Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables

Chapitre 8
Fonctions de plusieurs variables
8.1 G´en´eralit´es sur les fonctions de plusieurs variables r´eelles
D´efinition. Une fonction r´eelle de nvariables r´eelles est une application d’une
partie de Rn`a valeurs dans R.
On note :
f:Rn−→ R
(x1, ..., xn)7−→ z=f(x1, ..., xn)
fest d´efinie en m0= (x01, ..., x0n)∈Rnsi la valeur f(x01, ..., x0n)existe et est un
nombre r´eel z0.
On note Dfl’ensemble de d´efinition de f.
Exemple. La fonction
f:R2−→ R
(x, y)7−→ p1−x2−y2
est d´efinie pour les valeurs de xet ytelles que x2+y2≤1. Dans un rep`ere ortho-
norm´e, Dfest le disque ferm´e de centre 0et de rayon 1.
8.1.1 Repr´esentation g´eom´etrique d’une fonction de deux variables
Soit z=f(x, y)une fonction de deux
variables. Soit Oxyz un rep`ere ortho-
norm´e de R3. Quand le point m(x, y)
d´ecrit dans le plan xOy le domaine de
d´efinition de la fonction f, le point M
de coordonn´ees (x, y, z) = (x, y, f(x, y))
d´ecrit une surface S.
On dit que Sa pour ´equation z=f(x, y).
M(x,y,f(x,y))
m(x,y)
x
y
z
O
S
Df
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Un voisinage Vm0d’un point m0∈R2est une partie de R2contenant un disque
ou un carr´e ayant ce point pour centre et non r´eduit `a ce point. Selon la distance
choisie on obtient les voisinages suivants :
m0m0m0
|x−x0|+|y−y0|sup(|x−x0|,|y−y0|)p(x−x0)2+ (y−y0)2
8.2 Limite d’une fonction.
Soit Dfle domaine de d´efinition de f:R2→R,m0(x0, y0)∈Df. On dit que f
admet la limite Lquand m(x, y)tend vers m0(x0, y0), si f(x, y)est aussi voisin
que l’on veut de Ld`es que le point mest dans un voisinage convenable de m0.
On note
lim
(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = Lou lim
m→m0
f(m) = L.
Exemple. lim
(x,y)→(0,0)
(1 + x2y2) sin y
y= lim
y→0
sin y
y= 1.
Cette notion de limite se g´en´eralise sans difficult´es aux espaces de dimensions
sup´erieures `a deux.
8.2.1 Op´erations
Les propri´et´es des limites des fonctions de plusieurs variables sont les mˆemes
que celles des limites des fonctions d’une variable pour les sommes, produits,
quotients et compos´ees.
8.3 Fonction continue
Une application f:Rn→Rd´efinie sur un voisinage d’un point m0∈Rnest
continue en m0si lim
m→m0
f(m) = f(m0).
•Soit Dun domaine non vide de Rn. On dit que fest continue sur D, si elle
est continue en tout point de D.
◦Exemple.
D=R2(x, y)7−→ f(x, y) = x+y;fest continue en tout point de Dcar
|f(x, y)−f(x0, y0)|=|x+y−x0−y0| ≤ |x−x0|+|y−y0|tend vers 0d`es
que xtend vers x0et yvers y0.
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8.3.1 Applications partielles
Soit f: (x1, ..., xn)∈Rn7−→ z=f(x1, ..., xn)∈R
une fonction de nvariables. Si l’on fixe les n−1variables x1, x2, ..., xi−1, xi+1, ..., xn
on peut d´efinir les napplications dites applications partielles :
fi:x∈R7−→ fi(x) = f(x1, ..., xi−1, x, xi+1, ..., xn)∈R
Dans le cas n= 2 f:R2−→ Ron a deux applications partielles
fx:x7−→ fx(x) = f(x, y)et fy:y7−→ fy(y) = f(x, y)
Par exemple, si f(x, y) = xy
x2+y2fx:x7−→ fx(x) = xy x2+y2.
Th´eor`eme. Si f:Rn→Rest continue en m0= (x01, x02, ..., x0n), les napplications
partielles fide Rdans Rsont continues en x0i.
On remarquera que la r´eciproque de ce th´eor`eme est fausse, comme le prouve
l’exemple suivant :
Exemple. Soit f(x, y) = xy
x2+y2∀(x, y)6= (0,0) et f(0,0) = 0. Au point O(0,0)
les deux fonctions partielles fxet fyqui sont ´egales `a 0sont continues ;
cependant fn’est pas continue en O: si l’on pose y=tx la limite en Oest
t
1 + t26=f(0,0) pour (t6= 0).
8.3.2 Op´erations
Si fet g:Rn→Rsont continues en m0(x01, ..., x0n), alors ∀λ∈R:
f+g,fg,λ f ,f
g(si g(m0)6= 0) sont continues en m0.
◦De mˆeme la compos´ee de fonctions continues est continue.
8.4 D´eriv´ees partielles
Soit fune fonction des deux variables x,yet m0(x0, y0)∈Df.
Supposons l’application partielle fx:x7−→ f(x, y0)d´efinie sur un voisinage de x0
tel que (x0, y0)∈Df. Si fxadmet une d´eriv´ee au point x0, on dit que cette d´eriv´ee
est la d´eriv´ee partielle de fpar rapport `a xau point (x0, y0).
On note f0
xou ∂f
∂x cette d´eriv´ee et l’on a
f0
x(x0, y0) = ∂f
∂x(x0, y0) = lim
x→x0
f(x, y0)−f(x0, y0)
x−x0
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De mˆeme, la d´eriv´ee de la fonction fyest la d´eriv´ee partielle de fpar rapport `a y
au point (x0, y0). On la note
f0
y(x0, y0) = ∂f
∂y (x0, y0) = lim
y→y0
f(x0, y)−f(x0, y0)
y−y0
Si f0
xet f0 yexistent, on dit que fest d´erivable.
8.4.1 R`egle pratique
Pour d´eterminer une d´eriv´ee partielle de f, il suffit de d´eriver l’expression de
fpar rapport `a la variable consid´er´ee, les autres ´etant consid´er´ees comme des
constantes.
Exemple. Soit f(x, y) = x2y5. Alors, on a
∂f
∂x(x, y) = 2x y5,∂f ∂y (x, y) = 5x2y4,∂f ∂x(1,2) = 64,∂f ∂y (1,2) = 80
8.4.2 Repr´esentation g´eom´etrique
Soit Sla surface d’´equation z=f(x, y)
et M0(x0, y0, z0)le point de Sde coor-
donn´ees (x0, y0, z0=f(x0, y0)) dans le
rep`ere Oxyz. La section de la surface
Spar le plan y0O0z0d’´equation x=x0
est une courbe (Cx0). Dans ce plan, (Cx0)
est le graphe de la fonction z=fy(y) =
f(x0, y)et f0
y(y0) = ∂f
∂y (x0, y0)est la pente
de la tangente `a la courbe (Cx0)en M0,
comme on peut le voir sur la figure ci-
contre.
S
M0
m0
y0
O′= x0
y′
y
O
x
z
z′
Cx0
8.4.3 Exemples de calculs
Si f(x, y) = x2+y2alors f0
x(x, y) = 2xet f0 y(x, y) = 2y
Si f(x, y, z) = 3x+y2−z3alors
f0
x(x, y, z) = 3 ,f0 y(x, y, z) = 2yet f0 z(x, y, z) = −3z2
Si f(x, y) = 2x+y
x2+y2∀(x, y)∈R2−(0,0)
f0
x(x, y) = −2x2−2xy + 2y2
(x2+y2)2et f0
y(x, y) = −y2−4xy +x2
(x2+y2)2
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8.4.4 D´eriv´ees successives
On d´efinit ensuite les d´eriv´ees partielles d’ordre 2, si elles existent par d´erivation
des d´eriv´ees premi`eres ; on les note :
f00
xixj=∂
∂xi
(f0
xj) = ∂2
∂xi∂xj
f
Exemple. Pour la fonction (x, y)7→ f(x, y) = x2y5on a
f00
x2(x, y) = 2y5, f00
xy(x, y) = 10xy4, f00 yx(x, y) = 10xy4,
f00
y2(x, y) = 20x2y3, f(3)
x2y(x, y) = 10y4.
Th´eor`eme de Schwarz (
H.Schwarz 1843-1921 ) :
Si f admet dans un voisinage de (x0, y0) des d´eriv´ees partielles secondes f00
x y
et
f00
y x c
ontinues, elles sont ´egales sur ce voisinage :
f00
x y =f00 y x
Notons que le th´eor`eme de Schwarz se g´en´eralise aux fonctions de plus de deux
variables et aux d´eriv´ees d’ordre sup´erieur `a deux ; par exemple :
si f(x, y, z) = x2+xyz +xyz3+z2on a f(3)
xz2(x, y, z) = 6yz =f(3)
z2x(x, y, z)
8.5 Diff´erentielle de f
L’id´ee est de remplacer en m0une fonction ”compliqu´ee” fpar une fonction
plus simple qui est une application lin´eaire translat´ee en f(m0)dite ”applica-
tion lin´eaire tangente” et qui soit la meilleure approximation lin´eaire de fau
voisinage de m0.
On sait que les applications lin´eaires de Rdans Ret de R2dans Rs’´ecrivent
respectivement
λa:R→Rλa,b :R2→R
x7→ ax (x, y)7→ ax +by
o `u les coefficients aet bsont r´eels.
A. Fonction diff´erentiable f:R→Rd´efinie et continue sur un voisinage
Vx0de x0.fest diff´erentiable en x0s’il existe une application lin´eaire λx0, not´ee
f0(x0) : R→R, telle que pour tout h∈Ravec x0+h∈Vx0:
f(x0+h)−f(x0) = f0(x0)h+hϕ(h)avec lim
h→0ϕ(h) = 0.
La valeur f0(x0)qui est unique peut encore s’´ecrire :
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