Mesures et appareils de mesure

Elément d’électronique analogique
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Mesures et appareils de mesure
1.1 Introduction
Lorsque nous exprimons la valeur soit d’un courant soit d’une tension, nous faisons appel à un
système d’unité : le volt ou l’ampère. S’il s’agit d’un signal continu, la valeur donnée représente bien
l’amplitude de ce signal. Par contre s’il ne s’agit pas d’un signal continu mais d’un signal qui varie
dans le temps, la valeur du signal est beaucoup plus difficile à exprimer.
Si le signal varie dans le temps, la manière apparemment la plus simple consiste à donner pour une
date donnée son amplitude (figure 1).
Courant ( I)
Courant à to
temps
0
.date : to
Figure 1. Valeur instantanée d’un courant
Cette information appelée valeur instantanée est mesurable à l’aide d’un oscilloscope. Elle n’est
pas toujours représentative de l’information. En effet si un générateur doit alimenter un radiateur,
l’évaluation de la puissance disponible n’est pas représentative de la valeur instantanée mais d’une
autre valeur appelée la valeur efficace liée à l’effet Joule.
Reprenons l’exemple de cette tension, et imaginons qu’elle correspond à une alimentation d’un
montage, la valeur qui va alors nous intéresser est celle de la tension équivalent continue disponible.
Cette tension s’appelle alors la valeur moyenne.
1.2 Valeur moyenne
Reprenons le cas de la figure 1, il peut être nécessaire de connaître par exemple la quantité
d’électrons passant dans un conducteur dans un intervalle de temps compris ente t1 et t2. Cette
valeur sera obtenue en faisant la somme de toutes les valeurs instantanées.
I (A)
I (A)
Imoy
0
temps
. t1
t2
0
temps
. t1
t2
Figure 2. Valeur moyenne
La valeur moyenne d’un courant variable i est celle que devrait avoir un courant continu constant
pour transporter pendant le même temps la même quantité d’électricité. Elle est calculée
Eea-moy_W2 mercredi 9 février 2005
Valeurs moyennes et efficaces 2
différemment suivant qu’il s’agit d’un signal périodique ou non elle est calculée surface équivalante du
signal dans un intervalle de temps. Pour un signal périodique l’intervalle de temps est la période T,
Pour un signal non périodique il faut choisir un intervalle de temps compris entre t1 et t2.
Dans le cas d’un courant continu, la quantité d’électricité qui circule pendant un intervalle de temps
correspond au produit de la valeur de courant moyenne multipliée par l’intervalle de temps. Dans le
cas d’un courant variable, la quantité d’électricité est la somme de l’ensemble de tous les courants
(Equations 1):
q = i×(t2-t1) et
t2
q = ∫ i.dt
t1
[Eq 1]
Ces deux équations permettent de déduire la valeur moyenne (Equation 2).
t2
i (t 2 − t1) = ∫ i.dt
t1
donc : i =
1 t2
. ∫ i.dt
t 2 − t1 t1
[Eq 2]
Si le signal est périodique l’intervalle de temps de calcul prend alors pour valeur la période T du
signal.
t2
Valeur moyenne d’un signal périodique : i = 1 . ∫ i.dt
[Eq 3]
T t1
1.2.1 Mesure de la valeur moyenne d’un signal
La valeur moyenne d’un signal peut être mesurée en utilisant un multimètre connecter en mesure
DC soit directe courant.
1.2.2 Exemple de valeur moyenne
T
Sinus
Vmoy =
Vc
0
Sinus redressé
bialterance
Vc
.temps
Vc
Vmax
2 T/ 2
. ∫ sin ω.tdt
T 0
2
T /2
Vmoy = Vc.
.[− cos .ω.t ]0
T .ω
Vc. 2
Vmoy =
π
1 T /2
Vmoy = . ∫ sin ω.tdt
T 0
1
T/ 2
Vmoy =
.[− cos. ω. t ]0
T .ω
1
Vmoy = Vc.
π
Vmoy = Vc.
.temps
0
Signal rectangulaire
Vmoy = 0
.t
0
Sinus redressé
monoalternace
∫
1
. sin ω.tdt
T 0
ton
.t
T
Vmoy = V max .
ton
T
Elément d’électronique analogique
3
1.3 Valeur efficace
La valeur efficace d’un courant variable i correspond à l’intensité ieff que devrait avoir un courant
continu constant pour produire dans la même résistance pendant le même temps le même
dégagement de chaleur que i.
.i(t)2
I(t)
ieff
0
.i(t) .temps
Courbe 1. Calcul du courant efficace
L’énergie dissipée dans une résistance par effet joule est de la forme w = R.i2.t. Appliquons cette
formule pour calculer la valeur efficace d’une part pour un courant continu et d’autre part pour un
courant variable.
t2
w = R .i 2eff .(t 2 − t1) et
w=
∫ R.i
2
.dt
t1
Comme l’énergie w est identique pour les deux équations :
t2
R.i 2eff .( t2 − t1) = ∫ R.i 2 .dt
t1
t2
1
donc i 2eff =
. ∫ i 2 . dt
t 2 − t1 t1
i eff =
t2
. ∫ i 2 .dt
t 2 − t1 t1
1
[Eq 4]
Comme pour le calcul des valeurs moyennes, si le signal est périodique, l’intervalle de temps à
considérer devient la période T.
i eff =
1 T 2
. ∫ i .dt
T 0
ou en tension :
v eff =
1 T 2
. ∫ v .dt
T 0
[Eq 5]
La valeur efficace est plus souvent appelée RMS (root mean square) signifiant la valeur
quadratique moyenne.
1.3.1 Exemple de valeur efficace de signaux particuliers
Sinus
v eff =
Vcrête
2
Veff
= Vc .
0
T
Veff =
Sinus redressé
bialterance
v eff =
Vc
0
1 T
. ∫ Vc . sin(ω. t ) 2 .dt
T 0
T/2
.temps
T
∫
1 − cos 2 ωt
0
2
dt
Vc
2
2 T/ 2
. ∫ Vc. sin(ω. t) 2 .dt
T 0
2
Veff
= Vc .
Veff =
1
T
2
T
T/ 2
∫
0
1 − cos 2 ωt
2
dt
Vc
2
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Valeurs moyennes et efficaces 4
Sinus redressé
monoalternace
v eff =
Vc
T
0
Sinus superposé à
une valeur moyenne
temps
Vc
2
v = Vmoy +Vc .sinωt
Veff =
Vc
.v
Vc2
2
Veff = V moy
+
Vmoy
2 = 1 T V 2 .dt
Veff
∫ max
T 0
Signal rectangulaire
Vmax
2
.t
0
ton
.t
Veff = Vmax .
T
Signal continu
1 T/ 2
2
. ∫ Vc. sin(ω. t) .dt
T 0
V
V0
t
on
T
Veff = Vo
.t
0
1.3.2 Mesure de la valeur efficace
Les appareils de type multimètre donnent la valeur efficace d’une tension ou d’un courant lorsqu’il
est commuté en mode AC (alternatif courant). Mais la valeur obtenue est correcte uniquement si le
signal est de forme sinusoïdale (et si la fréquence du signal mesuré rentre dans la bande passante du
multimètre). Dans les autres cas, la valeur obtenue sera erronée, il faudra alors utiliser un multimètre
particulier permettant de mesurer la valeur efficace vraie.
Des circuits intégrés spécialisés permettent de convertir la valeur vraie RMS d’un signal en une
tension continue. Parmi les circuits nous retrouvons les références AD 636. La conversion de la
valeur RMS en une tension continue est souvent employée dans le domaine de l’audio pour réaliser
des compresseurs de modulation par exemple ou des mesures de niveaux en décibels. C’est
pourquoi nous retrouvons ce type de circuits sous les références SSM 2110 ou THAT 2252 (voir
paragraphe 1.4).
1.3.3 Calcul de la valeur efficace d’un signal non sinusoïdale
Veff1 Veff2
Veff3
Veff.res2 = Veff1 2 + Veff2 2 + V032
Figure 3. Calcul de la valeur efficace de générateurs en série
La figure 3 représente la mise ne série de trois générateurs dont l’amplitude et la fréquence sont
différentes. Pour obtenir la valeur efficace (au carré) résultante, il faut faire la somme des différentes
valeurs
efficaces
(également
au
carré)
de
chacune
des
raies tel
que :
veff2 = vfeff2 + vh1eff2 + vh2eff2 + vh2eff2. Comme chacune des raies est une sinusoïde, la valeur efficace est
obtenue en utilisant l’équation 4.
La simulation permet de vérifier que ce type de calcul doit être utilisé pour déterminer la valeur
efficace d’un signal non sinusoïdale. En effet, dans l’exemple simulé, trois générateurs mis en série
permettent d’obtenir l’amorce d’un signal carré de rapport cyclique 0,5 et d’amplitude 2 v. La figure
Elément d’électronique analogique
5
4 de gauche représente le signal sensiblement rectangulaire crée. La valeur RMS calculée alors est
de 1,92 v. Quant à la partie droite, elle est obtenue en réalisant la FFT de ce signal. Le calcul permet
d’obtenir une valeur RMS de 1,92 v.
2
0
1kHz 2,54v
3kHz 0,84v
5kHz 0,5v
3
2
1
t(ms)
1
0
1
Veff =
VRMS calculé par le logiciel = 1,92 v
3
5
2,54 + 0,84 + 0,5
2
2
2
kHz
2
= 1,92 v
Figure 4. Gauche représentation temporelle du signal à droite le spectre de ce signal.
1.4 Convertisseur RMS en DC
Par l’intermédiaire du logiciel de simulation, nous pouvons réaliser l’opération mathématique
calculant la valeur efficace ou RMS :
Veff = Avg(V ) 2
La figure 5, présente l’enchaînement des trois calculs dans laquelle nous utilisons les fonctions
mathématiques :
• Mise au carré du signal d’entrée, fonction multiplication (K = 1)
• Détermination de la valeur moyenne : filtre passe bas 1° pôle, fréquence de coupure 100
Hz
• Racine carré du signal : fonction sqare root.
• V1 correspondant au signal d’entrée est dans cet exemple un signal de forme sinusoïdale
V1 = 1.sin(2.π.1000.t).
X1
MUL
X3
POLE
X2
SQROOT
A
Y3
K*A*B
1
K
3
S+A
2
SQUARE
ROOT
Y2
4
B
V1
V12
intégrateur 100Hz
√
Figure 5.
Pour un intervalle de 15 ms, nous pouvons vérifier sur la courbe 2 le résultat obtenu. Pour une
valeur d’entrée de 1 v, nous obtenons bien une tension efficace de 0,707 v. Par contre le signal
correspondant à la valeur efficace subit une légère ondulation. Le choix de la fréquence de coupure
de l’intégrateur est lié à cette ondulation. En effet si la fréquence de coupure est basse, l’ondulation
sera minimum mais la valeur efficace attendue sera établie avec un certain retard. En augmentant la
fréquence de coupure, le résultat sera établi très rapidement par contre il subira une ondulation très
forte. Il y a donc recherche d’un compromis entre la fréquence de coupure et la fréquence de travail
du convertisseur.
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Valeurs moyennes et efficaces 6
1v
Veff = 0,707 V
.temps
0
6.00M
8.00M
10.0M
12.0M
14.0M
Courbe 2.
Dans le calcul de la valeur efficace, il y a la recherche de la racine carrée de l’ensemble de
l’expression. En calcul analogique, cette fonction est réalisée grâce aux propriétés des logarithmes et
exponentielles : √a = e0,5.lna.
L’équation 5 de la valeur efficace correspond à la transposition sous une forme réalisable par un
calculateur analogique.
Veff = Avg(V) 2 = e
V 12
X1
MUL
0, 5.Log( V 2 )
[Eq 6]
Log
|0,5 |
X2
LOG
X3
POLE
exp
X4
EXP
Y6
A
K*A*B
LOG
K
EXP
S+A
B
V1
Sortie RMS en dB
Sortie RMS en V
Figure 6. Principe d’un convertisseur valeur RMS en tension continue : RMS to DC.
Nous voyons sur la figure 6 que si la sortie est prise avant le calcul de l’exponentielle, le résulta est
directement en dB. Dans cet exemple le bloque « gain » a pour coefficient 1,15129. Cette valeur
correspondant à 0,5 × 2,3025 (0,5 permettant la calcul de la racine carré et 2,3 correspond au
rapport de ln(n)/Log(n) 1 ). Quant au montage intégrateur qui permet d’obtenir en sortie la valeur
moyenne équivalente, nous devons faire la même remarque concernant le compromis temps de
monté et l’ondulation. Dans de nombreux circuits proposés par les constructeurs, cette capacité est
externe et son choix est fonction de ce compromis.
1.5 Puissance
La puissance dans un dipôle est définie comme étant le produit de la tension par le
courant :P = U×I.
Calcul de la puissance instantanée
Si nous prenons les valeurs instantanées du courant et de la tension, nous pouvons en déduire la
puissance instantanée p(t). pour cela nous considérerons que les signaux i(t) et u(t) sont de forme
sinusoïdale, la fréquence ou la pulsation sont identiques par contre les phases sont différentes :
1 Suivant le logiciel utilisé.
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i (t ) = I 0 . sin(ω t + ϕ1 )
et
7
v(t ) = V0 . sin(ω t + ϕ 2 )
p(t ) = i (t ).v(t ) soit p(t ) = I 0 . sin(ω t + ϕ 1 ).V0 . sin(ωt + ϕ 2 )
p(t ) = 0,5.I 0 .V0 .[cos(ωt + ϕ1 − ωt − ϕ 2 ) − cos(ωt + ϕ 1 + ωt + ϕ 2 ) ]
p(t ) = 0,5.I 0 .V0 .[cos(ϕ1 − ϕ 2 ) − cos(2.ωt + ϕ1 + ϕ 2 )]
De cette expression de p(t), nous voyons que cette puissances est composée de deux termes : un
terme 0,5.I 0 .V0 .(cos(ϕ 1 − ϕ 2 )). exprimant une valeur moyenne.
L’autre terme −0,5.I 0 .V0 .(cos(2.ω t + ϕ 1 + ϕ 2 )) qui est une fonction sinusoïdale de fréquence double.
Calcul de la puissance moyenne ou RMS
Cette puissance moyenne est obtenue en appliquant l’équation 3.
T
∫
PM oy (t ) =
1
u (t ).i (t )dt
T0
PMOY (t ) =
I 0 .V0
. [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) − cos( 2.ωt + ϕ1 + ϕ 2 )]dt
2.T 0
PMOY (t ) =
T

I 0 .V0   1

.  . sin(2.ω.t + ϕ1 + ϕ 2  + cos .∆ϕ 

2.T   ω
0

soit :
T
∫
qui devient :
PMOY (t ) =
I 0 .V0
cos .∆ϕ
2
Si le signal est de forme sinusoïdale, nous savons que
puissance devient donc :
PMOY (t ) =
I 0 .V 0
2 2
I eff = I 0 / 2
et
Veff = V0 / 2
le calcul de la
cos(ϕ ) soit PMOY (t ) = Ieff .Veff . cos(ϕ)
Cette formule fait apparaître le produit Veff.Ieff qui correspond à la puissance apparente ainsi que
le terme cos(ϕ), appelé facteur de puissance. La valeur du terme cos(ϕ) est importante car il est
multiplicateur de la puissance apparente, il est fonction des paramètres de l’installation. Son rôle est
plus particulièrement utilisé dans les installations électriques. Si l’angle de déphasage entre le courant
et la tension est nulle, le cos(ϕ) prend alors une valeur unitaire et la puissance devient alors :
PMOY ( t ) = Ieff .Veff
[Eq 7]
Remarques : Certains utilisent également une valeur appelée la puissance maximale. Elle est
donnée par la formule P = V0.I0.cette valeur de puissance correspond à la moitié de la puissance
moyenne.
1.6 Valeurs relatives le décibel
Ce que nous venons de voir permet de quantifier des valeurs « absolues ». Il est souvent
nécessaire en électronique de présenter des valeurs relatives tel que le rapport de deux termes par
exemple. Nous retrouvons ce type d’expression pour quantifier une amplification de quadripôle, la
dynamique d’un signal, l’atténuation linéique dans un conducteur ou une fibre optique ou le rapport
signal sur bruit. Pour cela le rapport entre les eux terme est donné par un sous multiple du Bel : le
décibel. Sa valeur est obtenue par les calculs suivants :
Rapport de deux tensions
V
Rv(dB) = 20.Log  1
 V2



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Valeurs moyennes et efficaces 8
Rapport de deux courants
I
Ri(dB) = 20.Log 1
 I2
Rapport de deux puissances



 P1
Rp(dB) = 10.Log
 P2



Ces valeurs étant relatives, nous retrouvons dans de nombreux domaines d’application, des
références entre un rapport exprimé en dB et une grandeur particulière :
dBm
dBu
dBV
dBW
dB SPL
0 dBm correspondant à 1 mW
0 dBu correspondant à 0,775 VRMS
0 dBV correspondant à 1 VRMS
0 dBW correspondant à 1 W
0 dBSPL correspondant à une pression acoustique de 0,2.10-4
dynes/cm2