un vecteur non nul ~ u du plan orienté et k ∈R.
•(~ u;~ u)=0et (~ u;−~ u)=π.•Si k >0alors (~ u;k~ u)=0.•Si k <0alors (~ u;k~ u)=π.
Preuve. Cela découle de la définition 6. ♦
4.4.2 Relation de CHASLES
Propriété 4.2. Soit ~ u, ~ v et ~ w trois vecteurs non nuls du plan orienté.
(~
u;~ v)+(~ v;~ w)=(~
u;~ w)
On l’admettra.
4.4.3 Conséquences de la propriété de base et de la relation de CHASLES
Propriété 4.3. Soit ~ u et ~ u deux vecteurs non nuls du plan orienté, k et k′deux réels.
•(~ u;~ v)=−(~ v;~ u).
•(~ u;−~ v)=(~ u;~ v)+π.
•(−~ u;~ v)=(~ u;~ v)+π.
•(−~ u;−~ v)=(~ u;~ v).
•Si k et k′sont de même signe, (k~ u;k′~
v)=(~ u;~ v).
•Si k et k′sont de signes opposés, (k~ u;k′~
v)=(~ u;~ v)+π.
Preuve. •(~ u;~ v)+(~ v;~ u)=(~ u;~ u)=0 donc (~ u;~ v)=−(~ v;~ u).
David ROBERT 35

4.5 Cosinus et sinus d’un angle orienté Première S – 2 007–2 008
•(~ u;−~ v)−(~
u;~ v)=(~ u;−~ v)+(~ v;~ u)=(~ v;~
u)+(~ u;−~ v)=(~ v;−~ v)=πdonc (~
u;−~ v)=(~ u;~ v)+π.
•(−~ u;~ v)−(~
u;~ v)=(−~ u;~ v)+(~ v;~ u)=(−~
u;~ u)=πdonc (−~
u;~ v)=(~ u;~ v)+π.
•(−~
u;−~ v)−(~
u;~ v)=(~
u;−~ v)+π−(~
u;~ v)=(~
u;~ v)+2π−(~
u;~ v)=0 donc (−~
u;−~ v)=(~
u;~ v).
•Si ket k′positifs alors (k~
u;k′~
v)=(~
u;k′~
v)=(~
u;~ v).
Si ket k′négatifs alors (k~
u;k′~
v)=(~
u;k′~
v)+π=(~
u;~ v)+2π=(~
u;~ v).
•Si knégatif et k′positif alors (k~
u;k′~
v)=(~
u;k′~
v)+π=(~
u;~ v)+π.
Si kpositif et k′négatif alors (k~
u;k′~
v)=(~
u;k′~
v)=(~
u;~ v)+π.
♦
4.5 Cosinus et sinus d’un angle orienté
Sauf indication contraire, l’unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d’un repère orthonormal direct
¡O;~
ı,~ ¢; on considère le cercle trigonométrique Cde centre O.
Définition 4.8 (Cosinus et sinus d’un réel).Pour tout réel x, il existe un point Munique du cercle trigonométrique
Ctel que xsoit une mesure de ³−−→
O A ;−−→ OM´.
•L’abscisse du point Mest le cosinus de x(noté cosx).
•L’ordonnée du point Mest le sinus de x(noté sinx)
Définition 4.9 (Cosinus et sinus d’un angle orienté).Soit ~ uet ~ vdeux vecteurs non nuls du plan. Le cosinus (resp. le
sinus) de l’angle orienté de vecteurs (~ u;~ v) est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures. On note
cos(~ u;~ v) et sin(~ u;~ v).
Lien entre cosinus de l’angle orienté et cosinus de l’angle géométrique
Notons αla mesure en radians de l’angle géométrique  AOB formé par ~ uet ~ v, et notons xla mesure principale de
(~ u;~ v) . On a α=|x|. Deux cas se présentent :
•si x≥0, |x|= xet par suite cosα=cosx;
•si x≤0, |x|=−xet par suite cosα=cos(−x)=cos x
On a donc cos(~ u;~ v)=cos(  AOB).
Ce n’est pas vrai pour le sinus : sin(  AOB)=|sin(~
u;~ v)|
4.6 Lignes trigonométriques des angles associés
4.6.1 Rappels
Propriété 4.4 (fondamentale).
cos2x+sin2x=1
Propriété 4.5 (Sinus et cosinus des angles usuels).
x0π
6
π
4
π
3
π
2
sinx01
2
p2
2
p3
21
cosx1p3
2
p2
2
1
20
4.6.2 Lignes trigonométriques
Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel x, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premier
cadran. Elles seront démontrées plus tard dans l’année.
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Première S – 2 007–2 008 4.7 Exercices
x
π
2−x
π
2+x
π−x
π+x−x
cos¡π
2−x¢=sinx
sin¡π
2−x¢=cosx
cos¡π
2+x¢=−sin x
sin¡π
2+x¢=cosx
cos(π−x)=−cos x
sin(π−x)=sinx
cos(π+x)=−cos x
sin(π+x)=−sin x
cos−x=cos x
sin−x=−sin x
4.7 Exercices
Exercice 4.1.
Sur un cercle trigonométrique C, on considère les points
Aet Btels que :
³−→
OI ;−−→ O A´=5π
6et ³−→
OI ;−−→ OB ´=−2π
3
Déterminer la mesure principale des angles suivants :
1. ³−−→
O A ;−−→ O J ′´;
2. ³−→
O J ;−−→ OB ´;
3. ³−−→
O A ;−−→ OB ´;
4. ³−−→
AO ;−−→ OB ´;
5. ³−−→
O A ;−−→ BO´;
6. ³−−→
AO ;−−→ BO´;
7. ³2−−→ O A ;−3−−→ OB ´.
× ×
×
×
×
I
J
I′
J′
O
Exercice 4.2.
Dans un repère orthonormal ¡O;~ ı,~ ¢, on considère le point B(1;1) et le point Ad’asbcisse 2 tel que ³~
ı,−→ B A´=π
3.
Déterminer les coordonnées du milieu Ide [AB].
O~
ı
~
×
×
B
A
Exercice 4.3.
ABCD est un parallélogramme de centre O.
× ×
××
A B
C
D
O
David ROBERT 37