COURS Chap 10 P Chute verticale d`un solide I. Champ de

Chap 10 P
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Lycée J. CURIE
Terminale S
Année scolaire 2008-2009
COURS Chap 10 P
Chute verticale d’un solide
I. Champ de pesanteur
I.1. Force de pesanteur
Sur Terre et à son voisinage, un objet est soumis à une force de pesanteur appelé son poids
P
. Cette force se
confond avec la force d’attraction gravitationnelle
F
, que la Terre exerce sur l’objet. En réalité, il existe entre
les deux forces un petit écart, dont on ne tiendra pas compte en classe de Terminale ; cet écart est dû au
mouvement de rotation de la Terre et à l’attraction gravitationnelle des astres voisins.
Les caractéristiques du poids
P
sont :
- origine : le centre de gravité de l’objet
- direction : la verticale du lieu
- sens : du haut vers le bas
- intensité : P = mg. Avec P en N, m en kg et g, intensité de la pesanteur au lieu considéré en N.kg-1 ou m.s-2
(d’après la deuxième loi de Newton )
Remarque : L’intensité de la force de gravitation exercée par la Terre sur un objet de masse m est donnée par la relation :
2
Terre objet
Terre
mm
FG
d
. En réalité, il existe entre cette force et le poids un petit écart, dont on ne tient pas compte en TS. Il est dû au mvt
de rotation de la Terre et à l’attraction gravitationnelle des astres voisins.
I.2. Champ de pesanteur
La pesanteur se faisant ressentir dans tout l’espace autour de la Terre, on dit qu’il existe un champ de
pesanteur. Ce champ est vectoriel, puisqu’en chaque point il a une valeur, une direction et un sens.
Le vecteur
g
, appelé champ de pesanteur, est défini par la relation :
P = m g
La direction et le sens du champ de pesanteur sont les mêmes que celles du poids.
Son intensité (ou sa valeur) encore appelée intensité de la pesanteur est :
P
g = m
et comme F = P, il vient
2Terre
Terre objet
m
gG
d
, où G est la constante de la gravitation universelle
D’après l’expression précédente, g dépend de la distance Terre-objet et varie donc :
- avec l’altitude,
- avec la latitude du lieu considéré du fait de la non rotondité de la Terre, et de sa rotation.
Toutefois la variation de l’intensité du champ de pesanteur est négligeable dans un domaine où les
dimensions n’excèdent pas quelques kilomètres. On retiendra pour g à la surface de la Terre la valeur 9,80
m.s-2.
Localement le champ de pesanteur est considéré comme uniforme. Le vecteur
g
y est alors le même, en
direction, sens et intensité en tout point.
II. Forces exercées par un fluide
II.1. Forces de frottements
A la surface d’un objet en mouvement dans un fluide, apparaissent des forces de frottement s’opposant au
mouvement.
Ces forces sont modélisées par un vecteur global
f
dont les caractéristiques sont :
- origine : le centre d’inertie G
- direction : la verticale
- sens : opposé au mouvement
- intensité : f = kv n où k est une constante qui dépend de la forme de l’objet et de la nature du fluide, et n un
nombre, entier ou non, qui dépend entre autre de la vitesse de l’objet.

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On distingue essentiellement en classe de Terminale deux types de
frottements fluides:
pour des vitesses faibles, et des objets de petites dimensions, n = 1 et
f k v  
. Ce type d’écoulement du fluide autour de l’objet fait penser à
celui de l’eau sortant lentement d’une bouteille peu inclinée (écoulement
appelé laminaire A)
pour des vitesses élevées, et des objets de dimensions plus importantes, n =
2 et
2
f = - k' × v
. Ce type d’écoulement du fluide autour de l’objet fait
penser à celui de l’eau sortant d’une bouteille retournée (écoulement
turbulent B, où des turbulences apparaissent à l’arrière).
Dans les deux cas le coefficient k dépend de la nature du fluide et de l’objet (surface, profile, …)
II.2. Poussée d’Archimède
Qu’il soit immobile ou en mouvement, un objet placé dans un fluide est soumis de la part du fluide à des
forces de pression qui tendent à le faire « remonter ».
La résultante des forces exercées par un fluide (liquide ou gaz) sur un objet partiellement ou entièrement
immergé est appelée poussée d’Archimède, notée . C’est une force répartie, et de contact.
Le vecteur poussée d’Archimède a pour caractéristiques :
- Point d’application : le centre de poussée C qui est le centre de gravité du
fluide déplacé
- Direction : verticale
- Sens : vers le haut
- L’intensité  correspond au poids du volume de fluide déplacé :
 = fluide  V  g.
 est en Newton (N), fluide en kilogramme par mètre cube (kg.m-3), V le
volume du solide immergé dans le fluide en mètre cube (m3) et g l’intensité
de la pesanteur en newton par kilogramme (N.kg-1)
Remarque : on peut négliger la poussée d’Archimède devant le poids de l’objet , si P  103  
Ce qui est le cas de la plupart des objets placés dans l’air. Toutefois pour des objets creux ou en matériaux peu denses, la poussée
d’Archimède doit être prise en compte (ballon sonde, balle de tennis de table, montgolfière …).
III. Chute verticale sans frottements : chute libre
III.1. Définition
Un solide est dit en chute libre s'il n'est soumis qu'à son propre poids
P
Dans le vide la chute est toujours libre. Par contre dans un fluide la chute sera considérée comme libre si les
forces de frottements et la poussée d’Archimède sont négligeables devant le poids de l’objet. C’est le cas, par
exemple, pour une bille d’acier chutant dans l’air sur une courte durée.
III.2. Equations du mouvement
Le système étudié est un objet (bille) de masse m. Dans le cas général, on suppose qu’au départ son centre
d’inertie possède une vitesse initiale
0
v
verticale.
Le référentiel d’étude est un référentiel terrestre considéré comme galiléen vu la courte durée de la chute.
Remarques :
-
0
v
peut être dirigé vers le haut ou vers le bas. Sur l’axe vertical *Oz) la coordonnée du vecteur vitesse initiale peut donc être
positive ou négative, v0z =  v0.
- Si le système est lâché sans vitesse initiale alors
0 0v
Analyse physique :
Le bilan des forces extérieures appliquées sur le système :
D’après la deuxième loi de Newton :

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Pour tous les objets en chute libre, l’accélération est indépendante de la masse de l’objet et
égale à l’intensité du champ de pesanteur
Traitement mathématique :
Le repère d’espace orthonormé est
(O,i,j,k)
(fig ci-contre). La position initiale de G
correspond à l’origine O du repère.
La projection de la relation vectorielle
G
a g
sur les axes du repère donne les résultats
suivants :
La détermination des constantes d’intégration k1, k2, k3 se fait en tenant compte des conditions initiales à t=
0, soit
Les équations horaires du mouvement s’obtiennent par intégration de :
La détermination des constantes d’intégration k4, k5, k6 s’effectue à partir de conditions initiales, à t = 0,
soit :
Finalement, on obtient les équations horaires du mouvement :
 Le mouvement de G est bien vertical et rectiligne (puisque x(t) et y(t) sont nuls). De plus il est
uniformément accéléré puisque son accélération est constante.
()
x(t) =
OG y(t) =
z(t) =
t

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III.3. Importance des conditions initiales
Toutes les chutes libres obéissent à la même loi (
G
a g
). Si les trajectoires parcourues selon les situations
sont différentes, c’est parce que les conditions initiales sont différentes : par exemple une balle lancée
verticalement et vers le haut commence d’abord à monter du fait de la condition initiale, s’arrête, puis
descend. La décélération (phase montante puis l’accélération (phase descendante) ont lieu avec la même
accélération
g
.
Au plan mathématique, les conditions initiales interviennent dans la détermination de la valeur de la
constante d’intégration, à chacune des étapes de la résolution de l’équation différentielle.
IV. Chute verticale avec frottements
IV.1. Equation différentielle du mouvement
On s’intéresse au mouvement du système (bille) de masse m de volume V et de masse
volumique bille, lâchée sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique fluide. Le
référentiel d’étude est terrestre considéré comme galiléen.
Le bilan des forces extérieures appliquées à la bille est le suivant :
D’après la deuxième loi de Newton on a : (1)
Comme le mouvement n’a lieu que verticalement, on choisit un repère d’espace
(O, k)
avec un
axe [Oz) vertical, orienté vers le bas. La position initiale de G correspond à l’origine O du repère
(fig ci-contre).
Les coordonnées des vecteurs forces et du vecteur accélération dans ce repère sont :
La relation vectorielle (1) devient par projection sur [Oz) :
Soit :
Ou encore : équation différentielle du mouvement .
IV.2. Résolution par la méthode d’Euler
Pour résoudre cette équation différentielle du premier ordre en v(t), on utilise la méthode d’Euler qui
donne une valeur approchée de v(t). Elle suppose de connaître les conditions initiales, les données relatives
au fluide et à la bille (k, m, fluide et solide) et de déduire par un calcul itératif, les valeurs successives de la
vitesse au cours du temps.
Pour simplifier l’écriture de l’équation différentielle, on pose:
fluide
bille
ρk
A = g(1 - ) et B =
ρm
l’équation
devient alors :
n
dv = A - B v ( )
dt t
En prenant un intervalle de temps t petit (le pas d’itération),on peut écrire :
dv Δv
=
dt Δt
on a alors :
n
n
v = A - B v ( )
t t
soi t
n
n
v = (A - B v ( )) t = v( ) - v(t)   t t t

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Les différentes valeurs de la vitesse v au cours du temps sont :
à t0 = 0, v = v0 valeur connue.
à t1 = t0 + t  v1 = v0 + v = v0 + (A - Bv0n)t
à t2 = t1 + t  v2 = v1 + v = v1 + (A – Bv1n)t … etc pour les valeurs
suivantes…
Ces calculs successifs permettent d’obtenir à l’aide d’une calculatrice ou
d’un tableur la courbe v = f(t).
Remarque : choix du pas d’itération
La méthode est d’autant plus précise que le pas d’itération t est plus faible. Pour des
résultats satisfaisants on choisit généralement
τ
Δt 10
où
m
τ = k
est la constante de
temps.
IV.3. La vitesse limite
Sur la courbe représentée, la vitesse prend, une fois le régime initial (transitoire) écoulé, une valeur
constante. Cette vitesse est appelée vitesse limite vlim. Pour déterminer sa valeur, deux méthodes peuvent
être envisagées :
- La méthode graphique.
- La méthode analytique : quand la vitesse devient constante :
dv(t) = 0
dt
,
l’équation différentielle devient alors :
soit :
Et donc :
IV.4. Types de force de frottement
La détermination du nombre n dans l’expression de la
valeur de la force de frottement f = kvn se fait par
comparaison entre la courbe expérimentale et les courbes
théoriques obtenues par la méthode d’Euler, pour des
valeurs différentes de n (fig ci-contre).
Dans l’exemple de la figure, la force de frottement fluide est
du type f = kv puisque les courbes théorique et
expérimentale sont quasi confondues.
Vlim =