Leçon 03

Leçon 3
Problème à deux corps. Force centrale conservative. Application au potentiel newtonien (PCSI)
----------------Bibliographie : aucune collection n’est mauvaise sur ce chapitre. Le programme dit bien d’insister sur
les états liés & de diffusion, & sur la notion de potentiel efficace.
 Ellipses Mécanique Newtonienne du point : chapitre VIII. Le mieux. Très détaillé.
 Hachette : Mécanique II, chapitre 6. Un peu sec.
 Tec & Doc : Mécanique 1ère année, très détaillé, chapitres 12 & 13. Bien.
 Dunod : Mécanique I, 3 chapitres ! (8, 9, 10). Confus.
I. APPLICATION DES THEOREMES GENERAUX :
1. Notations : on considère deux points matériels M1 & M2, de masses respectives m1 & m2, (ou
bien de charges q1 & q2, suivant qu'on s'intéresse à l'interaction gravitationnelle ou électrostatique),
  



constituant un système isolé, de positions r1  OM 1 & r2  OM 2 . On pose r  r2  r1  r.u .
2. Référentiel barycentrique : le définir. Y calculer la vitesse relative de M2, puis sa quantité de

mm


mouvement P2  m2 .u2  .w , où   1 2
est la masse réduite de M2. On en déduit
m1  m 2



dw
d ²r
F2  .
 .
& il est donc équivalent (force invariante par changement de repère galiléen) d'étudt
dt ²
dier dans le référentiel barycentrique le mouvement d'un point matériel de masse µ situé à la distance

r  M1M 2 du centre d'inertie G.

 
3. Constantes du mouvement : F  k 1 2 u pour un champ newtonien donc le théorème du mor2

d o   
 d 
 r  F  0 . Le moment cinétique est constant  z  mr 2   , on a un
ment cinétique donne :
dt
 dt 
mouvement à force centrale, & une trajectoire plane parcourue suivant la loi des aires

dS 1 dr  z C
 r

 , où C est la constante des aires. L'énergie s'écrit :
dt 2 dt 2m 2
2

1  dr 
1 mC 2
, & donc le mouvement dépend des deux consE  E P  EC  cste  k 1 2  m  
r
2  dt 
2 r2

1 mC 2
tantes E & C. On introduit une énergie potentielle efficace définie par : W ( r )  k 1 2 
r
2 r2
(donner l'allure de la courbe) & on a : W(r)  E car EC > 0. Cette condition est satisfaite pour rm  r 
rM, & W est minimale pour ro 
mC 2
mC 2
avec W ( ro )  
.
k1 2
2 ro2
II. ETUDE DES TRAJECTOIRES :
2
1  dr 
1 mC 2
1. Formule de Binet : on a (U étant l'énergie potentielle) : E  U  m  
. En isolant
2  dt 
2 r2
2

dr
1
2 d
2 2  d u
, en remarquant que dt  r
, on obtient la formule de Binet F  mC u
 u , u  .
2


C
dt
r
 d

2. Equation polaire des trajectoires : on obtient :
d 2u
d
2
u 
1
p
r
en introduip
1  e. cos(   )
2

mC
sant F  k 1 2 , avec p 
. Equation polaire d'une conique d'excentricité e.
k1 2
r2
 d 2u

1
3. Calcul de l'énergie : on peut écrire E  mC 2 
 u   k1 2 u , conduisant à :
2
2
 d

E
mC 2
2p
2
(1  e 2 ) ou e  1 
2 p²
E.
mC ²
4. Classification des trajectoires : définir les états liés (E < 0) & les états de diffusion (E  0).

E




mC 2
2 p2
, e  0 , trajectoire circulaire de rayon ro.
mC 2
 E  0, e  1 , trajectoire elliptique.
2 p2
E  0, e  1 , trajectoire parabolique.
E  0, e  1, trajectoire hyperbolique, la seule possible dans le cas d'une interaction répulsive (électrique) conduisant à la diffusion.
5. Lois de Képler : rappeler les trois lois :



Les planètes décrivent des ellipses dont le soleil est l'un des foyers ;
Le rayon vecteur balaie des aires proportionnelles au temps ;
Le carré de la période T de révolution est proportionnel au cube du demi - grand axe a de l'ellipse ;
6. Vitesses de libération : en déduire les diverses vitesse de libération :

Première vitesse cosmique : vitesse de satellisation, orbite circulaire, soit : v1 
mv12
mM T
G
;
r
r2
Seconde vitesse cosmique : orbite parabolique pour quitter l'attraction terrestre, donc énergie nulle
2GM T
sur une orbite circulaire, soit : v2 
 v1. 2  11 km/s ;
r
Troisième vitesse cosmique : pour quitter le système solaire. Si u = 30 km/s est la vitesse de la Terre
en orbite, la vitesse de libération vaut donc u. 2  42 km / s , & avec la loi de composition des vi-
déduite du bilan des forces


GM T
 8 km/s ,
r
tesses, on en déduit : u 2  u  vr  v3  v22  vr2  17 km/s .
Note : la diffusion Rutherford n'est pas au programme.
Pas de manips évidentes.