DS n˚2 de Physique et informatique Transport de charge et diffusion
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Chapitre PT1 et PT2 DS n˚2 DS n˚2 de Physique et informatique Transport de charge et diffusion thermique Durée : 4h L’énoncé comporte trois problèmes indépendants. Le candidat traitera au choix l’un des deux sujets suivants : . Sujet 1 : – Problème A : Simulation numérique du transfert thermique dans un mur en régime transitoire (CCP PC 2015) – Problème B : Thermique dans un réacteur à eau pressurisée (CCP PC 2013) . Sujet 2 : – Problème A : Simulation numérique du transfert thermique dans un mur en régime transitoire (CCP PC 2015) – Problème D : Loi de Moore(Centrale MP 2015) Le problème A doit être rédigé sur un copie séparée du reste de la composition. Le candidat peut traiter les différents problèmes du sujet qu’il aura choisi dans l’ordre souhaité. S’il repère ce qu’il lui semble être une erreur d’énoncé, le candidat est invité à le signaler sur sa copie en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. La calculatrice est autorisée. 1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016 Problème A SIMULATION NUMERIQUE DU TRANSFERT THERMIQUE DANS UN MUR EN REGIME TRANSITOIRE Un bonus sera accordé aux copies soignées avec des programmes bien commentés. Les candidats pourront utiliser les bibliothèques numpy et matplotlib.pyplot de Python. Une documentation simplifiée de plusieurs fonctions de ces bibliothèques est présente en annexes A et B en fin d'énoncé. On étudie les transferts thermiques dans le mur d’une maison, figure 1(a). La température à l’intérieur de la maison est constante dans le temps et égale à ܶ௧ ൌ ʹͲ°C. Aux temps négatifs ( ݐ൏ Ͳሻ, la température extérieure est égale à ܶ௫௧ଵ ൌ ͳͲ °C. A ݐൌ Ͳǡ elle chute brusquement à ܶ௫௧ଶ ൌ െͳͲ °C et elle reste égale à cette valeur aux temps positifs ( ݐ Ͳሻ, figure 1(b). On souhaite étudier l’évolution du profil de température dans le mur au cours du temps. (a) (b) Figures 1 (a) - Schéma du mur étudié. (b) - Evolution de la température extérieure au cours du temps. Le mur a une épaisseur ݁ ൌ ͶͲ . Les propriétés physiques du mur sont constantes : conductivité thermique ߣ ൌ ͳǡͷǤ ିଵ Ǥ ିଵ, capacité thermique massique ܿ ൌ ͳͲͲͲǤ ିଵ Ǥ ିଵ , masse volumique ߩ ൌ ʹͳͷͲǤ ିଷ . PARTIE I : ETUDE PRELIMINAIRE Dans cette partie, on établit l’équation gouvernant les variations de la température et on la résout en régime permanent. I.A. Equation gouvernant la température On suppose que la température dans le mur ܶ ne dépend que du temps ݐet de la coordonnée ݔǤ I.A.1. Donner sans démonstration l’équation générale portant sur la température qui décrit le transport de chaleur dans un solide en l’absence de source d’énergie. Comment cette équation se simplifie-t-elle sous les hypothèses de la question I.A.1 ? I.B. Conditions aux limites On envisage la condition aux limites suivante: la température est imposée aux limites du système. 1/6 Dans toute la suite, on adoptera des conditions aux limites de type température imposée. I.C. Solutions en régime permanent I.C.1. Résoudre l’équation obtenue à la question I.A.1. en régime permanent, avec les conditions aux limites de type températures imposées (I.B) pour un instant particulier négatif t1<0. PARTIE II : RESOLUTION NUMERIQUE II.A. Equation à résoudre On cherche à résoudre numériquement l’équation aux dérivées partielles : ߲ܶ ߲ ଶ ܶ ൌ ሺͳሻ ߙ ߲ ݔ߲ ݐଶ où ߙ est une constante. A l’équation (1) sont associées les conditions : ܶሺͲǡ ݐሻ ൌ ܶ௧ ݐ Ͳ ܶሺ݁ǡ ݐሻ ൌ ܶ௫௧ଶ ݐ Ͳ ܶሺݔǡ Ͳሻ ൌ ܽ ݔ ܾ א ݔሾͲǡ ݁ሿ II.A.1. Quelle est l’expression de ߙ en fonction des paramètres physiques du mur ? II.A.2. Exprimer ܽ et ܾ en fonction de ܶ௧ , ܶ௫௧ଵ et e. Pour effectuer la résolution de l’équation (1), nous utiliserons la méthode des différences finies présentée dans la partie II.B. II.B. Méthode des différences finies II.B.1. Discrétisation dans l’espace et dans le temps On divise l’intervalle ሾͲǡ ݁ሿ, représentant l’épaisseur du mur, en ܰ ʹ points, numérotés de Ͳà ܰ ͳ , régulièrement espacés de ο( ݔfigure 2, ci-dessous). Cette division est appelée « discrétisation ». La distance ο ݔest appelée le « pas d’espace ». A l’intérieur du mur (frontières intérieure et extérieure exclues) se trouvent donc ܰ points. On cherche à obtenir la température en ces points particuliers à chaque instant. Le temps est discrétisé en ݔܽܯݐܫintervalles de durée ο ݐet on ne s’intéresse au profil de température qu’aux instants particuliers ݐ ൌ ݇Ǥ οݐ. L’intervalle élémentaire de temps ο ݐest appelé le « pas de temps ». Figure 2 - Discrétisation spatiale dans la direction ݔ. 2/6 On note ܶ la température ܶሺݔ ǡ ݐ ሻ, évaluée au point d’abscisse ݔ à l’instant ݐ . De même, on note ܶାଵ ൌ ܶሺݔ οݔǡ ݐ ሻ et ܶିଵ ൌ ܶሺݔ െ οݔǡ ݐ ሻ. II.B.2. Méthode utilisant un schéma explicite Une étude qui n'est pas réalisée permet d'obtenir à partir de l'équation différentielle (1) l'expression suivante: ܶାଵ ൌ ܶݎିଵ ሺͳ െ ʹݎሻܶ ܶݎାଵ (2) avec L’équation (2) est appelée schéma numérique explicite. Si on connaît la température en tous les points ݔଵ ǡ ݔଶ ǡ ǥ ǡ ݔேିଵ ǡ ݔே à l’instant ݐ , on peut calculer grâce à elle la température en tous les points à l’instant ultérieur ݐାଵ Ǥ II.B.2.i. L’équation (2) est-elle valable dans tout le domaine, c’est-à-dire pour toute valeur de ? ݅ǡ Ͳ ݅ ܰ ͳ ? Que valent ܶ et ܶேାଵ II.B.2.j. Dans cette question, on élabore une fonction schema_explicite permettant de calculer la température en chaque point au cours du temps selon la formule (2). Parmi les variables d’entrée se trouvera un vecteur T0 de dimension ܰ, défini en dehors de la fonction, contenant les valeurs de la température aux points de discrétisation à l’instant initial. Au sein de la fonction, un algorithme calculera itérativement la température avec un nombre maximal d’itérations ItMax. En sortie de la fonction, on récupérera le nombre d’itérations réellement effectuées, nbIter et une matrice T_tous_k, de dimensions ܰ ൈ ݔܽܯݐܫ. Chaque colonne de cette matrice contient le vecteur ࢀ dont les éléments sont les valeurs de la température aux ܰ points ݔଵ ǡ ǥ ǡ ݔே (points à l’intérieur du mur) à l’instant ݇ : ܶଵ ܶ ۇଶ ۊ ࢀ ൌۈ ۋ ۈǥ ۋ ܶேିଵ ܶ ۉே ی et ܶଵଵ ܶଵଶ Ǥ Ǥ Ǥ ܶଵ ǥ ܶଵିଵ ܶଵ ଵ ଶ ܶଶ ܶଶିଵ ܶଶ ۊ ܶ ۇଶ ܶଶ T_tous_kൌ ۈ ۋ. ۈǥ ǥ ǥ ǥ ǥ ǥ ǥ ۋ ଵ ଶ ିଵ ܶேିଵ ܶேିଵ ܶ ܶ ܶ ǥ ேିଵ ǥ ேିଵ ேିଵ ܶே ܶேିଵ ܶே ی ܶ ۉேଵ ܶேଶ On souhaite arrêter le calcul lorsque la température ne varie presque plus dans le temps. Dans ce but, on évaluera la norme 2 de ࢀ െ ࢀିଵ à chaque itération. La définition de la norme 2 est rappelée à la question II.B.2.j.(vi). II.B.2.j.(i) Ecrire l’en-tête de la fonction en précisant bien les paramètres d’entrée et de sortie. II.B.2.j.(ii) Le schéma numérique (2) permet d’approcher avec succès la solution à la condition ݎ൏ ͳȀʹ. Programmer un test qui avertit l’utilisateur si cette condition n’est pas respectée. II.B.2.j.(iii) Affecter la valeur 2 000 à ItMax. Créer la matrice T_tous_k de dimensions ܰ ൈ ݔܽܯݐܫen la remplissant de zéros. 3/6 II.B.2.j.(iv) Remplacer la première colonne de T_tous_k par le vecteur des valeurs initiales T0. II.B.2.j.(v) Calculer le profil de température à l’instant ݇ ൌ ͳ ( ݐൌ οݐሻ, en distinguant le cas ݅ ൌ ͳ, le cas ʹ ݅ ܰ െ ͳ et le cas ݅ ൌ ܰ. Affecter ces valeurs à la deuxième colonne de T_tous_k. II.B.2.j.(vi) Ecrire une fonction calc_norme qui calcule la norme 2 d’un vecteur. On rappelle que la norme 2 d’un vecteur ࢂ s’écrit : ܸଵ ே ۊڭۇ ଶ ԡࢂԡଶ ൌ ඩ ܸ ࢂ ൌ ܸ ۈ ۋǤ ڭ ୀଵ ܸۉே ی II.B.2.j.(vii) Elaborer une boucle permettant de calculer itérativement le profil de température aux instants ݐ ൌ ݇Ǥ ο ݐavec ݇ ʹ. Cette boucle sera interrompue lorsque la norme 2 du vecteur ࢀ െ ࢀି deviendra inférieure à ͳͲିଶ ou lorsque le nombre d’itérations atteindra la valeur ݔܽܯݐܫ (prévoir les deux cas). Utiliser, pour cela, la fonction calc_norme définie à la question II.B.2.j.(vi). II.B.2.j.(viii) Ecrire la fin de la fonction afin de renvoyer tous les arguments de sortie définis au début de la question II.B.2.j. II.C. Programme principal II.C.1. Début du programme II.C.1.a. Définir les variables epais (épaisseur du mur), conduc (conductivité thermique), rho (masse volumique), Cp (capacité thermique massique), Tint (température intérieure), Text1 (température extérieure pour les instants ݐ൏ Ͳ), Text2 (température extérieure pour les instants ݐ Ͳ ) , N (nombre de points de calcul à l’intérieur du mur) et Dt (intervalle de temps élémentaire) et leur affecter les valeurs correspondant au problème physique. On prendra un nombre de points de discrétisation ܰ ൌ Ͳ et un pas de temps ο ݐde ʹͷ secondes. II.C.1.b. Calculer les coefficients a et b avec la formule trouvée à la question II.A.2. II.C.1.d. Calculer le vecteur des températures initiales T0. II.C.1.e. Calculer alpha selon la formule trouvée à la question II.A.1. Calculer r en utilisant la formule donnée dans la partie II.B.2. II.C.2. Calcul des températures II.C.2.a. Ecrire l'appel à la fonction schema_explicite. II.C.3. Analyse du résultat II. II.C.3.a. Ecrire un morceau de programme permettant de tracer sur un même graphique le profil de température en fonction de x tous les 100 pas de temps. II.C.3.b. Faire afficher le temps en heures au bout duquel le régime permanent est établi. 4/6 ANNEXES: BIBLIOTHEQUES UTILES DE PYTHON ANNEXE A : BIBLIOTHEQUE NUMPY DE PYTHON Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque numpy a préalablement été importée à l’aide de la commande : import numpy as np On peut alors utiliser les fonctions de la bibliothèque, dont voici quelques exemples : np.array(liste) Argument d’entrée : une liste définissant un tableau à 1 dimension (vecteur) ou 2 dimensions (matrice). Argument de sortie : un tableau (matrice). Description : fonction permettant de créer une matrice (de type tableau) à partir d’une liste. Exemple : np.array([4,3,2]) Ö [4 3 2] np.array([[5],[7],[1]]) Ö [[5] [7] [1]] np.array([[3,4,10],[1,8,7]]) Ö [[3 4 10] [1 8 7]] ሾǡ ሿ. Arguments d’entrée : un tuple contenant les coordonnées de l’élément dans le tableau ܣ. Argument de sortie : l’élément ሺ ͳǡ ͳሻ de la matrice ܣ. Description : fonction qui retourne l’élément ሺ݅ ͳǡ ݆ ͳሻ de la matrice ܣ. Pour obtenir toute la colonne ݆+1 de la matrice ܣǡ on utilise la syntaxe ܣሾǣ ǡ ݆ሿ. De même, pour accéder à l’intégralité de la ligne ݅+1 de la matrice ܣǡ on écrit ܣሾ݅ǡ ǣ ሿ. ATTENTION : en langage Python, les lignes d’un de dimension ൈ sont numérotées de à െ et les colonnes sont numérotées de à െ Exemple : A=np.array([[3,4,10],[1,8,7]]) A[0,2] Ö 10 A[:,2] Ö [10 7] A[1,:] Ö [1 8 7] 5/6 np.zeros((n,m)) Arguments d’entrée : un tuple de deux entiers correspondant aux dimensions de la matrice à créer. Argument de sortie : un tableau (matrice) d’éléments nuls. Description : fonction créant une matrice (tableau) de dimensions ݊ ൈ ݉ dont tous les éléments sont nuls. Exemple : np.zeros((3,4)) Ö [[0 0 0 0] [0 0 0 0] [0 0 0 0]] np.linspace(Min,Max,nbElements) Arguments d’entrée : un tuple de 3 entiers. Argument de sortie : un tableau (vecteur). Description : fonction créant un vecteur (tableau) de ܾ݊ ݏݐ݈݊݁݉݁ܧnombres espacés régulièrement entre ݊݅ܯetݔܽܯ. Le 1er élément est égal à ݊݅ܯ, le dernier est égal à ݔܽܯet les éléments sont espacés de ሺ ݔܽܯെ ݊݅ܯሻȀሺܾ݊ ݏݐ݈݊݁݉݁ܧെ ͳሻ : Exemple : np.linspace(3,25,5) Ö [3 8.5 14 19.5 25] ANNEXE B : BIBLIOTHEQUE MATPLOTLIB.PYPLOT DE PYTHON Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l’aide de la commande : import matplotlib.pyplot as plt plt.plot(x,y) Arguments d’entrée : un vecteur d’abscisses ( ݔtableau de dimension ݊) et un vecteur d’ordonnées ( ݕtableau de dimension ݊ሻ. Description : fonction permettant de tracer sur un graphique de ݊ points dont les abscisses sont contenues dans le vecteur ݔet les ordonnées dans le vecteur ݕ. Cette fonction doit être suivie de la fonction plt.show() pour que le graphique soit affiché. Exemple : x= np.linspace(3,25,5) y=sin(x) plt.plot(x,y) plt.xlabel(‘x’) plt.ylabel(‘y’) plt.show() plt.xlabel(nom) Argument d’entrée : une chaîne de caractères. Description : fonction permettant d’afficher le contenu de nom en abscisse d’un graphique. plt.ylabel(nom) Argument d’entrée : une chaîne de caractères. Description : fonction permettant d’afficher le contenu de nom en ordonnée d’un graphique. plt.show() Description : fonction réalisant l’affichage d’un graphe préalablement créé par la commande plt.plot(x,y). Elle doit être appelée après la fonction plt.plot et après les fonctions plt.xlabel et plt.ylabel. 6/6 I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 15 1318 – D’après documents fournis On peut alors utiliser les fonctions de la bibliothèque, dont voici quelques exemples : SESSION 2013 PCP2008 Problème B EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC ____________________ PHYSIQUE 2 N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ ϕ ϕ η = ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ρ ϕ ( ) ϕ ( + ) ϕ ( ) ϕ ( + ) ϕ ( ) ϕ ( + ) ϕ ( ) ϕ ∂ϕ ϕ ( + ) − ϕ ( ) = ⋅ ∂ ∂ϕ ϕ ( ) ∂ ∂ ϕ ( ) ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ ρ ⋅⋅ = ϕ + λ ⋅ ∆ ∆ ∂ ϕ ( ) ϕ ( ) = ϕ = θ ∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = ⋅ ⋅ + + ⋅ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∆ = − ∆ = − ∆ = − ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ∆ = − ϕ ( ) ∆ = − − = ⋅ ϕ ( = ) ∆ = − ϕ ( ) ∆ = − ϕ = = α ⋅ ( ( ) − ( ) ) α ∆ = − ϕ ( ) α ∆ = − α ∆ = − ∆ = ⋅ ϕ ( ) ∆ π π ⋅ ϕ ( ) = ⋅ ϕ ⋅ ϕ ϕ ( ) A4.4- On notera par la suite Dm (débit massique de fluide primaire) la grandeur donnée par la = ρ ⋅ ⋅ = ( ) = ⋅ ⋅ ϕ ( ) ( ) π ⋅ ( ) = + ⋅ ϕ ( ) ϕ ( = ) MP Calculatrices autorisées 2015 Problème C Loi de Moore Le premier circuit intégré composé de quelques transistors a été réalisé en 1958 par Jack Kibly. Un circuit intégré se compose d’une plaque de silicium dont on a localement modifié les propriétés électriques grâce au dopage afin de créer des transistors interconnectés. Depuis lors les avancées technologiques, ainsi que les avancées en physique fondamentale ont permis de multiplier le nombre de transistors sur un circuit intégré : de 2300 transistors en 1971, ce nombre est passé à 2,6×109 en 2013. L’augmentation des performances de stockage est allée de pair. Il fallait une petite armoire pour stocker un disque dur d’un mégaoctet en 1964 (figure 1), actuellement un téraoctet (1012 octets) tient dans une main. En 1965 Gordon Moore, un des fondateurs de la société Intel, énonce une conjecture (première loi de Moore) : La complexité des circuits intégrés d’entrée de gamme double tous les ans. Dans ce problème on étudie quelques aspects de la physique et de la chimie dans les ordinateurs, qui ont permis la réalisation de la loi de Moore jusqu’à nos jours. Figure 1 Disque dur de 1 mégaoctet en 1964 Conseils généraux − Les applications numériques seront faites avec un nombre de chiffres significatifs adapté. − Les données numériques sont fournies en fin d’énoncé. − Les quatre parties du problème sont largement indépendantes, mais les données numériques fournies dans les différentes parties sont susceptibles d’être utilisées dans toutes les parties. − Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas guidées. Elles nécessitent plus de temps pour élaborer un modèle ou un raisonnement, le barème en tient compte. III Conductivité dans les conducteurs Dans un conducteur, les porteurs sont les électrons (charge −𝑒, densité (nombre de porteurs pas unité de volume) 𝑛0 , masse 𝑚u� ), libres de se déplacer dans le solide, car ils ne sont pas attachés à un atome particulier. III.A – On envisage premièrement la conduction électrique dans le cuivre. La densité d’électrons libres dans un morceau de cristal de cuivre à température usuelle est 𝑛0 = 8,47 × 1028 m−3 . Une modélisation classique du comportement des électrons dans le métal a été établie par Drüde au xixe siècle. On considère tout d’abord que le morceau de cuivre de volume 𝒱 à la température 𝑇 n’est soumis à aucun champ électromagnétique extérieur. Dans le modèle de Drüde, les électrons libres du morceau de cristal de cuivre, se comportent comme les particules d’un gaz monoatomique occupant le volume 𝒱 à la température 𝑇 décrit par la théorie cinétique des gaz, les électrons rentrent en collision avec les atomes du métal et les impuretés diverses, ce qui dévie leur trajectoire qui est constituée d’une succession de segments de droites. 2015-02-17 09:56:09 Page 1/12 III.A.1) Donner l’expression de la valeur moyenne de l’énergie cinétique d’une particule d’un gaz monoatomique à l’équilibre thermique à la température 𝑇 . En déduire l’ordre de grandeur de la valeur de la vitesse microscopique d’un électron de conduction dans un cristal de cuivre à température usuelle, dans le modèle de Drüde. III.A.2) Dans un premier temps, on considère les électrons individuellement, comme 𝑣u�⃗ ′ des particules classiques, au niveau microscopique, en mouvement dans le référentiel 𝑡u�+1 du cristal. La figure 7 représente la trajectoire d’un électron, au niveau microscopique. On note 𝑡u� la date de la 𝑖 ème collision, 𝑣u�⃗ la vitesse à l’issue de cette collision et 𝑣u�⃗ ′ 𝑣u�⃗ 𝑣u�+1 ⃗ 𝑡 la vitesse juste avant la (𝑖 + 1)ème collision. u� a) Exprimer 𝑣u�⃗ ′ en fonction de 𝑣u�⃗ . b) Justifier qualitativment que la vitesse moyenne d’un électron est nulle. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 permanent et uniforme est désormais appliqué au III.B – Un champ électrique 𝐸 métal. En s’inspirant de la figure 7, représenter l’allure de la trajectoire d’un électron quelconque. Veiller à faire apparaître les différences entre les deux trajectoires, avec ou Figure 7 sans champ électrique appliqué et représenter le champ électrique. III.C – Pour la suite, on passe d’une description microscopique à une description ⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 . mésoscopique du déplacement des électrons dans le métal soumis à un champ électrique 𝐸 On définit ainsi la vitesse mésoscopique 𝑣(𝑀 ⃗ ) d’un électron qui se trouve au point 𝑀 , par rapport au référentiel ⃗⃗⃗ ⃗res ⃗ = − u�u� 𝑣.⃗ du cristal. L’action du réseau cristallin sur l’électron de masse 𝑚u� est modélisée par une force 𝐹 u� On admet que 𝜏 , appelé temps de relaxation, qui fait le lien entre la description microscopique et la description mésoscopique, peut être interprété comme la durée moyenne entre deux collisions successives subies par un électron de conduction. On se place en régime stationnaire. III.C.1) Expliquer le terme mésoscopique. III.C.2) En étudiant le mouvement d’un électron dans le référentiel du cristal, montrer que la vitesse 𝑣 ⃗ est ⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 . 𝜇 est appelée mobilité des électrons dans le métal. proportionnelle au champ électrique 𝑣 ⃗ = −𝜇𝐸 Exprimer 𝜇 en fonction de 𝑒, 𝜏 et 𝑚u� . III.C.3) On rappelle que le vecteur densité de courant volumique 𝚥,⃗ s’exprime par 𝚥 ⃗ = −𝑛0 𝑒𝑣(𝑀 ⃗ ). Après avoir énoncé la loi d’Ohm locale, déduire la conductivité 𝛾 du métal. III.C.4) La conductivité du cuivre vaut 𝛾 = 59,6×106 S⋅m−1 et on donne 𝑚u� = 9,1×10−31 kg et 𝑒 = 1,6×10−19 C. Calculer 𝜏 . En déduire la distance moyenne parcourue par un électron dans le métal. III.D – III.D.1) À quelle condition la loi d’Ohm locale établie précédemment est-elle encore valable lorsque le champ électrique varie en fonction du temps ? III.D.2) On sait aujourd’hui que la distance moyenne parcourue par un électron dans le cuivre à 300 K peut atteindre quelques milliers de paramètre de maille. Commenter. III.E – Le milieu conducteur est désormais soumis à un champ magnétique extérieur permanent, en plus du champ électrique qui provoque le déplacement des électrons. Un parallélépipède conducteur, représenté figure 8, de dimensions 𝑎 × 𝑏 × 𝐿 est traversé par un courant permanent de densité volumique 𝚥 ⃗ = 𝑗u� 𝑒u�⃗ qui entre par la ⃗⃗⃗ ⃗⃗0 = 𝐵0 𝑒u�⃗ , enfin, il règne face située en 𝑥 = 0 et sort en 𝑥 = 𝐿. Il est soumis au champ magnétique permanent 𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ un champ électrique permanent 𝐸 = 𝐸u� 𝑒u�⃗ + 𝐸u� 𝑒u�⃗ . 𝑦 𝚥⃗ 𝑏 ⃗⃗⃗ ⃗⃗0 𝐵 𝑥 𝑎 𝑧 Figure 8 III.E.1) On peut montrer que la conductivité du barreau s’écrit 𝛾 = 𝑗u� = | − 𝑒|𝑛0 𝜇. La conductivité est-elle 𝐸u� modifiée par la présence du champ magnétique ? III.E.2) Le dispositif ainsi décrit réalise un capteur à effet Hall. Quelle grandeur permet-il de mesurer ? 2015-02-17 09:56:09 Page 5/12 III.F – On considère désormais un milieu conducteur traversé par deux types de porteurs différents, indicés 1 et 2, de caractéristiques 𝑞1 , 𝑛1 , 𝜇1 et 𝑞2 , 𝑛2 , 𝜇2 . En déroulant exactement le même raisonnement que pour un unique type de porteurs de charges, on établit l’expression de la conductivité du milieu : 𝛾(𝐵0 ) = |𝑞1 |𝑛1 𝜇1 + |𝑞2 |𝑛2 𝜇2 − |𝑞1 |𝑛1 𝜇1 |𝑞2 |𝑛2 𝜇2 (𝜇1 ± 𝜇2 )2 2 𝐵0 |𝑞1 |𝑛1 𝜇1 + |𝑞2 |𝑛2 𝜇2 le signe + correspond au cas où les deux types de porteurs ont des charges de signes opposés. 𝛾(𝐵0 ) − 𝛾(0) où 𝛾(0) est la conductance du On définit la magnéto-conductance 𝑀 .𝐶. du milieu par 𝑀 .𝐶. = 𝛾(0) milieu quand aucun champ magnétique n’est appliqué. Retrouver le fait que la magnéto-conductance est nécessairement nulle quand il n’y a qu’un type de porteurs. La magnétorésistance géante (en anglais, Giant Magnetoresistance Effect ou GMR) est un effet quantique observé dans les structures de films minces composées d'une alternance de couches ferromagnétiques et de couches non magnétiques communément appelées multicouches. Elle se manifeste sous forme d'une baisse significative de la résistance observée sous l'application d'un champ magnétique externe. III.H – Le phénomène de magnétorésistance géante (GMR), a valu le prix Nobel à Albert Fert en 2007. Il est exploité dans les têtes de lectures des disques durs actuels. Au cœur d’ une tête de lecture avec GMR se trouve une structure nanométrique dont la résistance varie selon la valeur du champ magnétique extérieur appliqué, permettant ainsi de lire la valeur d’un bit inscrit sur un disque sous f orme d’un champ magnétique. Une augmentation significative des performances de stockages a été obtenue grâce aux TMR, Tunnel Magnéto Résistance, qui en plus de l’effet de magnétorésistance exploitent un effet tunnel au cœur de la structure nanométrique. Aucune connaissance préalable sur le phénomène de magnétorésistance et les milieux ferromagnétiques n'est nécessaire pour répondre à cette question. Les disques durs de 3,5 pouces tournent à vitesse constante, qu’on prendra égale à 10 000 tours par minute pour les applications numériques. Dans le cas des technologies GMR et TMR, donner la valeur du débit d’octets maximal à la lecture sur un disque (1 pouce = 2,54 cm, en anglais pouce se dit inch et s’abrège en in). Le candidat pensera à s'aider des documents donnés en annexe. IV Dissipation thermique dans les systèmes électroniques Les microprocesseurs des ordinateurs actuels sont constitués de plus d’un million de transistors répartis sur une plaque de silicium de quelques cm2. L’évacuation de la chaleur dégagée par le microprocesseur est indispensable pour le bon fonctionnement du composant. IV.A – On étudie tout d’abord le transport thermique à travers un objet solide ℓ parallélépipédique, de dimensions 𝑎 × 𝑏 × ℓ avec 𝑎 ≫ ℓ et 𝑏 ≫ ℓ, lorsque les faces repérées par les points 𝑂 et 𝐴 sont uniformément aux températures 𝑇1 et 𝑇0 respectivement (cf figure 9). L’objet est caractérisé par sa masse volumique 𝜇, sa capacité thermique massique 𝑐 et sa conductivité thermique 𝜆. L’origine de 𝑏 l’axe des 𝑥 est prise en 𝑂. 𝐴 𝑥 IV.A.1) Justifier qu’on puisse considérer que la température dans le solide est 𝑂 une fonction de 𝑥 et 𝑡 seulement. 𝑎 IV.A.2) Établir l’équation de la diffusion thermique vérifiée par la température 𝑇 (𝑥, 𝑡) dans le solide considéré à partir d'un bilan d'énergie. IV.A.3) Les températures 𝑇0 et 𝑇1 étant constantes, on étudie le régime stationnaire. Établir la loi d’évolution de la température dans le solide en fonction de 𝑥. Exprimer la puissance thermique Φ qui traverse le solide de 𝑂 vers 𝐴. 2015-02-17 09:56:09 Page 6/12 Figure 9 solide IV.A.4) Montrer qu’on peut relier la différence de températures 𝑇1 − 𝑇0 au flux Φ, de façon analogue à la loi d’Ohm en électrocinétique, faire apparaître la résistance thermique 𝑅th de l’objet parallélépipédique. IV.B – Lorsqu’un solide est placé dans l’air dont la température est uniforme égale 𝑦 à 𝑇u� , l’échange thermique qui s’effectue à l’interface entre l’air et le solide est conducto-convectif. C’est à dire que dans une mince couche de fluide en surface du solide le gradient de température entraîne un mouvement de convection du fluide. Il en air résulte une expression de la quantité de chaleur qui est transférée du solide vers l’air 𝑂 𝑥 pendant d𝑡 à travers une surface de section d𝑆 = d𝑦 d𝑧 : 𝑧 𝛿𝑄u�u� = ℎ(𝑇0 − 𝑇u� ) d𝑦 d𝑧 d𝑡 Φu�u� où ℎ est appelé coefficient de Newton, qui caractérise l’échange thermique entre le solide et le fluide et 𝑇0 est la température de surface du solide (cf. figure 10). Figure 10 IV.B.1) Donner l’unité de ℎ dans le système international d’unités. Définir puis exprimer la résistance thermique 𝑅ℎ qui modélise l’échange thermique conducto-convectif pour une surface 𝑆 de solide. IV.B.2) Dans le cas d’une interface silicium/air, ℎu� = 30 S.I. si l’air environnant est immobile et vaut ℎu� = 300 S.I. si l’air environnant est brassé, par exemple grâce à un ventilateur. On considère un parallélépipède de dimensions 𝑎 × 𝑏 × ℓ = 40 × 24 × 1,5 mm3 . Calculer les valeurs des résistances thermiques 𝑅th dans le cas où l’objet est en cuivre puis en silicium, calculer aussi 𝑅ℎ l’air étant immobile, commenter. IV.C – Dans le cas du microprocesseur dont la documentation est fournie en annexe, estimer la durée Δ𝑡 au bout de laquelle celui-ci est détruit en l’absence de dispositif de refroidissement. IV.D – Pour maintenir le microprocesseur à sa température de fonctionnement optimale ≃ 70 °C, on utilise un radiateur sur lequel souffle l’air brassé par un ventilateur d’une part et un dispositif appelé caloduc d’autre part, qu’on se propose d’étudier. Le caloduc est une enceinte métallique (elle est parfois en silicium) creuse, de volume constant, plate et longue, qui relie thermiquement le microprocesseur situé en 𝑀 au radiateur situé en 𝑅. La plupart des ordinateurs portables en sont équipés. La figure 11 à gauche représente le caloduc vu de l’extérieur. 𝑥 𝑦1 𝑦2 𝑥2 𝑥 𝑒 𝑦 𝑥1 𝑧 𝑀 𝑧 𝑅 𝑦2 𝑅 𝑦 Figure 11 Dans un premier temps, on étudie le radiateur (cf figure 11 à droite) qui est une pièce métallique qui présente une surface de contact avec l’air très importante, grâce à un grand nombre d’ailettes parallélépipédiques représentées en coupe sur la figure 11. La dimension des ailettes dans la direction 𝑒u�⃗ est notée 𝑙u� , 𝑒 selon 𝑒u�⃗ et 𝐻 = 𝑥2 − 𝑥1 selon 𝑒u�⃗ . Pour étudier l’évolution de la température dans les ailettes, on isole une ailette, que l’on assimile à un milieu unidimensionnel selon 𝑒u�⃗ . La température est notée 𝑇 (𝑥), elle est uniforme dans une section de l’ailette. Enfin, comme l’ailette est plongée dans l’air, qui est en permanence renouvelé grâce au ventilateur, on considère que l’air qui entoure l’ailette a une température 𝑇u� = 20 °C, et on se limite à l’étude du régime stationnaire. On note 𝑇u� la température au niveau du socle du radiateur, on considère que c’est la température en 𝑇 (𝑥1 ) sur chacune des ailettes. IV.D.1) Après avoir fait un schéma correspondant à l’étude d’une ailette considérée isolément, effectuer un bilan d’énergie sur une tranche de longueur d𝑥 de l’ailette. Déduire de l’équation précédente l’équation différentielle vérifiée par 𝑇 (𝑥) : 1 d2 𝑇 − 2 (𝑇 (𝑥) − 𝑇u� ) = 0 d𝑥 2 𝛿 où 𝛿 est à exprimer en fonction de 𝜆, 𝑒, 𝑙u� et ℎ. Résoudre cette équation en considérant que la longueur 𝐻 de l’ailette est très grande, c’est à dire 𝐻 → ∞. IV.D.2) Calculer la puissance thermique évacuée par le radiateur complet, constitué de 6 ailettes et donner la valeur de la résistance thermique équivalente au radiateur. 2015-02-17 09:56:09 Page 7/12 Données Constante d’Avogadro 𝒩u� = 6,02 × 1023 mol−1 Constante de Boltzmann 𝑘 = 1,38 × 10−23 J⋅K−1 Constante universelle des gaz parfaits 𝑅 = 8,31 J⋅K−1 ⋅mol−1 Masse d’un électron 𝑚u� = 9,1 × 10−31 kg Données sur le cuivre et le silicium Numéro atomique Masse atomique relative (g⋅mol-1) Cu Si 29 14 63,546 28,0855 Température de fusion (°C) 1083 1410 Température d’ébullition (°C) 2567 2355 État de la matière à 20 °C et 1 bar solide solide Densité à 20 °C (g⋅cm-3) 8,92 2,33 1 ou 2 -4 ou 4 Électronégativité 1,75 1,74 Rayon atomique (pm) 127,8 Niveaux d’oxydation Configuration électronique 10 [Ar]3𝑑 4𝑠 Énergie d’ionisation (eV) Fraction de masse dans le géosphère (%) Conductivité électrique (S⋅m-1) Conductivité thermique (W⋅m-1⋅K-1) Chaleur massique 2015-02-17 09:56:09 (J⋅kg-1⋅K-1) Page 9/12 117,6 1 [Ne]3𝑠 2 3𝑝 2 7,7264 8,1517 0,01 25,8 59,6×106 2,52×10−4 401 148 380 700 Spécification du microprocesseur i7-4500U 2015-02-17 09:56:09 Page 11/12 Les documents ci-dessous sont extraits d’un dossier de la revue « Reflets de la physique » du CNRS, consacré à la spintronique. Représentation schématique d’une tête de lecture et d’un disque dur Évolution des capacités de stockage des disques durs au cours du temps • • • FIN • • • 2015-02-17 09:56:09 Page 12/12
