Changement de bases

Changement de bases
1. Position du problème
On considère un espace vectoriel de dimension, dont on connaît une base 
On considère une famille de  vecteurs de cet espace vectoriel 
On appelle  la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs
 dans la base 
Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a
La matrice  sera égale à :   
Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille
 est une base de l'espace vectoriel.
La matrice  est alors appelée matrice de passage de la base  à la base 
2. Rôle de 
Reprenons l'exemple précédent. La matrice  est inversible et l'on a :
Quelle est la signification de cette matrice ?
On peut formellement écrire :
Autrement dit 
On a 
Et donc 
Ce qui donne
On en tire

Ce résultat est tout à fait général.
En dimension, si l 'on a : 
La matrice  est égale à
On a
Ce qui donne   
Si la matrice est inversible on aura encore
Et donc   
La matrice  permet donc d'exprimer les composantes des vecteurs  dans la nouvelle base
3. Formule de changement de base.
On considère un vecteur  s'écrivant 
dans la base 
Ce même vecteur  s'écrit 
dans la base 
Quel lien a-t-on entre les réels  et les réels  ?
Appelons  la matrice de passage de  à 
Avec les notations de la section précédente, posons    
On a dans la base 

On a donc :
Donc 
En pratique, nous connaissons les "anciennes composantes" :  et nous voulons déterminer les
nouvelles (celles que l'on a dans la nouvelle base : ).
On a
Et donc
Synthétisons tout cela.
Appelons 
 et 
. On a
Prenons un exemple.
On considère l'espace vectoriel  rapporté à la base canonique. On considère les vecteurs
Montrer que la famille  est une base de 
On considère alors le vecteur 
Exprimer les composantes de  dans la base 
On a   
Cette matrice est inversible et l'on a   
On a  Posons 
On a

Donc 
4. Changement de bases et endomorphisme
On considère un espace vectoriel  dont on connaît une base 
Soit  un endomorphisme de  et  sa matrice dans la base .
Les colonnes de la matrice  sont donc formées par les composantes des vecteurs  dans
la base .
Si  est un vecteur de  dont l'image est le vecteur  de  si l'on associe le vecteur colonne  à  et le
vecteur colonne  à  l'égalité  se traduit par :
Considérons une autre base de 
Appelons  la matrice de l'application  dans cette nouvelle base.
Les colonnes de la matrice  sont formées par les composantes des vecteurs  exprimées
dans la base ', c'est-à-dire en fonction des vecteurs 
Le même vecteur  précédent et son image  ont de nouvelles composantes dans la base '.
Appelons  et  les deux vecteurs colonnes formés par les composantes de  et de  dans la base '.
Soit enfin  la matrice de passage de  à ', c'est-à-dire la matrice dont les colonnes sont formées par
les composantes des vecteurs  dans la base .
Nous avons vu que pour  on a 
De même pour  on aura 
L'égalité  se traduit dans la base ' par :
On a aussi 
On a donc pour tout vecteur  dont  est le vecteur colonne associé :
Ce qui conduit à : 
En reprenant les données de l'exemple précédent, considérons l'endomorphisme  de  dont la
matrice est :   
On a donc 
Calculons le produit  On a

La matrice obtenue est la matrice de l'application  dans la base 
On a donc 
Cette matrice n'est pas vraiment plus simple que la matrice , l'intérêt du changement de base n'est
pas vraiment évident.
Considérons maintenant l'endomorphisme φ dont la matrice dans la base  est :
Calculons 
On a cette fois-ci une matrice bien plus simple.
En particulier cette matrice est inversible, ce qui implique que l'application  est bijective et comme
cette propriété est propre à l'application, elle ne dépend pas de la base dans laquelle on la découvre.
Et donc en particulier, cela signifie que la matrice  est inversible.
Examinons un troisième exemple.
Considérons l'endomorphisme  de  dont la matrice dans la base  est :
Dans la base  sa matrice sera
Pas vraiment plus simple que 
Considérons maintenant les vecteurs 
On peut vérifier que cette famille est libre et qu'elle forme donc une base de 
La matrice de passage de  à  est :
Elle est inversible et