Chapitre 2. Introduction aux matrices et au calcul matriciel

26 Algèbre linéaire
Chapitre 2 :
Introduction aux matrices et au calcul matriciel
Dans le premier chapitre, nous avons vu la résolution par la méthode du pivot de systèmes
d’équation du type :
(S)
x + 2y − z = −1
x − y + z = 3
x + y − 2z = −3
On peut réécrire cela d’une autre façon :
1 2 −1
1 −1 1
1 1 −2
x
y
z =
−1
3
−3
Ce sont des matrices, et on a deux matrices colonnes.
I – Présentation des matrices à éléments réels
A) Définition
Une matrice est un tableau de réels :
A =
a
11
a
12
…a
1j
…a
1n
a
21
a
22
…a
2j
…a
2n
.·˙ .·˙ .·˙ .·˙
a
i1
a
i2
…a
ij
…a
in
.·˙ .·˙ .·˙ .·˙
a
m1
a
m2
…a
mj
…a
mn
A = ( ) a
ij
avec a
ij
∈ RI
i = 1, …, m
j = 1, …, n
B) Format d’une matrice
Le format de la matrice A est (m, n).
Soit B =
1 0
−1 2
2 −2 Le format de B est (3, 2)

Chapitre 2. Introduction aux matrices et au calcul matriciel 27
Soit C =
1 −1 2
0 2 −2 Le format de C est (2, 3)
II – Les matrices particulières
A) Matrices nulles
Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls.
Par exemple :
0
0 ou
0 0 0
000 ou encore
0 0
0 0
B) Matrices transposées
On dit que la matrice A
T
est la transposée de A si les colonnes de A
T
sont formées par les lignes
de A.
A = ( ) a
ij
i = 1, …, m
j = 1, …, n
A
T
= ( ) t
ij
avec t
ij
= a
ji
Si A est au format (m, n), A
T
est au format (n, m).
C) Matrices carrées
1) Définition
2) Diagonale principale d’une matrice carrée
D) Matrices carrées particulières
1) Matrices triangulaires
2) Matrices diagonales
3) Matrices identité

28 Algèbre linéaire
4) Matrices symétriques
III – Opérations sur les matrices
A) Somme de deux matrices
B) Produit d’une matrice par un réel
C) Produit d’une matrice par une matrice (ou un vecteur) colonne à droite
D) Produit de deux matrices
1) Principes
2) Produit d’une matrice quelconque par une matrice identité
3) Produit de deux matrices diagonales de même ordre
4) La transposée du produit de deux matrices
Théorème : Soient deux matrices A = (a
ij
) où a
ij
∈ IR, i = 1, …, m ; j = 1, …, n et B = (b
ij
) où b
ij
∈ IR,
i = 1, …, n ; j = 1, …, p.
On a : (AB)’ = B’A’
Démonstration
AB =
∑
k = 1
n
a
ik
b
kj
. On a donc : (AB)’ = ∑
k = 1
n
a
jk
b
ki
Par ailleurs, comme A = (a
ij
), on a : A’ = ( ) a’
ij
avec a’
ij
= a
ji
, et comme B = (b
ij
), on a : B’ = ( ) b’
ij
avec
b’
ij
= b
ji
.
On a donc : B’A’ =
∑
k = 1
n
b’
ik
a’
kj
= ∑
k = 1
n
b
ki
a
jk
.
5) Matrices inverses
IV – Rang d’une matrice

Chapitre 2. Introduction aux matrices et au calcul matriciel 29
A) Dépendance ou indépendance linéaire des colonnes d’une matrice
Définition de la dépendance linéaire des colonnes d’une matrice
Définition de l’indépendance linéaire des colonnes d’une matrice
Méthode
B) Dépendance ou indépendance linéaire des lignes d’une matrice
Définition de la dépendance linéaire des lignes d’une matrice
Définition de l’indépendance linéaire des lignes d’une matrice (même remarque)
3) Méthode
Pour savoir si les lignes
L
1
.·˙
L
m
d’une matrice A sont linéairement dépendantes ou indépendantes, on
résout le système λ
1
L
1
+ … + λ
m
L
m
= 0.
Si la seule solution de ce système est λ
1
= … = λ
m
= 0, on conclut que les lignes de A sont linéairement
indépendantes.
Si λ
1
= … = λ
m
= 0 n’est pas la seule solution de ce système, on conclut alors que les lignes de A sont
linéairement dépendantes.
Exemples
• A
1
=
1 2 −1
2 2 −2
1 1 1
λ
1
L
1
+ λ
2
L
2
+ λ
3
L
3
= 0 ⇒ λ
1
1
2
−1
+ λ
2
2
2
−2
+ λ
3
1
1
1
= 
0
0
0
⇒
λ
1
2λ
1
−λ
1
+ 
2λ
2
2λ
2
−2λ
2
+ 
λ
3
λ
3
λ
3
= 
0
0
0
⇒ 
λ
1
+ 2λ
2
+ λ
3
2λ
1
+ 2λ
2
+ λ
3
−λ
1
− 2λ
2
+ λ
3
= 
0
0
0
⇒
λ 1
+ 2λ
2
+ λ
3
= 0
2λ
1
+ 2λ
2
+ λ
3
= 0
−λ
1
− 2λ
2
+ λ
3
= 0
puis résolution par la méthode du pivot de Gauss.
⇒ λ
1
= λ
2
= λ
3
= 0
Conclusion : L’unique solution du système étant λ
1
= λ
2
= λ
3
= 0, les lignes de la matrice A
1
sont
linéairement indépendantes.
• A
2
=
1 2 −1
2 2 −2
−1 0 1

30 Algèbre linéaire
λ
1
L
1
+ λ
2
L
2
+ λ
3
L
3
= 0 ⇒ λ
1
1
2
−1
+ λ
2
2
2
−2
+ λ
3
−1
0
1
= 
0
0
0
⇒
λ 1
+ 2λ
2
− λ
3
= 0
2λ
1
+ 2λ
2
= 0
−λ
1
− 2λ
2
+ λ
3
= 0
⇒
λ 1
+ 2λ
2
− λ
3
= 0
2λ
1
+ 2λ
2
= 0
0 = 0 [L’
3
= L
1
+ L
3
]
⇒
λ
3
= λ
2
λ
1
= −λ
2
Conclusion : Ce système ayant d’autres solutions que λ
1
= λ
2
= λ
3
= 0, les lignes de A
2
sont
linéairement dépendantes.
C) Rang d’une matrice
Définition
Théorèmes
1) Le rang des lignes d’une matrice est égal au rang de ses colonnes (une matrice comporte autant de
lignes linéairement indépendantes que de colonnes linéairement indépendantes).
2) Le rang d’une matrice ne change pas si l’on remplace une de ses colonnes (lignes) par une
combinaison linéaire d’elle-même et d’une autre colonne (ligne) de cette matrice.
3) Le rang d’une matrice ne change pas si l’on permute ses lignes ou ses colonnes.
4) Le rang d’une matrice triangulaire est égal à l’ordre de cette matrice si les termes situés sur sa
diagonale principale sont tous différents de 0.
5) Le rang d’une matrice A est supérieur ou égal au rang de n’importe laquelle de ses sous-matrices.
On appelle sous-matrice de la matrice A, la matrice A à laquelle on a retiré certaine(s) de ses
ligne(s) et ou colonne(s).
Une matrice de plein rang ou matrice régulière est une matrice carrée dont toutes les colonnes
et les lignes sont linéairement indépendantes.
Une matrice régulière est donc une matrice carrée dont le rang est égal à l’ordre.
D) Rang de matrices et existence de solutions des systèmes d’équations
linéaires
Nous avons vu qu’un système d’équations linéaire peut s’écrire sous la forme AX = B, où X est une
matrice colonne inconnue, et A et B deux matrices données.
Exemples
 S
2
:
x + 2y − z = −1
x − y + z = 3
x + y − 2z = −3
⇒
1
2 −1
1 −1 1
1 1 −2
x
y
z
=
−1
3
−3
A X B
⇒ x
1
1
1
+ y
2
−1
1
+ z
−1
1
−2
=
−1
3
−3