question de cours

DS N°1 TS spécialité mathématiques 11-10-10
QUESTION DE COURS :
Soit a un nombre entier relatif et b un nombre entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r , avec 0 ≤ r < b
Démontrer l’unicité de ce couple.
EXERCICE :
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres:
a = n3 - n2 - 12n et b = 2n2 - 7n - 4.
1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n - 4.
2. On pose α = 2n + 1 et β = n + 3. On note d le PGCD de α et β.
a) Établir une relation entre α et β indépendante de n.
b) Démontrer que d est un diviseur de 5.
c) Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n - 2 est
multiple de 5.
3. Montrer que 2n + 1 et n sont premiers entre eux.
4.
a) Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b.
b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n = 11 et n = 12.

CORRECTION DS N°1 TS spécialité mathématiques 11-10-10
QUESTION DE COURS :
Soit a un nombre entier relatif et b un nombre entier naturel non nul.
Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers relatifs tels que a = bq + r , avec 0 ≤ r < b
On suppose qu'il existe deux couples (q ; r) et (q'; r) tels que a = bq + r et a = bq' + r', avec
0 ≤ r < b et 0 ≤ r' < b.
Par soustraction membre à membre de ces deux égalités, on obtient
0 = b( q - q') + r - r' ou encore r' - r = b(q - q'), avec - b < r' – r < b.
Or 0 est le seul multiple de b strictement compris entre - b et b, donc r' = r et q = q'. D'où
l'unicité du couple (q; r).
EXERCICE :
1 . a = n (n² - n – 12) = n (n – 4) (n + 3) et b = (n – 4) (2n + 1)
Donc il existe un entier q1 (q1 = n(n + 3))tel que a = (n – 4)q1 et un entier q2 (q2 = 2n + 1)tel
que b = (n – 4)q2, donc (n – 4) divise a et b
2 .
a) 2β – α = 2(n + 3) – (2n + 1) = 5
b) d divise α et β donc d divise toute combinaison linéaire de α et β, en particulier, d
divise 2β – α
Donc d divise 5
c) si α et β sont multiples de 5, alors il existe des entiers k1 et k2 tels que :
α = 5k1 et β = 5k2, alors α – β = 5(k1 – k2)
Or α – β = 2n + 1 – (n + 3) = n – 2
Donc (n – 2) est un multiple de 5.
Si (n – 2) est un multiple de 5, alors il existe un entier k tel que : n – 2 = 5k,
c’est-à-dire n = 5k + 2
Alors α = 2n + 1 = 2(5k + 2) + 1 = 10k + 5 = 5(2k + 1)
Et α est un multiple de 5.
De même : β = n + 3 = 5k + 2 + 3 = 5k + 5 = 5(k + 1)
Et β est un multiple de 5.
Conclusion : les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n – 2 est multiple
de 5

3. Soit d1 le PGCD de 2n + 1 et n. On pose u = 2n + 1 et v = n
d1 est un diviseur commun à u et v donc à toute combinaison linéaire de u et v, en particulier
u – 2v = 2n + 1 – 2n = 1
d1 est un diviseur de 1 donc PGCD(2n + 1 ; n) = 1
et 2n + 1 et n sont premiers entre eux.
4.
a) PGCD(a ; b) = PGCD[n(n - 4)(n + 3) ; (n – 4)(2n + 1)]
PGCD (a ; b) = (n – 4)PGCD(n(n + 3) ; (2n + 1)]
PGCD(a ; b) = (n – 4)PGCD(n + 3 ; 2n + 1) car n et 2n + 1 sont premiers entre eux
D’après la question 2. c) PGCD(2n + 1 ; n + 3) = 5 si et seulement si n – 2 est
multiple de 5, sinon PGCD(2n + 1 ; n + 3) = 1
Conclusion : si n – 2 est multiple de 5, alors PGCD(a ; b) = 5(n – 4) ; sinon
PGCD(a ; b) = n – 4
b) Pour n = 11, a = 1078, b = 161,
1078
161
112
161
112
49
112
49
14
49
14
7
14
7
0
PGCD(1078 ; 161) = 7
n – 2 = 9, ce n’est pas un multiple de 5, donc PGCD(a ; b) = n – 4 = 7
Pour n = 12, a = 1440, b = 200,
1440
200
40
200
40
0
PGCD(1440 ; 200) = 40
n – 2 = 10, c’est un multiple de 5, donc PGCD(a ; b) = 5(n – 4) = 5 × 8 = 40