Nilpotence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 1
Nilpotence
Exercice 1 [ 00783 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(C) nilpotente.
(a) Calculer χA.
(b) Même question avec A∈ Mn(R).
Exercice 2 [ 00863 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(C) une matrice nilpotente.
(a) Montrer que Aest semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte.
(b) Le résultat est-il encore vrai pour A∈ Mn(R) ?
Exercice 3 [ 03372 ] [Correction]
Soient A,B∈ Mn(C). On suppose que la matrice Aest nilpotente et que la matrice B
commute avec A. Que dire de tr(AB) ?
Exercice 4 [ 00867 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(C). On suppose qu’il existe p∈N∗tel que Ap=0.
(a) Montrer que An=0.
(b) Calculer det(A+In).
Soit M∈ Mn(C) tel que AM =MA.
(c) Calculer det(A+M) (on pourra commencer par le cas où M∈GLn(C)).
(d) Le résultat est-il encore vrai si Mne commute pas avec A?
Exercice 5 [ 01677 ] [Correction]
Soient A∈GLn(C) et N∈ Mn(C) nilpotente telles que
AN =NA
Montrer que
det(A+N)=det A
Exercice 6 [ 02724 ] [Correction]
Soit Aune matrice carrée réelle d’ordre n.
Montrer que Aest nilpotente si, et seulement si,
∀p∈~1 ; n,tr Ap=0
Exercice 7 [ 00865 ] [Correction]
Soient Eun C-espace vectoriel de dimension net f∈ L(E).
(a) Montrer que l’endomorphisme fest nilpotent si, et seulement si,
Sp( f)={0}
(b) Montrer que l’endomorphisme fest nilpotent si, et seulement si,
∀1≤k≤n,tr( fk)=0
Exercice 8 [ 00837 ] [Correction]
Soit uun endomorphisme d’un C-espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer que upossède une seule valeur propre si, et seulement si, il existe λ∈Ctel que
u−λIdEsoit nilpotent.
Exercice 9 [ 02690 ] [Correction]
Soient Aet Bdes matrices complexes carrées d’ordre n. On suppose les matrices A+2kB
nilpotentes pour tout entier ktel que 0 ≤k≤n. Montrer que les matrices Aet Bsont
nilpotentes.
Exercice 10 [ 00938 ] [Correction]
Soient n∈N∗,Aet Bdans Mn(C) et λ1, . . . , λn, λn+1deux à deux distincts dans C. On
suppose, pour 1 ≤i≤n+1, que A+λiBest nilpotente.
Montrer que Aet Bsont nilpotentes.
Exercice 11 [ 03023 ] [Correction]
Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E).
On note I1={P∈C[X]/P(u)=0}et I2=P∈C[X]/P(u) est nilpotent.
(a) Montrer que I1et I2sont des idéaux non nuls de C[X].
On note P1et P2leurs générateurs unitaires respectifs.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 2
(b) Établir un lien entre P1et P2.
(c) Montrer l’existence de Q∈ I2tel que u−Q(u) est diagonalisable
Exercice 12 [ 03095 ] [Correction]
Soit Φ:M2(R)→Rvérifiant
∀A,B∈ M2(R),Φ(AB)= Φ(A)Φ(B) et Φ 0 1
1 0!,Φ(I2)
(a) Démontrer que Φ(O2)=0.
(b) Si Aest nilpotente, démontrer que Φ(A)=0.
(c) Soient A∈ M2(R) et Bla matrice obtenue à partir de Aen permutant les lignes de A.
Démontrer que Φ(B)=−Φ(A).
(d) Démontrer que Aest inversible si, et seulement si, Φ(A),0.
Exercice 13 [ 01956 ] [Correction]
Soient n≥2 et A=(ai,j)1≤i,j≤n∈ Mn(R) où ai,i+1=1 pour i∈{1,...,n−1}, les autres
coefficients étant nuls.
(a) La matrice Aest-elle diagonalisable ?
(b) Existe-t-il B∈ Mn(R) vérifiant B2=A?
Exercice 14 [ 03253 ] [Correction]
Soient nun entier naturel non nul et Eun C-espace vectoriel de dimension n.
(a) Montrer qu’il existe un polynôme Pn∈R[X] vérifiant
√1+x=
x→0Pn(x)+O(xn)
(b) Établir que Xndivise alors le polynôme P2
n(X)−X−1.
(c) Soit fun endomorphisme de Enilpotent. Montrer qu’il existe un endomorphisme g
de Evérifiant
g2=IdE+f
(d) Soit maintenant fun endomorphisme de Ene possédant qu’une valeur propre λ.
Montrer que ( f−λ. IdE)n=˜ 0 et conclure qu’il existe un endomorphisme gde E
vérifiant
g2=f
Exercice 15 [ 03477 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(R).
(a) On suppose A3=A2. Montrer que A2est diagonalisable et que A2−Aest nilpotente.
(b) Plus généralement on suppose Ak+1=Akpour un certain entier k>0.
Établir l’existence d’un entier p>0 tel que Apest diagonalisable et Ap−A
nilpotente.
Exercice 16 [ 03763 ] [Correction]
Pour n≥2, on note Hun hyperplan de Mn(K) ne contenant aucune matrice inversible.
(a) Montrer que Hcontient toutes les matrices nilpotentes.
(b) En déduire que tout hyperplan de Mn(K) rencontre GLn(K).
Exercice 17 [ 03765 ] [Correction]
Soient A,M∈ Mn(C) avec Mmatrice nilpotente.
(a) On suppose MA =On. Montrer que les matrices A+Met Aont le même polynôme
caractéristique.
(b) Même question en supposant cette fois-ci AM =On.
Exercice 18 [ 03616 ] [Correction]
Soient n∈Net E=Mn(C). On note E∗=L(E,C) le C-espace vectoriel des formes
linéaires sur E.
(a) Montrer que L:E→E∗,A7→ LAoù LAest la forme linéaire M7→ tr(AM) est un
isomorphisme
d’espaces vectoriels. En déduire une description des hyperplans de E.
(b) Soit T∈ Mn(C) une matrice triangulaire supérieure non nulle et H=ker LT.
On note T+
n(respectivement T− n) le sous-espace vectoriel des matrices triangulaires
supérieures (respectivement inférieures) à diagonales nulles.
Déterminer H∩T+
n.
En discutant selon que Tpossède ou non un coefficient non nul (au moins) hors de la
diagonale, déterminer la dimension de H∩T−
n.
(c) Une matrice A∈ Mn(C) est dite nilpotente s’il existe k∈Ntel que Ak=0.
Prouver que les éléments de T+
n∪T− nsont des matrices nilpotentes.
En déduire que Hcontient au moins n2−n−1 matrices nilpotentes linéairement
indépendantes.
(d) Montrer que tout hyperplan de Econtient au moins n2−n−1 matrices nilpotentes
linéairement indépendantes.
Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Enoncés 3
Exercice 19 [ 03474 ] [Correction]
Soient Kun corps et A1,A2,...,Andes matrices de Mn(K) nilpotentes commutant deux à
deux.
Montrer
A1A2. . . An=On
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Corrections 4
Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
(a) Puisque Aest nilpotente, Ane peut avoir que des valeurs propres nulles. Les valeurs
propres étant les racines du polynôme caractéristique et ce dernier étant scindé sur C,
χA=Xn.
(b) Pour A∈ Mn(R), on a aussi A∈ Mn(C) et le polynôme caractéristique est calculé
par la même formule dans les deux cas.
Exercice 2 : [énoncé]
(a) Si A∈ Mn(C) alors Aest triangularisable et lors de cette triangularisation les valeurs
propres de Aapparaissent sur la diagonale. Or Aest nilpotent donc 0 est sa seule
valeur propre et la diagonale de la matrice triangulaire obtenue est nulle. Le
polynôme caractéristique de A∈ Mn(C) est alors égal à Xn.
(b) Pour A∈ Mn(R), on a aussi A∈ Mn(C) et le polynôme caractéristique est calculé
par la même formule dans les deux cas. Par suite le polynôme caractéristique pour
A∈ Mn(R) est scindé et donc à nouveau Aest triangularisable avec des 0 sur la
diagonale.
Exercice 3 : [énoncé]
Puisque la matrice Aest nilpotente, on a
An=On
et donc puisque Aet Bcommutent
(AB)n=AnBn=On
On en déduit que la matrice AB est aussi nilpotente. Elle est alors semblable à une matrice
triangulaire supérieure stricte et donc
tr(AB)=0
Exercice 4 : [énoncé]
(a) Si λest valeur propre de Aalors λp=0 d’où λ=0. Par suite χA=Xnpuis par le
théorème de Cayley Hamilton An=0.
(b) det(A+I)=χA(1) =1
(c) Si Mest inversible det(A+M)=det(AM−1+I) det M.
Or Aet M−1commutent donc (AM−1)p=0 puis, par ce qui précède
det(A+M)=det M.
Si Mn’est pas inversible, introduisons les matrices Mp=M+1
pIn. À partir d’un
certain rang les matrices Mpsont assurément inversibles (car Mne possède qu’un
nombre fini de valeurs propres). Les matrices Mpcomment avec Aet on peut donc
écrire
det(A+Mp)=det Mp.
Or det Mp−→
p→+∞det Met det(A+Mp)−→ p→+∞det(A+M) et on peut donc – en passant
à la limite – retrouver l’égalité
det(A+M)=det M.
(d) Non prendre : A= 0 1
0 0!et M= 1 2 3 4!.
Exercice 5 : [énoncé]
On a
det(A+N)=det(A) det(In+A−1N)
Puisque Aet Ncommutent, il en est de même de A−1et N. On en déduit que la matrice
A−1Nest nilpotente car Nl’est.
La matrice A−1Nest alors semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte et la
matrice In+A−1Nest semblable à une matrice triangulaire supérieure avec des 1 sur la
diagonale.
On en déduit
det(In+A−1N)=1
puis
det(A+N)=det A
Exercice 6 : [énoncé]
Si la matrice Aest nilpotente alors elle est annulée par un polynôme Xmet donc
Sp A⊂{0}
Dans Mn(C), la matrice Aest trigonalisable semblable à une matrice triangulaire
supérieure stricte
T=
0∗
...
0 0
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 28 décembre 2016 Corrections 5
De la même façon, les matrices Apsont aussi semblables à des matrices triangulaires
supérieures strictes et donc
∀p∈~1 ; n,tr Ap=0
Inversement, supposons tr Ap=0 pour tout p∈~1 ; n.
Nous allons montrer que seule 0 est valeur propre de A. On pourra alors par
trigonalisation affirmer que la matrice Aest semblable dans Mn(C) à une matrice
triangulaire supérieure stricte Tet puisque Tn=Onon aura aussi An=Once qui conclut.
Par l’absurde supposons donc que la matrice Aait au moins une valeur propre non nulle.
Notons λ1, ..., λmles valeurs propres non nulles de la matrice Aet α1, ..., αmleurs
multiplicités respectives.
En procédant encore à une trigonalisation de la matrice A, on peut affirmer
∀1≤p≤n,tr(Ap)=
m
X
i=1
αiλp
i=0
On ne retient que les mpremières équations pour exprimer le système
λ1α1+λ2α2+··· +λmαm=0
λ2
1α1+λ2 2α2+··· +λ2
mαm=0
. . .
λm
1α1+λm 2α2+··· +λm
mαm=0
Ce système peut se percevoir sous la forme matricielle VX =0 avec X=t(α1. . . αm)et
V=
λ1λ2··· λm
λ2
1λ2 2··· λ2
m
.
.
..
.
..
.
.
λm
1λm 2··· λm
m
Le déterminant de la matrice Vse calcule par déterminant de Vandermonde et est non nul
car λ1, . . . , λm,0. On en déduit
∀1≤i≤m, αi=0
ce qui est absurde car les αiétaient des multiplicités de véritables valeurs propres.
Exercice 7 : [énoncé]
(a) Supposons qu’il existe p∈N∗tel que fp=0.
Xpest annulateur de fdonc Sp( f)⊂{0}. Or Sp( f),∅donc Sp( f)={0}.
Inversement, si Sp(f)={0}alors seule 0 est racine de son polynôme caractéristique.
Or χfest scindé dans C[X] donc χf=(−1)nXnpuis fn=0 en vertu du théorème de
Cayley Hamilton. On en déduit que fest nilpotente.
(b) Supposons fnilpotent.
Par l’étude ci-dessus, fest trigonalisable stricte et donc
∀1≤k≤n,tr( fk)=0
car les puissances de fpourront aussi être représentées par des matrices triangulaires
strictes.
Inversement, supposons
∀1≤k≤n,tr( fk)=0
En notant λ1, . . . , λnles valeurs propres comptées avec multiplicité de A, on obtient
le système
λ1+··· +λn=0
λ2
1+··· +λ2
n=0
···
λn
1+··· +λn
n=0
La résolution de ce système est délicate.
En raisonnant par récurrence, nous allons établir que la seule solution est
λ1=. . . =λn=0 ce qui permettra de conclure que fest nilpotente car χf=Xnest
annulateur de f.
Pour n=1 : la propriété est immédiate.
Supposons la propriété au rang n−1.
Considérons le polynôme
P(X)=(X−λ1). . . (X−λn)
En développant,
P(X)=Xn+an−1Xn−1+··· +a1X+a0
Comme P(λi)=0, on a Pn
i=1P(λi)=0.
Or n
X
i=1
P(λi)=
n
X
i=1
λn
i+an−1
n
X
i=1
λn−1
i+··· +a1
n
X
i=1
λi+na0=na0
On en déduit a0=0 et donc 0 est racine de P.
Il existe alors i∈{1,...,n}tel que λi=0.
Par symétrie du problème, on peut supposer λn=0.
Par application de l’hypothèse de récurrence, on obtient λ1=. . . =λn=0.
La récurrence est établie.
Exercice 8 : [énoncé]
Si upossède une unique valeur propre λalors celle-ci est la seule racine de son polynôme
caractéristique qui est alors (X−λ)dim E. Ce dernier annulant u, on peut affirmer u−λIdE
est nilpotent.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD