L`oscillateur harmonique amorti

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Systèmes oscillants
Oscillateur harmonique amorti, oscillations libres amorties
L'objet de cette ressource est l'étude des systèmes physiques, de type mécanique,
électrique ou microscopique, se comportant comme des oscillateurs libres amortis
et décrits par le modèle de l'oscillateur harmonique amorti.
Prérequis indispensables :
 Savoir définir un système physique oscillant.
 Connaître le modèle de l'oscillateur harmonique.
 Savoir appliquer le Principe fondamental de la dynamique à un système
mécanique.
 Savoir appliquer la loi des mailles à un circuit électrique et exprimer les
différences de potentiel aux bornes d'une bobine, d'un condensateur et d'une
résistance.
 Connaître les expressions des énergies cinétique, potentielle élastique et
mécanique.
 Connaître les expressions des énergies emmagasinées dans une bobine et
dans un condensateur, dissipée dans une résistance.
 Savoir résoudre les équations différentielles du second ordre, linéaires, à
coefficients constants, sans second membre.
Objectifs :
 Savoir décrire le modèle de l'oscillateur harmonique amorti et savoir
l'appliquer à l'étude de systèmes physiques oscillants.
 Savoir étudier les réponses de ces systèmes, en tenant compte des paramètres
caractéristiques et des conditions initiales, et cela pour des excitations
diverses.
 Savoir étudier l'énergie de tels systèmes.
Temps de travail prévu : 120 minutes

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SOMMAIRE
RAPPEL PRELIMINAIRE .................................................................................................................. 3
L'OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI .................................................................................. 4
Présentation .......................................................................................................................................... 4
Approche analytique ............................................................................................................................. 5
Approche énergétique ........................................................................................................................... 5
EXEMPLES ............................................................................................................................................ 6
Oscillateur mécanique : système amorti [masse, ressort] horizontal ..................................................... 6
Autres exemples d'oscillateurs mécaniques .......................................................................................... 8
Oscillateur électrique : circuit série (R, L, C) ........................................................................................... 9
OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES ........................................................................................... 10
Résolution de l'équation différentielle ................................................................................................ 10
Régimes d'évolution ............................................................................................................................ 12
Expressions des constantes ................................................................................................................. 14
Réponses d'oscillateurs harmoniques amortis ..................................................................................... 16
Etude de la forme de la réponse d'un oscillateur harmonique amorti en fonction des conditions
initiales ................................................................................................................................................ 17
GRANDEURS CARACTERISTIQUES ........................................................................................... 20
La pseudo-période ............................................................................................................................... 20
Le décrément logarithmique ............................................................................................................... 21
La constante de temps et le temps de relaxation ................................................................................ 21
Le facteur de qualité ............................................................................................................................ 22
Conclusion ........................................................................................................................................... 23
ETUDE DE L'ENERGIE ................................................................................................................... 24
Energie dissipée, facteur de qualité ..................................................................................................... 24
ANALOGIE ENTRE OSCILLATEURS MECANIQUE ET ELECTRIQUE ................................. 25
Oscillateurs analogues ......................................................................................................................... 25

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Rappel préliminaire
La variable caractéristique du système physique étudié est notée d'une façon
générale q lorsque le type du système (mécanique, électrique...) n'est pas précisé.
Suivant le type de système, q représente la position d'un point matériel, une
intensité ou une tension électrique, la charge portée par un condensateur, un
moment dipolaire, une densité moyenne d'électrons dans un plasma...
Lorsque le type du système est défini, la notation correspondante de q est utilisée.
La fonction décrit l'évolution du système au cours du temps.
Les dérivations première et seconde par rapport au temps sont notées
respectivement :
et .
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L'oscillateur harmonique amorti
L'oscillateur harmonique amorti
Présentation
Considérons un système physique dont les oscillations sont décrites par la variable
dynamique , le système constitue un oscillateur harmonique amorti si
satisfait à l'équation différentielle :
ou
où et désignent respectivement la pulsation propre et le coefficient
d'amortissement. et sont deux constantes positives caractéristiques du
système, ces deux constantes s'expriment en .
La notation est également utilisée pour désigner le coefficient d'amortissement.
La solution de l'équation différentielle (ou réponse de l'oscillateur) décrit les
oscillations libres et amorties du système. q s'exprime en unité SI de la grandeur
physique représentée. L'oscillateur évolue suivant un régime transitoire libre du
second ordre.
Remarquons que si , on retrouve le modèle de l'oscillateur harmonique.
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L'oscillateur harmonique amorti
Approche analytique
Mathématiquement, l'équation précédente, , est une
équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, de forme
générale :
En identifiant terme à terme les deux types d'équations mathématique et physique,
il vient : , , et .
Les expressions de la solution générale se déduisent de la résolution de
l'équation différentielle. Elles sont exposées par la suite.
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L'oscillateur harmonique amorti
Approche énergétique
A l'instant initial, l'excitation fournit au système une quantité d'énergie : le système
est mis en oscillation.
L'énergie décroît ensuite en fonction du temps, jusqu'à une valeur nulle : le système
perd de l'énergie par des phénomènes de dissipation (amortissement, frottement,
effet Joule...).
Les oscillations libres des systèmes physiques se font en général avec une telle
décroissance de l'énergie.
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