Cours Mécanique du point 2010.

M´ecanique du point. Agr´egation
Ph. Ribi`ere
Samedi 02 octobre 2010

Ph. Ribi`ere Agr´egation 2010 2

Table des mati`eres
1 Cin´ematique du point. 9
1.1 Ler´ef´erentiel. ........................................ 9
1.1.1 L’espace. ...................................... 9
1.1.2 Letemps....................................... 10
1.1.3 Ler´ef´erentiel..................................... 10
1.2 La trajectoire et base de projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Labasecart´esienne. ................................ 10
1.2.2 La base cylindrique ou polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Labasesph´erique.................................. 12
1.3 Application au mouvement circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Exercices. .......................................... 13
1.4.1 Exercice de cours : le mouvement h´elico¨ıdal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Vrai/Fauxducours. ................................ 13
1.4.3 Acc´el´eration subie par le corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.4 Lacoursedevoiture................................. 14
1.4.5 Mouvement `a acc´el´eration centrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 La dynamique du point dans un r´ef´erentiel galil´een. 15
2.1 Masse et quantit´e de mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Lamasse. ...................................... 15
2.1.2 La quantit´e de mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Les principes fondamentaux de la dynamique du point. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Premi`ere loi de Newton : principe d’inertie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 La seconde loi de Newton : principe fondamental de la dynamique. . . . . . . . 17
2.2.3 La troisi`eme loi de Newton : principe d’action r´eaction. . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Expression des forces usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Les quatre forces fondamentales : aspect culturel. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 Interactions `a distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.3 Interactions de contact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Etude pratique d’exemples simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1 Delam´ethode... .................................. 21
2.4.2 Lachutelibre..................................... 21
2.4.3 Le ressort et la masse : Cas vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3

Ph. Ribi`ere Agr´egation 2010 4
2.4.4 Le pendule pesant sans frottement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Exercices. .......................................... 23
2.5.1 Lachutelibre..................................... 23
2.5.2 Leressortetlamasse. ............................... 23
3 Th´eor`eme du moment cin´etique. 25
3.1 Moment cin´etique d’un point mat´eriel dans le r´ef´erentiel R. . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Moment cin´etique par rapport `a un point O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 Moment cin´etique par rapport `a l’axe ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Etude dynamique de la rotation : le moment d’une force. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Moment d’une force par rapport `a un point O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Moment d’une force par rapport `a un axe ∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Th´eor`eme du moment cin´etique dans un r´ef´erentiel galil´een. . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.1 Enonc´eduth´eor`eme................................. 29
3.3.2 Lependule. ..................................... 29
4 Approche ´energ´etique 31
4.1 Th´eor`eme de l’´energie cin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.1 Puissance et travail d’une force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1.2 Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.1 Energie potentielle et force conservative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.2 Th´eor`eme de l’´energie m´ecanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.3 Avantage et inconv´enient de l’´energie m´ecanique. . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Exercice bilan, ´etude d’un oscillateur par divers th´eor`emes. . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Les syst`emes oscillants. 37
5.1 Ler´egimelibre ....................................... 37
5.1.1 Mise en ´equation du probl`eme du ressort+masse. . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.2 Etudesansfrottement................................ 38
5.1.3 Etude avec frottement fluide ~ f=−h~v. ...................... 38
5.1.4 Oscillateur non lin´eaire : approche ´energ´etique, portrait de phase. . . . . . . . 39
5.2 Analogie avec les syst`emes oscillants en ´electrocin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1 Etude ´energ´etique d’un oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3 Etude du r´egime sinuso¨ıdal forc´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3.1 Importance du r´egime sinuso¨ıdal forc´e, mise en ´equation. . . . . . . . . . . . . 45
5.3.2 R´esolution de l’´equation diff´erentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 Etude de l’´elongation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.4 Etudedelavitesse.................................. 47
5.3.5 Etude´energ´etique. ................................. 48
5.4 Exercice............................................ 50
5.4.1 Vitesse d’un oscillateur soumis `a une excitation sinuso¨ıdale. . . . . . . . . . . 50
5.4.2 Amplitude d’un oscillateur soumis `a une excitation sinuso¨ıdale. . . . . . . . . . 50

Ph. Ribi`ere Agr´egation 2010 5
6 Etude des mouvements `a force centrale. 51
6.1 Etude du mouvement d’un point dans un champ de force centrale. . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 Positionduprobl`eme. ............................... 51
6.1.2 Etude du moment cin´etique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Etude du mouvement d’un point dans un champ de force central conservatif. . . . . . 53
6.2.1 La force ~ f=f(r).~urestconservative. ........................ 53
6.2.2 Etude´energ´etique. ................................. 53
6.2.3 Etudegraphique. .................................. 54
6.3 Etude du mouvement d’un point dans un champ de force newtonien. . . . . . . . . . 54
6.3.1 D´efinition....................................... 54
6.3.2 Trajectoire dans champ de force newtonien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3.3 Description des trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 Application `a l’´etude des mouvements plan´etaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.4.1 LesloideK´epler................................... 57
6.4.2 Le cas particulier des satellites en orbite circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5 Exercices. .......................................... 58
6.5.1 Com`etedeHalley................................... 58
6.5.2 Etude de trajectoire d’un satellite terrestre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5.3 Mouvement d’une com`ete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5.4 La terre autour du soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.5.5 Kahoutek ...................................... 60
6.5.6 Etude du vecteur excentricit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.5.7 Mouvement d’une masse accroch´ee `a un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.5.8 Mod`ele de Bohr de l’atome d’hydrog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.5.9 D´etermination du mouvement d’un satellite via le vecteur excentricit´e F F. . 62
6.5.10 Erreur de satellisation FF. ............................ 63
6.5.11 Deux masses reli´es par un fil F F ........................ 63
6.5.12 Diffusion de Rutherford. F............................ 64
6.5.13 Mouvement `a force centrale. D’apr`es concours. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Le changement de r´ef´erentiel. 67
7.1 Lanotionder´ef´erentiel. .................................. 67
7.1.1 D´efinition d’un r´ef´erentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.1.2 D´efinition de quelques r´ef´erentiels usuels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 Description du mouvement d’un solide par rapport `a un autre solide. . . . . . . . . . 68
7.2.1 Le mouvement de translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.2 Le mouvement de rotation uniforme autour d’un axe fixe. . . . . . . . . . . . . 70
7.3 Changement de r´ef´erentiel : composition des mouvements. . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3.1 D´erivation vectorielle lors d’un changement de r´ef´erentiel. . . . . . . . . . . . . 71
7.3.2 Description du mouvement dans les r´ef´erentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3.3 Composition des vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3.4 Formuleg´en´erale................................... 71
7.3.5 Composition des acc´el´erations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72