Applications linéaires

Applications linéaires
I) Applications linéaires - Généralités
1.1) Introduction
L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel.
Elle traduit la stabilité par combinaison linéaire.
Définition
Soit E et F deux espaces vectoriels (on supposera que l'addition est notée de la même façon
dans ces deux espaces). Soit une application de E dans F.
On dit que f est une application linéaire de E dans F si elle possède les propriétés suivantes :
On a alors la caractérisation suivante :
Théorème
Soit E et F deux espaces vectoriels. Soit f une application de E dans F.
f est une application linéaire si et seulement si 
Sens direct :
Si  est une AL, alors  et  et .
Donc 
Sens réciproque
Si 
on aura en particulier pour 
et pour 
Une forme plus condensée
Théorème
Soit E et F deux espaces vectoriels. Soit f une application de E dans F.
f est une application linéaire si et seulement si 
Sens direct :
Si  est une AL, alors  et  
Donc 

Sens réciproque
Si 
on aura en particulier pour 
et pour 
1.2) Compatibilité avec la structure d'espace vectoriel
Deux résultats sont utiles. Ils concernent les opposés et l'élément neutre.
Théorème
Soit une AL de E dans F. Alors 
On a évidemment 
Théorème
Soit  une AL de E dans F, alors 
On a pour tout  dans E,
Une conséquence importante : autre caractérisation d’une AL
Théorème
Soit E et F deux espaces vectoriels. Soit f une application de E dans F.
f est une application linéaire si et seulement si 
Sens direct :
Si  est une AL, alors  et  
Donc 
Sens réciproque
Si 
on aura en particulier pour 
et pour 
Or si , alors pour  et , on a
Or

Donc 
Et donc en prenant 
1.3) Exemples d'applications linéaires
Exemple 1
On considère l'ensemble  et l'application de cet ensemble dans  définie de la façon suivante
Si  
 est une application de l’espace vectoriel  dans l’espace vectoriel .
On a
Exemple 2
On considère les ensembles ³ et ² (qui sont des ev) et l'application  de ³ dans ² définit par :
Faisons la démonstration en deux étapes.
Soit  et  deux vecteurs de
On a 
Si λ est un réel quelconque et  un vecteur de  on a
L'application est linéaire.
Exemple 3
On considère l’ensemble des fonctions dérivables sur . Soit  cet ensemble.
Nous savons que cet ensemble est un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions
de  dans . A ce titre c’est un espace vectoriel.
Soit  l’application de  dans  qui à toute fonction  de () fait correspondre la fonction
 de 
Soit  et  deux fonctions de  et α et β deux nombres réels.

On a 
L’application  est donc linéaire.
Exemple 4
On considère l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 : 
On définit sur cet espace vectoriel une application notée définie de la façon suivante :
Si ,  est la fonction  définie pour tout réel  par :
Nous savons que si  est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3,  est un polynôme de degré
inférieur ou égal à 2. L’application  est une application polynôme de degré inférieur ou égal
à 3.
 apparaît alors comme la somme de deux polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Donc  est une
application de l’espace vectoriel  dans lui-même.
Soit  et  deux éléments de  et  Soit α un nombre réel quelconque.
On aura pour tout réel  
Soit  et 
On a pour tout réel  
On a donc 
Et donc 
L’application  est une application linéaire de  dans 
On dit que c’est un endomorphisme de 
Exemple 5
Au collège on appelait application linéaire toute application de  dans  de la forme :
Une application linéaire est bien… linéaire.
En effet  a une structure d’espace vectoriel.
On a pour tout couple de réels  et pour tout nombre réel λ :
Mais dans , ces applications sont les seules applications linéaires…
Una application affine n’est pas linéaire.
Prenons 
La fonction carrée n’est pas linéaire : si  on a par exemple :

Donc 
1.4) L'ensemble des applications linéaires
On note  l'ensemble des applications linéaires de l’espace vectoriel E dans l’espace vectoriel F.
On a alors le résultat suivant :
Théorème
) a une structure d'espace vectoriel sur .
On peut en effet définir la somme de deux applications linéaires de E dans F de la façon suivante :
Si , l’application somme est notée  et est définie par
On peut également définir le produit par un réel d’une application de  de la façon suivante :
Si  et si  l’application notée  est définie par :
On peut remarquer que ces deux définitions sont celles que l’on rencontre habituellement pour parler
de fonction somme de deux fonctions, et fonction produit par un réel.
L’ensemble des applications linéaires de E dans F est un sous-ensemble de l’espace vectoriel des
fonctions de E dans F (les applications linéaires sont des fonctions particulières de E dans F).
Il est non vide, puisque la fonction nulle de E dans F est une application linéaire.
Notons  cette application nulle de E dans F. C’est l'application définie par :
Soit un couple d'éléments de E et α un nombre réel.
Et 
Donc 
Montrons que l'ensemble  est stable par addition :
Soit  et  deux éléments de  soit  et  deux éléments de E et α un réel.
On a par définition de l’application somme :
Or les applications  et  sont linéaires donc
On en déduit que 
L’application  est donc linéaire : l’ensemble  est stable par addition.