Exercice B9 2 10 12 5 3 8 3 2 5 10 15 25 - XMaths

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Probabilités
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Exercices page 1 / 2
Exercice B9
Partie A :
1°) À l’aide des données de l’énoncé on obtient le tableau :
Sac à dos
Cartable
Total
11 ans
12
-
10
=
2
2
3
x 15 =
10
25 x 48%
=
12
12 ans
10
2 =
5
8
-
5
=
3
25
-
12
-
5
=
8
13 ans
5
-
2 =
3
15
-
10
-
3 =
2
25 x
1
5 =
5
Total
25
-
15
=
10
(d'après le texte)
15
25
2°) a) 10 élèves sur 25 ont un sac à dos ; l'interrogation se faisant au hasard, on a :
p(S) = 10
25 = 40 100 donc p(S) = 0,4 .
b) 2 élèves sur 25 ont un un cartable et ont treize ans ; l'interrogation se faisant au hasard, on a :
P(C∩T) = 2
25 = 8 100 donc P(C∩T) = 0,08 .
3°) On interroge successivement et de manière indépendante trois élèves de cette classe, il s'agit d'un
schéma de Bernoulli.
On a p(S) = 0,4 et p( S ) = p(C) = 1 - 0,4 = 0,6
On s'intéresse au nombre d'élèves interrogés ayant un sac à dos.
On peut donc utiliser la loi binomiale de paramètres 3 et 0,4 .
La probabilité de l'événement « exactement deux des élèves interrogés ont un sac à dos » est :
2
3
x p(S)
2
x (1 - p(S))
3-2
= 3 x 0,4
2
x 0,6
1
= 3 x 0,4
2
x 0,6 = 0,288
La probabilité qu’exactement deux des élèves interrogés aient un sac à dos est 0,288 .
Partie B :
1°) On a d'après le texte p(A) = 0,7 et p(B) = 0,3
On sait que 40 % des élèves prennent une carte d’adhérent du foyer et ceci indépendamment du contrat
d’assurance choisi. On a donc p
A
(F) = 0,4 et p
B
(F) = 0,4
On en déduit que p
A
( F ) = 1 - p
A
(F) = 1 - 0,4 = 0,6 et p
B
( F ) = 1 - p
B
(F) = 1 - 0,4 = 0,6
On obtient l'arbre de probabilités ci-contre :
A
0,7
B
F
F
F
F
0,3
0,4
0,6
0,4
0,6

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2°) La probabilité qu’un élève ait pris le contrat B et soit adhérent du foyer est
p(B∩F) = p
B
(F) x p(B) = 0,4 x 0,3 donc p(B∩F) = 0,12 .
3°) a) Lorsque l'élève choisi le contrat A, il paie 20 € s'il n'adhère pas au foyer et 35 € s'il adhère au foyer.
Lorsque l'élève choisi le contrat B, il paie 30 € s'il n'adhère pas au foyer et 45 € s'il adhère au foyer.
Le coût peut donc prendre les valeurs dans { 20 ; 30 ; 35 ; 45 } .
b) La probabilité que le coût soit 20 € est p(A∩ F ) = 0,6 x 0,7 = 0,42
La probabilité que le coût soit 30 € est p(B∩ F ) = 0,6 x 0,3 = 0,18
La probabilité que le coût soit 35 € est p(A∩F) = 0,4 x 0,7 = 0,28
La probabilité que le coût soit 45 € est p(B∩F) = 0,4 x 0,3 = 0,12
La loi de probabilité du coût peut donc être donnée dans le tableau ci-dessous :
Coût
20
30
35
45
Probabilité
0,42
0,18
0,28
0,12
c) L'espérance mathématique de cette loi est donnée par :
E = 20 x 0,42 + 30 x 0,18 + 35 x 0,28 + 45 x 0,12 donc E = 29 .
Le coût moyen de l'inscription d'un élève est de 29 € .