Chapitre 2. Introduction aux matrices et au calcul matriciel

Chapitre 2 :
Introduction aux matrices et au calcul matriciel
Dans le premier chapitre, nous avons vu la résolution par la méthode du pivot de systèmes
d’équation du type :
x + 2y − z = −1
(S) x − y + z = 3
x + y − 2z = −3
On peut réécrire cela d’une autre façon :
 1 2 −1   x   −1 
 1 −1 1   y  =  3 

   
 1 1 −2   z   −3 
Ce sont des matrices, et on a deux matrices colonnes.
I – Présentation des matrices à éléments réels
A) Définition
Une matrice est un tableau de réels :


A=


a11 a12
a21 a22
˙.·
˙·.
ai1 ai2
˙.·
˙·.
am1 am2
… a1j
… a2j
˙.·
… aij
˙.·
… amj
… a1n
… a2n
˙.·
… ain
˙.·
… amn




A = (aij) avec aij ∈ IR
i = 1, …, m
j = 1, …, n
B) Format d’une matrice
Le format de la matrice A est (m, n).
 1 0 
Soit B =  −1 2  Le format de B est (3, 2)


 2 −2 
26
Algèbre linéaire
 1 −1 2 

 0 2 −2 
Soit C = 
Le format de C est (2, 3)
II – Les matrices particulières
A) Matrices nulles
Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls.
0
0 0 0
0 0
 ou 
 ou encore 

0
 0 0 0
0 0
Par exemple : 
B) Matrices transposées
On dit que la matrice AT est la transposée de A si les colonnes de AT sont formées par les lignes
de A.
A = (aij)
i = 1, …, m
j = 1, …, n
AT = (tij) avec tij = aji
Si A est au format (m, n), AT est au format (n, m).
C) Matrices carrées
1) Définition
2) Diagonale principale d’une matrice carrée
D) Matrices carrées particulières
1) Matrices triangulaires
2) Matrices diagonales
3) Matrices identité
Chapitre 2. Introduction aux matrices et au calcul matriciel
27
4) Matrices symétriques
III – Opérations sur les matrices
A) Somme de deux matrices
B) Produit d’une matrice par un réel
C) Produit d’une matrice par une matrice (ou un vecteur) colonne à droite
D) Produit de deux matrices
1) Principes
2) Produit d’une matrice quelconque par une matrice identité
3) Produit de deux matrices diagonales de même ordre
4) La transposée du produit de deux matrices
Théorème : Soient deux matrices A = (aij) où aij ∈ IR, i = 1, …, m ; j = 1, …, n et B = (bij) où bij ∈ IR,
i = 1, …, n ; j = 1, …, p.
On a : (AB)’ = B’A’
Démonstration
 n

 n

AB =  ∑aik bkj. On a donc : (AB)’ =  ∑ajk bki
k = 1

k = 1

Par ailleurs, comme A = (aij), on a : A’ = (a’ij) avec a’ij = aji, et comme B = (bij), on a : B’ = (b’ij) avec
b’ij = bji.

On a donc : B’A’ = 
n
∑
 
b’ik a’kj = 
k = 1
n
∑b
 k = 1

.

ki ajk
5) Matrices inverses
IV – Rang d’une matrice
28
Algèbre linéaire
A) Dépendance ou indépendance linéaire des colonnes d’une matrice
Définition de la dépendance linéaire des colonnes d’une matrice
Définition de l’indépendance linéaire des colonnes d’une matrice
Méthode
B) Dépendance ou indépendance linéaire des lignes d’une matrice
Définition de la dépendance linéaire des lignes d’une matrice
Définition de l’indépendance linéaire des lignes d’une matrice (même remarque)
3) Méthode
 L1 
Pour savoir si les lignes  ˙.·  d’une matrice A sont linéairement dépendantes ou indépendantes, on
 
 Lm 
résout le système λ1L1 + … + λmLm = 0.
Si la seule solution de ce système est λ1 = … = λm = 0, on conclut que les lignes de A sont linéairement
indépendantes.
Si λ1 = … = λm = 0 n’est pas la seule solution de ce système, on conclut alors que les lignes de A sont
linéairement dépendantes.
Exemples
 1 2 −1 
• A1 =  2 2 −2 
1 1 1 
 1 
 2 
1 0
λ1L1 + λ2L2 + λ3L3 = 0 ⇒ λ1  2  + λ2  2  + λ3  1  =  0 
 −1 
 −2 
1 0
 λ1   2λ2   λ3   0 
⇒  2λ1  +  2λ2  +  λ3  =  0 
−λ1 −2λ2  λ3   0 
 λ1 + 2λ2 + λ3   0 
⇒  2λ1 + 2λ2 + λ3  =  0 
 −λ1 − 2λ2 + λ3   0 
λ1 + 2λ2 + λ3 = 0
⇒ 2λ1 + 2λ2 + λ3 = 0 puis résolution par la méthode du pivot de Gauss.
−λ1 − 2λ2 + λ3 = 0
⇒ λ1 = λ2 = λ3 = 0
Conclusion : L’unique solution du système étant λ1 = λ2 = λ3 = 0, les lignes de la matrice A1 sont
linéairement indépendantes.
 1 2 −1 
• A2 =  2 2 −2 
 −1 0 1 
Chapitre 2. Introduction aux matrices et au calcul matriciel
29
1
2
−1  0 




2
2
λ1L1 + λ2L2 + λ3L3 = 0 ⇒ λ1   + λ2   + λ3  0  =  0 
−1
−2
 1   0
λ1 + 2λ2 − λ3 = 0
λ1 + 2λ2 − λ3 = 0
λ3 = λ2
⇒ 2λ1 + 2λ2 = 0
⇒ 2λ1 + 2λ2 = 0
⇒ 
λ1 = −λ2
−λ − 2λ + λ = 0
0 = 0
[L’3 = L1 + L3]
1
2
3
Conclusion : Ce système ayant d’autres solutions que λ1 = λ2 = λ3 = 0, les lignes de A2 sont
linéairement dépendantes.
C) Rang d’une matrice
Définition
Théorèmes
1) Le rang des lignes d’une matrice est égal au rang de ses colonnes (une matrice comporte autant de
lignes linéairement indépendantes que de colonnes linéairement indépendantes).
2) Le rang d’une matrice ne change pas si l’on remplace une de ses colonnes (lignes) par une
combinaison linéaire d’elle-même et d’une autre colonne (ligne) de cette matrice.
3) Le rang d’une matrice ne change pas si l’on permute ses lignes ou ses colonnes.
4) Le rang d’une matrice triangulaire est égal à l’ordre de cette matrice si les termes situés sur sa
diagonale principale sont tous différents de 0.
5) Le rang d’une matrice A est supérieur ou égal au rang de n’importe laquelle de ses sous-matrices.
On appelle sous-matrice de la matrice A, la matrice A à laquelle on a retiré certaine(s) de ses
ligne(s) et ou colonne(s).
Une matrice de plein rang ou matrice régulière est une matrice carrée dont toutes les colonnes
et les lignes sont linéairement indépendantes.
Une matrice régulière est donc une matrice carrée dont le rang est égal à l’ordre.
D) Rang de matrices et existence de solutions des systèmes d’équations
linéaires
Nous avons vu qu’un système d’équations linéaire peut s’écrire sous la forme AX = B, où X est une
matrice colonne inconnue, et A et B deux matrices données.
Exemples
x + 2y − z = −1
S2 :  x − y + z = 3
x + y − 2z = −3
⇒
 11

1
2 −1

−1 1 
1 −2 
A

 xy  −1
 =3
 z  −3
X
B
1
2
−1 −1




⇒ x  1  + y −1 + z  1  =  3 
1
1
−2 −3
30
Algèbre linéaire
Ça dit que la quatrième colonne est une combinaison linéaire des trois autres, ce qui veut dire que
le rang de la matrice formée par les quatre colonnes ne change pas si on enlève la quatrième
colonne.
 1 2 −1 −1 
 1 2 −1 


rang  1 −1 1 3  = rang  1 −1 1 
 1 1 −2 −3 
 1 1 −2 
a au moins une solution si et seulement si on a : rang(A | B) = rang(A)
Ce système 
n’a pas de solution si et seulement si on a : rang(A | B) = 1 + rang(A)
S2 a-t-il (au moins) une solution ?
 1 2 −1 −1 
 1 2 −1 −1 


rang  1 −1 1 3  = rang  0 3 −2 4 
 1 1 −2 −3 
 0 1 1 2 
 1 2 −1 −1 
= rang  0 3 −2 −4 
 0 5 0 0 
 L1

L1 − L2


L1 − L3
 L1

L′2



L′2 + 2L′3
 1 −1 2 −1 
= rang  0 −2 3 −4 
 0 0 5 0 
 1 −1 2 
≥ rang  0 −2 3  = 3
0 0 5
≤ 3 car la matrice comporte trois lignes
Donc : rang{A | B} = 3
 1 2 −1 
 1 2 −1 


rang{A} = rang  1 −1 1  = rang  0 3 −2  = 3
 1 1 −2 
 0 5 0 
Conclusion : Le système S2 a au moins une solution car rang{A | B} = rang{A}.
S3
 11
:
2
1 1
1 −2
2 −1
A
2
  xy  −1

 = 
z  0 
X
B
Ce système a au moins une solution si et seulement si on a : rang{A | B} = rang{A}.
Chapitre 2. Introduction aux matrices et au calcul matriciel
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 1 1 1 2 
rang{A | B} = rang  1 1 −2 −1 
 2 2 −1 0 
 1 1 1 2 
= rang  0 0 3 3 
 0 0 3 4 
 L1

 L1 − L2 


2L1 − L3
 1 1 1 2 
= rang  0 0 3 3 
 0 0 0 1 
 L1

L’2



L’3 − L’2
rang{A | B} = 3
 1 1 1 
rang{A} = rang  1 1 −2  < 3 car C1 = C2
 2 2 −1 
Conclusion : rang{A} ≠ rang{A | B}, donc S3 n’a pas de solution.
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Algèbre linéaire