Leçon 03

Leçon 3
Problème à deux corps. Force centrale conservative. Application au poten-
tiel newtonien (PCSI)
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Bibliographie : aucune collection n’est mauvaise sur ce chapitre. Le programme dit bien d’insister sur
les états liés & de diffusion, & sur la notion de potentiel efficace.
 Ellipses Mécanique Newtonienne du point : chapitre VIII. Le mieux. Très détaillé.
 Hachette : Mécanique II, chapitre 6. Un peu sec.
 Tec & Doc : Mécanique 1ère année, très détaillé, chapitres 12 & 13. Bien.
 Dunod : Mécanique I, 3 chapitres ! (8, 9, 10). Confus.
I. APPLICATION DES THEOREMES GENERAUX :
1. Notations : on considère deux points matériels M1 & M2, de masses respectives m1 & m2, (ou
bien de charges q1 & q2, suivant qu'on s'intéresse à l'interaction gravitationnelle ou électrostatique),
constituant un système isolé, de positions
2211 & OMrOMr 
. On pose
urrrr  .
12 
.
2. Référentiel barycentrique : le définir. Y calculer la vitesse relative de M2, puis sa quantité de
mouvement
wumP 
.. 222 
, où
21
21 mm mm
est la masse réduite de M2. On en déduit
²
²
..
2dtrd
dt
wd
F
& il est donc équivalent (force invariante par changement de repère galiléen) d'étu-
dier dans le référentiel barycentrique le mouvement d'un point matériel de masse µ situé à la distance
21MMr 
du centre d'inertie G.
3. Constantes du mouvement :
u
r
kF 
221
pour un champ newtonien donc le théorème du mo-
ment cinétique donne :
0
Fr
dt
do
. Le moment cinétique est constant
 dt
d
mr
z2
, on a un
mouvement à force centrale, & une trajectoire plane parcourue suivant la loi des aires
222
1C
mdt
rd
r
dt
dS z
, où C est la constante des aires. L'énergie s'écrit :
2
2
2
21 2
1
2
1
r
mC
dt
dr
m
r
kcsteEEE CP 
, & donc le mouvement dépend des deux cons-
tantes E & C. On introduit une énergie potentielle efficace définie par :
2
2
21 2
1
)( r
mC
r
krW 
(donner l'allure de la courbe) & on a : W(r) E car EC > 0. Cette condition est satisfaite pour rm r
rM, & W est minimale pour
21
2
kmC ro
avec
2
2
2
)( o
or
mC
rW 
.
II. ETUDE DES TRAJECTOIRES :

1. Formule de Binet : on a (U étant l'énergie potentielle) :
2
2
2
2
1
2
1
r
mC
dt
dr
mUE 
. En isolant
dt
dr
, en remarquant que
C
d
rdt  2
, on obtient la formule de Binet
r
uu
d
ud
umCF1 ,
2
2
22 
.
2. Equation polaire des trajectoires : on obtient :
)cos(.1
1
2
2
ep
r
p
u
d
ud
en introdui-
sant
221
r
kF 
, avec
21
2
k
mC
p
. Equation polaire d'une conique d'excentricité e.
3. Calcul de l'énergie : on peut écrire
uku
d
ud
mCE21
2
2
2
2
1
, conduisant à :
)1(
2
2
2
2e
p
mC
E
ou
ep
mC E 12 ²²
.
4. Classification des trajectoires : définir les états liés (E < 0) & les états de diffusion (E  0).
0 ,
22
2 e
p
mC
E
, trajectoire circulaire de rayon ro.
1 ,0
22
2 eE
p
mC
, trajectoire elliptique.
E e 0 1,
, trajectoire parabolique.
E e 0 1,
, trajectoire hyperbolique, la seule possible dans le cas d'une interaction répulsive (élec-
trique) conduisant à la diffusion.
5. Lois de Képler : rappeler les trois lois :
 Les planètes décrivent des ellipses dont le soleil est l'un des foyers ;
 Le rayon vecteur balaie des aires proportionnelles au temps ;
 Le carré de la période T de révolution est proportionnel au cube du demi - grand axe a de l'ellipse ;
6. Vitesses de libération : en déduire les diverses vitesse de libération :
 Première vitesse cosmique : vitesse de satellisation, orbite circulaire, soit :
km/s 8
1 r
GM
vT
,
déduite du bilan des forces
2
2
1r
mM
G
r
mv T
;
 Seconde vitesse cosmique : orbite parabolique pour quitter l'attraction terrestre, donc énergie nulle
sur une orbite circulaire, soit :
km/s 112.
212  v
r
GM
vT
;
 Troisième vitesse cosmique : pour quitter le système solaire. Si u = 30 km/s est la vitesse de la Terre
en orbite, la vitesse de libération vaut donc
u. 2 42 km/ s
, & avec la loi de composition des vi-
tesses, on en déduit :
km/s 17222
23  rr vvvvuu
.
Note : la diffusion Rutherford n'est pas au programme.
Pas de manips évidentes.