Milieux diélectriques - Les Pages Personnelles au LAL

Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
Susceptibilité diélectrique
Polarisation en régime variable
Aspects énergétiques des milieux diélectriques
Licence 3 et Magistère de Physique
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Milieux diélectriques
1
Milieux diélectriques
 
 
 
On considère pour l’instant des isolants, au sein desquels on ne peut
trouver de courant (macroscopique) de charges libres
  Le champ E peut y être non nul !
Expérience de Faraday :
  L’introduction d’un isolant entre les armatures d’un
condensateur en modifie la capacité
Dans ce chapitre, on considèrera des champs éventuellement
variables dans le temps
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Milieux diélectriques
2
 
 
Une molécule peut être assimilée à grande distance à un dipôle
Un milieu à structure moléculaire sera caractérisé, à grande
distance, par sa densité volumique de moments dipolaires
(électriques)
  On pose :
 dp
P=
dV
Densité volumique de moment dipolaire
ou polarisation
C/m2
 
Cm
m-3
€
Un milieu diélectrique est une substance qui peut acquérir un
moment dipolaire électrique sous l’action d’un champ électrique
extérieur
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 
 
 
La polarisation peut être spontanée ou induite
La polarisation spontanée (très rare) concerne les milieux :
  Pyro-électriques (spontanément polarisés lorsqu’ils sont
chauffés)
  Exemple : la tourmaline
  Ferro-électriques (une polarisation persiste après qu’ils aient
été soumis pendant un temps à un champ électrique extérieur)
  Exemple : le titanate de baryum (BaTiO3)
La polarisation induite concerne a priori tous les matériaux
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4
Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
1.  Moments dipolaires des atomes et des molécules
2.  Polarisation électronique
3.  Polarisation ionique
4.  Polarisation dipolaire
2. 
3. 
4. 
5. 
Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
Susceptibilité diélectrique
Polarisation en régime variable
Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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Milieux diélectriques
5
Cas d’un atome
 
 
 
 
Un atome isolé dans son état fondamental aura
un moment dipolaire nul puisque les
barycentres moyens G+ et G- seront
superposés (principe de Curie)
Un champ E appliqué va décaler G+ et induire
un moment dipolaire (électrique)
Ceci reste valable tant que E < seuil d’ionisation
Concerne par exemple He, Ne, Ar, Kr (gaz
nobles)
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Cas d’une molécule
 
Il existe deux types de molécules, en fonction des positions
relatives des barycentres G+ et G- :
  Les molécules apolaires possèdent un centre de symétrie
  Mol. diatomiques constituées du même atome (H2, N2, O2)
  Mol. linéaires (CO2)
  Mol. à symétrie tétragonale ou benzémique (CH4, C6H6)
 
Les molécules polaires ne possèdent
pas de centre de symétrie
  Molécules diatomiques constituées
de 2 atomes différents (HCl) ou
molécules non linéaires (H2O)
  Molécules plus complexes
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Dipôles permanent et induits
 
 
 
Les molécules polaires possèdent un moment permanent
Les molécules apolaires sont polarisables par un champ E externe :
elles se polarisent mutuellement sous l’action du moment dipolaire
électrique instantané de l’autre molécule
Pour une molécule apolaire, il peut exister les 2 types de moments
  Entre dipôles permanents : force de Keesom
  Entre dipôles permanents et induits : force de Debye
  Entre dipôles induits : force de London
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Ordre de grandeur
 
Les distances inter-moléculaires sont ≈ 0,1 nm, les moments
dipolaires sont en ordre de grandeur :
p ≈ e d ≈ 1,6 ×10 −19 ×10 −10 ≈ 1,6 10− 29
 
Cm
On exprime souvent les moments dipolaires en Debye
€
  1D = 10-18 unité CGS de moment dipolaire (10-3/c)
1
1 D ≈ 0,3336 ×10 − 29 Cm ≈ 10− 29 Cm
3
 
Les moments dipolaires sont alors voisins de l’unité :
€
  1,08 pour HCl ; 1,85 pour H2O et 1,5 pour NH3
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
1.  Moments dipolaires des atomes et des molécules
2.  Polarisation électronique
3.  Polarisation ionique
4.  Polarisation dipolaire
2. 
3. 
4. 
5. 
Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
Susceptibilité diélectrique
Polarisation en régime variable
Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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 
Elle concerne tous les milieux et résulte du déplacement des nuages
électroniques autour des atomes sous l’action d’un champ El. On
observe expérimentalement que :
  Pour une molécule apolaire


p = α ε 0 E
€
 
α : polarisabilité de la
molécule
G+- : barycentre des charges + et -
Pour une molécule polaire
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

δp = α ε0 E
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€
11
 
Sous l’action d’un champ El, un milieu va acquérir une polarisation
supplémentaire P donnée par :



P = n p = n α ε 0 E
 
En chimie, on utilise souvent les unités CGS. On a alors :
€
α Physique = 4 π αchimie
€
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Modèle de Mossotti (1/2)
 
 
 
 
On assimile un atome à un noyau (charge Ze) et à une distribution
de charge électronique uniforme ρ de rayon a. L’application d’un
champ Ea extérieur déplace le nuage électronique wrt au noyau
Neutralité électronique :
Z e+
4
π a3 ρ = 0
3
On note r le déplacement du noyau
wrt au centre du nuage
€
Forces s’exerçant sur le noyau :

  Force électrique : Z e E a

  Force exercée par le nuage : Z e E
Gauss : ⇒ le champ E créé
par ρLicence
à la 3distance
r€
s’écrit
et Magistère
de
Physique:
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
r
Nuage
Noyau
€


1 4
ρ  −Ze r
3
4 π r E = × π r ×ρ ⇒ E =
r=
ε0Milieux
3 diélectriques
3 ε0
4 π ε130 a 3
€
2
Modèle de Mossotti (2/2)
 
 ( Z e)2 r 
 4 π ε0 a 3 
=0 ⇒ r =
Ea
L’équilibre du noyau s’écrit : Z e Ea −
4 π ε0 a 3
Ze
 


p
=
Z
e
r
Il apparaît un moment€ dipolaire induit :
 


p
=
α
ε
E
La polarisabilité devient :
0 a
€
 
€
En mécanique quantique,
on obtient : α MQ = 18 π a 3
 
Pour H2 dans son état fondamental, a = 52.9 pm
α Exp = 8.42 ×10 − 30 m3
€
α Mossotti = 1.86 ×10 − 30 m3
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€
⇒ α=4π a
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La polarisabilité
a la dimension
d’un volume !
α MQ = 8.37 ×10 − 30 m3
14
Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
1.  Moments dipolaires des atomes et des molécules
2.  Polarisation électronique
3.  Polarisation ionique
4.  Polarisation dipolaire
2. 
3. 
4. 
5. 
Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
Susceptibilité diélectrique
Polarisation en régime variable
Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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 
Si une distribution de charges (globalement neutre) est soumise à
un champ E, les charges + et – se séparent légèrement d’où
apparition d’un moment dipolaire :
  Au niveau moléculaire (déformation du nuage électronique)
  Polarisation électronique
  Au niveau du réseau cristallin (déformation des mailles)
  Polarisation ionique
  Pour un cristal cubique tel que NaCl, on observe :



P = n p = n α ε 0 E
 
 
S’ajoute à la polarisation électronique qui apparaît pour un champ
plus faible
€
On appelle parfois polarisation par déformation les polarisations
électronique et ionique
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
1.  Moments dipolaires des atomes et des molécules
2.  Polarisation électronique
3.  Polarisation ionique
4.  Polarisation dipolaire
2. 
3. 
4. 
5. 
Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
Susceptibilité diélectrique
Polarisation en régime variable
Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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 
Concerne les molécules qui possèdent un moment dipolaire
électrique permanent (H2O, HCl).
Les dipôles tendent
à minimiser leur
énergie potentielle
 
Ep = − p . E
Les dipôles se
répartissent avec
une orientation
aléatoire
⇒ moyenne nulle car
n très élevé
 1  
P= ∑p=0
V
⇒ orientation
€préférentielle dans
le sens du champ
 

0≤ P≤np
n : densité moléculaire
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volumique
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€
€
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Lien avec la Physique Statistique
 
Langevin a montré par la physique statistique que
P(x) = n p L(x) avec L(x) = coth(x) −
 
€


P = n α ε0 E
 
et
x=
pE
kB T
L(x) : fonction de
Langevin
Si x << 1 (T ≈ 300 K) : P // E
  Forte
€
1
x
p2
⇒ α=
3 ε0 kB T
variation avec T
Si x >> 1 : P ≈ n p
  Les dipôles sont tous alignés
sur le champ : saturation de la polarisation
€
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 
 
Egalement appelée polarisation par orientation
On retiendra que la polarisation dipolaire varie fortement avec la
température :
2
αor =
 
p
3 ε0 kB T
Ce n’est pas le cas €de la polarisation par déformation :
  La polarisation électronique ne dépend que de la nature de la
molécule
  La polarisation ionique ne dépend que de la structure du cristal
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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 
 
Dans l’expérience de Faraday, la capacité C = Q/Φ augmente à
charge constante :
Le champ E doit donc diminuer : des charges opposées aux charges
des armatures doivent apparaître. D’où viennent-elles ?
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Plaque uniformément
polarisée
 
 
On remplace (par la pensée) la plaque par un empilement de dipôles:
  La charge volumique sera nulle
  La charge surfacique sera non nulle
On appelle charges de polarisation les excédents locaux de charges
engendrés par la polarisation
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z
Exemple d’une polarisation
dépendant de la position
 
 
En remplaçant la polarisation par un empilement de dipôles, on
observe cette fois que les densités volumiques et surfaciques sont
non nulles
Il apparaît un excédent de charges de polarisation dans le volume,
lié à ∂P/∂z
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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 
On appelle (V) le volume du diélectrique
(initialement neutre) et (S) la surface qui
l’entoure. Le potentiel scalaire correspondant au
diélectrique s’écrit :

1
P . QM 3
Φ(M ) =
d Q
∫∫∫ Diélectrique
3
4 π ε0
QM
 
On a :
 
 

 ⎛ P ⎞ ∇Q P   ⎛ 1 ⎞ ∇Q P  QM
∇Q . ⎜
+ P . ∇Q ⎜
+P.
⎟ =
⎟ =
€
QM
QM
QM
QM
⎝
⎠
⎝
⎠
QM 3
( )
 
D’où :
€


⎡  ⎛  ⎞ ∇ . P
1
P
Q
Φ(M ) =
∫∫∫ Diélectrique ⎢∇Q . ⎜
⎟ −
4 π ε0
QM
⎝ QM ⎠
⎢⎣
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€
( )
( ) ⎤⎥d 3Q
Milieux diélectriques
⎥⎦
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

⎡  ⎛  ⎞ ∇ . P
1
P
Q
Φ(M ) =
−
∫∫∫ Diélectrique ⎢∇Q . ⎜
⎟
4 π ε0
QM
⎝ QM ⎠
⎢⎣
( ) ⎤⎥d 3Q
€ de la
Théorème
divergence
 
⎥⎦



⎡
∇Q . P
⎛ P ⎞ 
1
1
⎢
Φ(M ) =
∫∫ ⎜
∫∫∫
⎟ . n dS −
4 π ε0 (S) ⎝ QM ⎠
4 π ε0 Diélectrique ⎢⎣ QM
( )⎤⎥d 3Q
⎥⎦
Le potentiel
Φ créé par la distribution de dipôles qui constitue le
€
diélectrique est donc égal au potentiel créé par une distribution
surfacique σP et une distribution volumique ρP telles que :
 
 
σ P = P . n et ρ P = − ∇ . P
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€
Milieux diélectriques
Savoir
refaire ce
calcul
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


⎡
∇
.
P
⎛
⎞

1
P
1
Q
⎢
Φ(M ) =
.
n
dS
−
∫∫ (S) ⎜
∫∫∫
⎟
4 π ε0
4 π ε0 Diélectrique ⎢⎣ QM
⎝ QM ⎠
( )⎤⎥d 3Q
⎥⎦
 
 
σ P = P . n et ρ P = − ∇ . P
€
 €
 
Tout se passe comme si on pouvait remplacer le diélectrique et sa
polarisation par les distributions de charges σP et ρP appelées
charges de polarisation
D’un point de vue macroscopique, la polarisation P du diélectrique
est équivalente pour Φ (ou E) à une distribution macroscopique de
charges de polarisation
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 
 
 
 
Ces charges ne sont pas des charges « comme les autres ». Ce ne
sont pas des charges libres. On les appelle charges liées
La signification physique du terme charge liée apparaîtra dans
l’étude des régimes variables
Attention à bien distinguer σP et ρP des densités de charges libres
σ et ρ si le milieu contient les deux types de charge
Pour un régime statique, les charges de polarisation sont fictives du
point de vue macroscopique. Les deux descriptions (en polarisation
ou en charges) sont équivalentes
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 
La charge totale portée par le diélectrique est :
 
 
Q = ∫∫∫ (V ) ρ P dV + ∫∫ (S) σ P dS = − ∫∫∫ (V ) ∇ . P dV + ∫∫ (S) P . n dS
 
 
Q = − ∫∫ (S) P . n dS + ∫∫ (S) P . n dS dʹ′après le théorème de la divergence
€
 
Q=0
€
On retrouve que le diélectrique est globalement neutre (car
€constitués de dipôles)
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1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
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 
  ρlibre + ρ P
∇
Dans un diélectrique de polarisation P, (MG) s’écrit : . E =
ε0


 

 
⇒ ∇ . ε0 E = ρlibre − ∇ . P ⇔ ∇ . ε0 E + P = ρlibre
C/m2
(
)
( )
(
)
€
 
€

 
D
=
ε
E
On introduit donc naturellement le vecteur D tel que :
0 +P
 
 
 
D est un vecteur axial
La définition de D est


D
=
ε
E
étendue au vide pour lequel
0
Déplacement électrique €
Induction
électrique Excitation électrique Densité de flux électrique Vecteur D
Le théorème de Gauss s’écrit
 
€
  Sous sa forme locale :
∇ . D = ρlibre
 
D
∫∫ (S) . dS = Qlibre
  Sous sa forme intégrale :
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€
€
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Quand utilise-t-on D ou E ?
 
Dans le cas général :
€
 
 
  ρlibre + ρ P ρtot
∇ . D = ρlibre ⇔ ∇ . E =
=
ε0
ε0
 
  Qtot
∫∫ (S) D . dS = Qlibre ⇔ ∫∫ (S) E . dS =
ε0
Les calculs avec E (et donc Φ) utilisent les densités totales. Les
calculs €
avec D utilisent uniquement les densités de charges libres
 
Il est possible d’utiliser E ou D indifféremment
 
 
ρ
=
−
∇
.P ≡ 0
En particulier, si « P est uniforme », alors P
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€
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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 
Milieu linéaire si les composantes de sa polarisation sont des
fonctions linéaires des composantes du champ électrique :


P = ε0 [ χ e ] E
 
 
Valable pour E « pas trop fort ». La limite dépend de chaque
corps
€ de susceptibilité diélectrique (matrice 3x3
[χe] est le tenseur
sur une base orthonormée). Il existe une base principale sur
laquelle :
⎡ χ1
⎢
[ χ e ] = ⎢ 0
⎢⎣ 0
 
0
χ2
0
0 ⎤
⎥
0 ⎥
χ 3 ⎥⎦
Les éléments diagonaux χi sont les susceptibilités diélectriques
principales
€
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 
 
Milieu homogène si [χe] est indépendante du point de l’espace
considéré
Milieu isotrope si aucune direction n’est privilégiée. Cela signifie en
particulier que P n’a aucune raison d’être dans une autre direction
que E :

 
P = ε0 χ e (M , E ) E
 
 
χe : susceptibilité
électrique
χe est un nombre réel positif sans dimension
€
La susceptibilité
électrique χe est parfois appelée simplement
susceptibilité (et notée χ) lorsqu’il n’existe pas de risque de
confusion
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 
Milieu linéaire, homogène et isotrope (ou lhi) si les valeurs propres
de [χe] sont égales (isotropie) et indépendantes de l’espace
(homogénéité) et du champ (linéarité) :


P = ε0 χ E
 
Quelques valeurs :
€
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Matériau
Phase
χe
Air
Gaz
0.0057
H2
Gaz
0.228
O2
Gaz
0.507
H2 O
Liquide polaire
80
Benzène
Liquide non polaire
2.8
NaCl
Solide cristallin
5.8
BaTiO3
Solide cristallin
1760 à 120°C
Milieux diélectriques
37
Déplacement électrique pour un lhi
 
Dans un lhi :


P = ε0 χ E

 



⇒ D = ε0 E + P= ε0 (1+ χ ) E = ε0 εr E = ε E
€
€
 
Permittivité relative Permittivité absolue
Le théorème de Gauss s’écrit alors :
 
  ρlibre ρlibre
∇ . D = ρlibre ⇔ ∇ . E =
=
ε 0 εr
ε
 
∫∫ (S) D . dS = Qlibre ⇔
€
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€
  Qlibre Qlibre
=
∫∫ (S) E . dS =
ε 0 εr
ε
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38
Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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39
 
Le champ E0 d’un système de conducteurs dans le vide vérifie :
(MF)
 
 

∇ × E0 = 0
Par la pensée, on peut remplacer le vide par un lhi. Le champ E
vérifie alors :
€
(MF)
 


€(MG) ∇ . ε0 εr E = ρlibre
  
∇×E = 0
(
Soit encore :

 
€
(MF) ∇ × εr E = 0
(
 
(MG)
 
ρ
∇ . E0 = libre
ε0
€ (MG)
)
On en déduit que E vérifie :

 E0

€< E0
E=
εr
€
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€
)

 ρlibre
∇ . εr E =
ε0
(
)
Le champ dans le diélectrique
lhi est toujours plus faible
que dans le vide !!
Milieux diélectriques
40
Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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 
Plaque lhi plongée dans un
condensateur


σ
E0 = libre uz
ε0
 
Les charges libres des armatures créent le champ
 
E0 induit dans le diélectrique une polarisation P de même sens
€
 
Il apparaît sur les faces du diélectrique des densités de charges de
 
polarisation
σ = P .n = ± P
 
Ces charges créent un autre champ dans le diélectrique
€
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€


− σP 
P
EP =
uz = −
ε0
ε0
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42


P
EP = −
ε0
 
EP est de sens opposé à E0
€
 
Le champ total dans la plaque vaut :

 


P
E = E0 + E P = E0 −
ε0
 
Généralisation : le champ EP créé par la polarisation est toujours de
sens opposé à E0€(loi de modération). On l’appelle champ
dépolarisant (même s’il n’est associé à aucun mécanisme de
dépolarisation)
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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44
Equations de Maxwell
 
Pour une polarisation statique :
 
∇ . D = ρlibre
 

∇ × B = µ0 J
  
∇×E = 0
 
∇.B= 0
(MG)
(MA)
(MF)
(MΦ)
€
€
 
On en déduit :
  (MF) : continuité de ET
  (MΦ) : continuité de BN
  (MA) : discontinuité de BT
 
€


ET2 = ET1
€
(MG) : discontinuité de DN
€
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€


BN 2 = BN 1


 
BT2 − BT1 = µ 0 K × n1→2
€ Seule modification par
rapport au vide
Milieux diélectriques
45
Discontinuité de DN
 
σlibre : densité de charge libres sur la surface de
séparation dans un modèle surfacique. On a :
 
σ P1 = P1 . n1→2
 
La condition de passage pour la composante normale de E s’écrit :
€
 
 
et σ P2 = − P2 . n1→2
(

 
σ
σ
+ σ P1 + σ P2
E2 − E1 . n1→2 = tot = libre
ε0
ε0
)
Ou encore pour DN :
 € 
  
ε0 E2 + P2 . n1→2 − ε0 E1 + P1 . n1→2 = σ libre ⇔
(
)
(
)
(

 
D2 − D1 . n1→2 = σ libre
)



DN 2 − DN1 = σ libre n1→2
€
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€
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46
Réfraction des lignes de champ pour 2 lhi


ET2 = ET1
€
 



DN 2 − DN1 = σ libre n1→2
Si σlibre =€0, on en déduit :
E1 sin(α1 ) = E2 sin(α2 )
 
€
 
D’où :
ε1 E1 cos(α1 ) = ε2 E2 cos(α2 )
tan(α1 ) tan(α2 )
tan(α1 ) tan(α2 )
=
⇒
=
€
ε1
ε2
εr1
εr2
Cette relation caractérise la réfraction des lignes de champ à la
traversée
€ de la surface (S)
  En passant dans un milieu de ε plus élevé, le champ E s’écarte de
la normale
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47
Exemple de la sphère uniformément polarisée
 
Les champs internes Ei et externe Ee créés par une polarisation P
selon uz sont (cf TD) :

 −P
Ei =
3 ε0
 
€
et

Le signe « - » est très général et


P R3
Ee =
2 cos(θ ) ur + sin(θ ) uθ ]
[
caractérise le champ dépolarisant
3 ε0 r 3

A l’extérieur, on retrouve le champ d’un dipôle de moment p = 4 π R 3 P
3
placé au centre de la sphère
P, E et D créés par
la sphère
(différents des
champs totaux)
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€
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
1.  Approche intuitive des charges de polarisation
2.  Densités de charges équivalentes
3.  Vecteur D
4.  Relations constitutives
5.  Milieu lhi plongé dans un champ constant
6.  Exemple du condensateur à lame diélectrique : champ dépolarisant
7.  Séparation de deux milieux lhi
8.  Force électromagnétique s’exerçant sur un milieu diélectrique
9.  Complément sur les densités de charges équivalentes
3.  Susceptibilité diélectrique
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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 
Pour passer des densités vraies aux densités nivelées, on utilise une
fonction de nivellement continue, centrée sur la charge en ri et à
symétrie sphérique, vérifiant :

∫∫∫ Espace f (r ) dV = 1
 
Une charge ponctuelle qi en ri est remplacée par la fonction
continue ρi :
€
 
ρi = qi f (r − ri )
 
La densité nivelée s’écrit :
€
 
ρ = ∑ qi f (r − ri )
i
 
La forme de la fonction f fait que dans la pratique, seules les
charges proches de r sont prises en compte
€
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 
On extrapole ceci aux charges liées :
  On coupe le diél. en groupe de particules de charge totale nulle
  On note rN la position du centre de masse du groupe N et rNk les
positions relatives par rapport au centre de masse des k
charges qui composent le groupe N
 
  Comme la charge qk est située en rN + rNk , la densité nivelée
devient :

 

ρ(r ) = ∑ ∑ qNk f (r − rN − rNk )
Nk
€
 
De la même manière, on peut écrire la polarisation P à partir des
moments pN :€
 

 
P(r ) = ∑ pN f (r − rN ) avec
N
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€


pN = ∑ qNk rNk
k
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
 

ρ(r ) = ∑ ∑ qNk f (r − rN − rNk )
Nk
 
Par définition, f varie peu à l’échelle des variations de ρ, d’où :

 
€f (r − r − r ) ≈ f (r − r ) − r . ∇
f
(
r
[ − rN )]
N Nk
N
Nk
 
On en déduit ρ :
€
⎛
⎞  
⎛

 ⎞ 
 
ρ(r ) ≈ ∑ ⎜∑ qNk ⎟ f (r − rN ) − ∑ ⎜∑ qNk rNk ⎟ . ∇ [ f (r − rN )]
⎠
⎠
N ⎝ k
N ⎝ k
= 0 car la charge totale de
€
chaque groupe est nulle
 
Moment dipolaire du
groupe N



 
ρ(r ) ≈ − ∑ pN . ∇[ f (r − rN )]
Finalement :
N
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€
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

pN = ∑ qNk rNk
k
€
53
 

 
P(r ) = ∑ pN f (r − rN )
N
 

 

 
On peut écrire : ∇ .( f pN ) = f ∇ .( pN ) + pN .∇( f )
€
 
Puisque seul f dépend de r, on a :
€
 
 
 
∇ . P = ∑ pN ∇( f (r − rN ))
N
 
 
En comparant avec l’expression de ρ du transparent précédent, il
€
 

reste :
ρ(r ) ≈ − ∇ . P
Cette expression ne conserve que le caractère dipolaire de la
distribution. Les autres
termes ne sont pas pris en compte
€
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
3.  Susceptibilité diélectrique
1.  Champ local El
2.  Formule de Clausius-Mossotti
3.  Variations de la susceptibilité
4.  Cas particuliers
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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Champs microscopiques et macroscopiques
 
 
Le champ microscopique e est le champ dans le vide entre les
particules du milieu. Il a une structure très « tourmentée »
  Dans un solide cristallin, il varie considérablement sur des
distances de l’ordre de la maille (quelques Å)
Le champ macroscopique E est la moyenne spatiale de e au voisinage
du point M
 1

E=
 
 
V
∫∫∫ V e dV
V : volume mésoscopique
E varie plus lentement que e. C’est E qui est utilisé dans les
€
équations de Maxwell
On ne peut plus raisonner ainsi avec la polarisabilité
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 
 
On soumet un diélectrique à
un champ E0 constant créé
par un condensateur
Le champ macroscopique E
dans le diélectrique est :
 

E = E0 + E P
 


P
avec EP = −
ε0
EP : champ dépolarisant dû
aux charges de polarisation
portées par le diélectrique
On considère une molécule M du diélectrique. Le champ qui agit sur
M n’est pas E qui est la moyenne spatiale du champ au voisinage de
€
M. Le champ à considérer est le champ créé en M par toutes les
molécules autres que M
  Ce champ local El est le champ ressenti par la molécule
  C’est
lui quideintervient
dans le moment
dipolaire
Licence
3 et Magistère
Physique
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 
Pour les molécules apolaires, on utilise pour El une expression due à
Lorentz (1920)
  On suppose que la présence ou non de l’élément polarisable ne
modifie pas le champ autour de M

  On obtient alors :

 P
E est le champ
El = E +
 
 
3 ε0
macroscopique
Cette expression n’est qu’une approximation pour les milieux
denses (liquides €
et solides) et est complètement fausse pour les
cristaux non cubiques
Pour les molécules polaires, on utilise pour El une expression plus
complexe due à Onsager (1936)
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
3.  Susceptibilité diélectrique
1.  Champ local El
2.  Formule de Clausius-Mossotti
3.  Variations de la susceptibilité
4.  Cas particuliers
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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Clausius-Mossotti (1/2)
 
On a (en supposant la forme de Lorentz du champ local) :





⎛  P ⎞
nα
P = n α ε0 El = n α ε0 ⎜ E +
⇒
P
=
ε
E
⎟
0
3 ε0 ⎠
1− n α / 3
⎝
Savoir
refaire ce
calcul
Polarisabilité
 
€ pour un milieu lhi :
Soit
€
µ  : masse volumique
M : masse molaire
N0 : nombre d’Avogadro
€
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€
χe =
nα
1− n α / 3
M
µ
εr = 1+ χ e
µ=n
M
N0
€
Milieux diélectriques
⎛ εr −1 ⎞ N0 α
⎜
⎟ =
ε
+
2
3
⎝ r
⎠
Formule de
Clausius-Mossotti
60
M
µ
 
€
 
Clausius-Mossotti (2/2)
⎛ εr −1 ⎞ N0 α
⎜
⎟ =
ε
+
2
3
⎝ r
⎠
L’énorme intérêt de ce modèle est de permettre une mesure de α
(paramètre microscopique) à l’aide de paramètres macroscopiques
Pour un milieu peu dense (χe << 1) :
M
(εr −1) ≈ N0 α
µ
χ ≈ nα
€
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€
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
3.  Susceptibilité diélectrique
1.  Champ local El
2.  Formule de Clausius-Mossotti
3.  Variations de la susceptibilité
4.  Cas particuliers
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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62
Variation de la polarisabilité avec la température
 
 
 
Pour un milieu peu dense : χ ≈ n α
Milieux apolaires :
€
  Uniquement polarisation électronique et ionique qui ne
dépendent pas de la température
  α ne doit pas dépendre de T
Milieux polaires :
  La polarisation dipolaire dépend de la température :
p02
α = αelec + αion + α dipolaire = α0 +
3 ε0 kB T
Licence €
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Polarisations
électronique et ionique
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63
p02
α = αelec + αion + α dipolaire = α0 +
3 ε0 kB T
HCl
€
HI
CH4
 
 
 
La pente de ses courbes fournit le moment dipolaire
L’ordonnée à l’origine fournit la polarisabilité α0
On en déduit que :
  HCl a un plus grand moment dipolaire que HI
  HI a une plus grande polarisabilité électronique que HCl (HI est
plus grosse)
  CH4 est apolaire (logique puisque possède un centre de
symétrie)
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Plan du chapitre « Milieux diélectriques »
1.  Sources microscopiques de la polarisation en régime statique
2.  Etude macroscopique de la polarisation en régime statique
3.  Susceptibilité diélectrique
1.  Champ local El
2.  Formule de Clausius-Mossotti
3.  Variations de la susceptibilité
4.  Cas particuliers
4.  Polarisation en régime variable
5.  Aspects énergétiques des milieux diélectriques
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« Catastrophe de polarisation » ou
nα
χe =
ferroélectricité (1/2)
1− n α / 3
 
€
 
χe va diverger pour n α/3 = 1
Exemple du titanate de Baryum BaTiO3
  A 400°C, diélectrique « ordinaire »
(χe ≈ 500)
  Si T ↓, n ↑ et χe ≈ plusieurs milliers
  Lorsque T atteint sa température de Curie (120°C), apparition
d’un état ferroélectrique, caractérisé par l’apparition d’une
polarisation spontanée en l’absence de champ appliqué (χe = ∞)
  P est alors due à l’existence pour les ions Ti4+ et Ba2+ de
nouvelles positions d’équilibre décalées wrt aux nœuds du
réseau initial
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« Catastrophe de polarisation » ou
ferroélectricité (2/2)
 
La susceptibilité d’un ferroélectrique
suit une loi de Curie :
χe =
 
Cste
T − Tc
La polarisation d’un
€
ferroélectrique dépend de
l’histoire du cristal
  On obtient une courbe
d’hystérésis en faisant varier
lentement E
Ec : champ coercitif
Pr : polarisation rémanente
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Piézoélectricité
 
 
 
 
Dans certains cristaux dépourvus de centre de symétrie, un
déplacement relatif des ions dû à une contrainte mécanique peut
engendrer une polarisation en l’absence de champ appliqué
Permet de transformer une grandeur mécanique en une grandeur
électrique (ex : mesure de force ou de pression)
Inversement, un cristal piézoélectrique se déforme sous l’action
d’un champ E (ex : production d’ultra-sons)
Les cristaux de quartz ont des vibrations propres très peu
amorties. Ce sont donc de très bons résonateurs mécaniques que la
piézoélectricité permet de coupler à des circuits électriques
  Montres à quartz !
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