capes blanc 05/06 : correction de la partie mécanique

Pr´eparation CAPES 2004/2005 - M´ecanique
Universit´e Rennes I & IUFM Bretagne
capes blanc 05/06 : correction de la partie m´ecanique
I. Champ de gravitation
1. Le champ gravitationnel −→ dφ cr´e´e par un ´el´ement de volume dτ portant la masse dm =µdτ
en un point rep´er´e par le veteur −→ rest donn´e par
d−→ φ=−Gµdτ−→ r /r3.
2. On consid`ere un astre sph´erique. L’origine des coordonn´ees est au centre de l’astre.
Un point ext´erieur Mest rep´er´e par le vecteur −→ r. Le champ ´el´ementaire cr´e´e par un
´el´ement de volume dτ peut-ˆetre d´ecompos´e en composantes longitudinale et transversale
par rapport `a OM. Consid´erons l’´el´ement de volume dτ 0sym´etrique de dτ, par rapport
`a OM, le champ qu’il cr´ee a mˆeme grandeur puisque dτ 0est `a la mˆeme distance de M
que dτ. Si on d´ecompose le vecteur comme le pr´ec´edent, les composantes perpendiculaires
s’annulant, le champ r´esultant est uniquement dirig´e selon OM. Le champ cr´e´e par l’astre
entier est donc radial.
3.a Soit −→ Φ le champ de gravitation cr´e´e par la masse M`a l’emplacement de la masse m:
−→
Φ = −GM
−→
r
r3.
La masse msubit de la part de ce champ une force −→ F=m−→ Φ . Le travail ´el´ementaire
correspondant est δW =−→ F .d−→ l=−GmMdr/r2.
Le travail est positif ou n´egatif selon le signe du d´eplacement alg´ebrique dr.
3.b. dU =−δW =GmMdr/r2,soit
U=−GmM/r,
avec une constante d’int´egration nulle si on prend U(∞) = 0.
II. Satellite en orbite circulaire
1. Le satellite Mest rep´er´e par ces coordonn´ees polaires ret θdans le plan (O, x0, y0, z0)
de la trajectoire circulaire ; nous avons : −−→ OM =r−→ uro`u rest une constante (trajectoire
circulaire), soit −→ v=r˙ θ−→ uθ. Ceci donne pour l’acc´el´eration
−→
a=−r˙ θ2−→ ur.
Nous avons v=r˙ θ, soit −→
a=−v2/r −→ ur.
1

2. Un r´ef´erentiel Galil´een est un r´ef´erentiel par rapport auquel le Principe d’inertie est
v´erifi´e. Le principe d’inertie peut ˆetre enonc´e de la fa¸con suivante : dans un r´ef´erentiel
galil´een, si la somme des forces ext´erieures appliqu´ees `a un syst`eme est nulle alors le centre
d’inertie de ce syst`eme est, soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.
3. Dans les r´ef´erentiel galil´een R, la somme des forces ext´erieures exerc´ees est ´egale `a la
d´eriv´ee temporelle de la quantit´e de mouvement −→ p. Ceci donne
d−→ p
dt =X−→
fext.
4. Pour un point A, de quantit´e de mouvement −→ pA, on d´efinit le moment cin´etique de A
par rapport `a Ocomme −→ LO=−→ OA ∧−→ pA.
5. Au sol nous avons r=R, et le poids correspond alors `a la force de gravitation, soit
mg0=GMm/R2, ce qui donne
g0=GM
R2.
6a. D’apr`es le principe fondamental de la dynamique, nous avons |−→ a|=GM/r2=g0R2/r2.
Comme |−→ a|=v2/r, nous avons
v=Rrg0
r=Rrg0 R+l.
6b. L’´enerie totale du satellite vaut E=Ec+U=mv2/2−GMm/r, soit compte tenu de
l’expression de la vitesse,
E=−1
2
GMm
r=−1 2mg0
R2
r=−1 2mg0
R2
R+l.
6c. Le moment cin´etique du satellite en Oest ´egal `a : −→ LO=−−→ OM ∧m−→ v=mr2˙ θ−→ k0=mrv−→ k0,
−→
k0d´esignant le vecteur unitaire de l’axe Oz0. Ceci donne
−→
L0=mrv =mRpg0(R+l).
6d. La p´eriode de r´evolution Tvaut : T= 2π/ω = 2πr/v, soit
T=2πr
Rrr g0
= 2πsR
g01 + z R3/2
.
6e. Le satellite est g´eostationnaire (il est fixe par rapport `a un r´ef´erentiel li´e `a la terre) si
sa p´eriode de r´evolution est ´egale `a celle de rotation de la terre sur elle-mˆeme. Il faut donc
T=T0, soit
lg="T2
0
4π2
g0
R1/3
−1#R.
2

7. Application num´erique
v= 6.98 km.s−1,E=−2.93 109J, 
−→
L0= 7.0 1012 kg.m2.s−1,T= 7.56 103s, soit environ 2 H 6 min,
lg= 36 103km.
III. ´ Etoile double
1. On appelle centre d’inertie G(ou centre de masse) du syst`eme mat´eriel (Σ) la bary-
centre des points Micomposant Σ affect´es de leur masse mi.A´etant un point arbitraire
quelconque, nous avons
X
i
mi
−→
AG =X
i
mi
−−→
AMi,soit X
i
miGMi=−→ 0.
2. On ´etudie le mouvement des ´etoiles dans un r´ef´erentiel galil´een R0(O, x, y, z). Appliquons
dans ce r´ef´erentiel, le principe fondamental de la dynamique `a chaque ´etoile. En d´esignant
par −→ fla force de gravitation qu’exerce M1sur M2, la force qu’exerce M2sur M1est,
d’apr`es le principe d’action-r´eaction, −−→ f. Nous avons ainsi
m1 d2−−−→
OM1
dt2!R0
=−−→ fet m2 d2−−−→
OM2
dt2!R0
=−→ f .
En sommant, nous obtenons la relation suivante
d2
dt2hm1
−−−→
OM1+m2
−−−→
OM2iR0 =−→ 0.
En utilisant la d´efinition du centre de masse G: (m1+m2)−→ OG =m1
−−−→
OM1+m2
−−−→
OM2, nous
obtenons d2−→
OG
dt2!R0
=−→ 0.
Ainsi dans (R0), Ga un mouvement de translation rectiligne et uniforme. Le r´ef´erentiel
barycentrique RG(Gxyz) est en translation rectiligne et uniforme par rapport `a (R0), (RG)
est donc galil´een.
3a. Par d´efinition −→ v= d−−→
GM
dt !.
3b. Pla¸cons nous dans le r´ef´erentiel barycentrique. Nous avons
−−−→
GM2−−−−→ GM1=−−−−→ M1M2
m2
−−−→
GM2+m1
−−−→
GM1=−→ 0
ce qui donne
−−−→
GM1=−m2
m1+m2
−−−−→
M1M2(1)
−−−→
GM2=m1
m1+m2
−−−−→
M1M2(2)
3

Nous avons alors
−→
p1=m1−→ v1=m1 d−−−→
GM1
dt !RG
=−m1m2
m1+m2
−→
v ,
−→
p2=m2−→ v2=m2 d−−−→
GM2
dt !RG
=m1m2
m1+m2
−→
v ,
ce qui nous donne
−→
p1=−µ−→ v
−→
p2=µ−→ v
3c. Calculons le moment cin´etique en Gde l’´etoile double −→ LG
−→
LG=−−−→ GM1∧−→ p1+−−−→ GM2∧−→ p2=−−−→
GM2−−−−→ GM1∧µ−→ v=−−−−→ M1M2∧µ−→ v .
Le moment cin´etique est le mˆeme que celui d’une particule de masse µ, situ´ee en un point
Md´efini par −−→ GM =−−−−→ M1M2, de vitesse −→ v= (d−−→ GM/dt)RG:
−→
LG=−−→ GM ∧µ−→ v .
3d. Nous avons, de mˆeme, pour l’´energie cin´etique
Ec=1
2m1v2
1+1
2m2v2
2=1
2p2
1
m1
+p2
2
m2=1 2µv2,
ce qui correspond `a l’´energie cin´etique de la particule Mci-dessus d´efinie.
3e. Nous avons µ(d−→ v /dt)RG= (d−→ p2/dt)RG. Or la particule M2est soumise `a la seule force
~
f; la relation fondamentale de la dynamique appliqu´ee `a la particule M2dans le r´ef´erentiel
galil´een (RG) nous donne donc
d~p2
dt RG
=−→ f , soit µd~v
dt RG
=−→ f .
Ainsi, la r´esolution de cette ´equation nous permet de d´eterminer la trajectoire du point M.
3f. Les trajectoires de M1et M2se d´eduisent de la trajectoire de M`a l’aide des relations
(1) et (2) et en utilisant −−→ GM =−−−−→ M1M2:
−−−→
GM1=−m2
m1+m2
−−→
GM,
−−−→
GM2=m1
m1+m2
−−→
GM.
4

Les trajectoires de M1et M2sont homoth´etiques de celle de M.
4a. La force de gravitation −→ fs’´ecrit ~ f=−Gm1m2/r2−→ ur.
L’application du th´eor`eme du moment cin´etique de la particule Men Gdans RGdonne
d−→ LG
dt =−−→
GM ∧~ f=~ 0.
Le moment cin´etique de cette particule est donc une constante du mouvement
−→
LG=−−→ GM ∧µ−→ v=−−→ cstte,
soit 
−→
LG=µCa.
Nous en d´eduisons que
– La trajectoire de la particule est plane dans le plan perpendiculaire `a −→ LG, passant
par G(soit ici le plan zGx).
– Le mouvement suit la loi des aires ; en effet nous avons
−→
LG=r−→ ur∧µh˙r−→ ur+r˙ θ−→ uθi=µr2˙ θ−→ ur∧−→ uθ=µCa−→ ur∧−→ uθ,
soit
Ca=r2˙ θ.
La quantit´e r2dθ repr´esente le double de l’aire balay´ee par le vecteur −−→ GM pendant la dur´ee
dt ; la vitesse ar´eolaire dS/dt =r2˙
θ/2 est constante au cours du mouvement.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique, nous avons
µd−→
v
dt =−→
f
=−Gm1m2
Ca
˙
θ−→ ur
=Gm1m2
Ca
d−→ uθ
dt .
Ceci donne apr`es int´egration
−→
v=Gm1m2
µCa
(−→ uθ+−→ e).(3)
Le vecteur −→ ed´esigne une constante d’int´egration. Pour trouver l’expression de −→ rcalculons
le produit scalaire
−→
v .−→ uθ=r˙ θ=Ca
r=Gm1m2 µCa
(1 + −→ e .−→ uθ).
5