5 - Université d`Orléans

SOM1MT05 Universit´e d’Orl´eans
Analyse Fonctionnelle 2014-2015
Cours, Chapitre n◦5
Luc Hillairet.
Espaces Lp
On ne consid`ere que des fonctions `a valeurs r´eelles (ou dans [0,∞]). Le cas des fonctions `a
valeurs complexes s’en d´eduit en s´eparant parties r´eelles et imaginaires. Dans premi`ere partie
on travaille dans un espace mesur´e quelconque puis, dans la deuxi`eme partie on sp´ecificiera `a
la mesure de Lebesgue 1sur Rk.
1 Approximation par des fonctions ´etag´ees
Soit (X, A, µ) un espace mesur´e.
D´efinition 1. Une fonction fsur Xest dite ´etag´ee lorsqu’il existe
1. Un ensemble d’indices Ifini,
2. Une collection (finie) (αi)i∈Ide nombres r´eels,
3. Une collection (finie) (Ai)i∈Id’´el´ements de A
tels que
f=X
i∈I
αi1Ai.
Le th´eor`eme suivant permet d’approcher toute fonction mesurable positive par une suite
de fonctions ´etag´ees.
Proposition 1. Soit f:X→[0,∞]une fonction mesurable positive. Il existe une suite
(fn)n≥0de fonctions ´etag´ees telle que
1. Pour tout x∈X, la suite (fn(x))n≥0est croissante,
2. Pour tout x∈X, la suite (fn(x))n≥0converge vers f(x).
Si de plus fest born´ee alors
sup {|fn(x)−f(x)|, x ∈X} −→
n→∞ 0.
D´emonstration. On construit fnde la fa¸con suivante. Pour nfix´e et 0 ≤k < n2non pose
An,k =x∈X, k
2n≤f(x)<k+ 1 2n
An,∞={x∈X, f(x)≥n}.
1. Lebesgue, Henri, 1875-1941 : math´ematicien fran¸cais.
1

On v´erifie que tous ces ensembles sont mesurables et donc la fonction
fn:=
n2n−1
X
k=0
k
2n1An,k +n1An,∞.
est bien ´etag´ee.
V´erifions que la suite (fn)n≥0est bien croissante. Si x∈An,k alors x∈An+1,2k∪An+1,2k+1
et on a l’alternative suivante :
x∈An+1,2k⇒fn(x) = k
2n=2k 2n+1 =fn+1(x)
x∈An+1,2k+1 ⇒fn(x) = k
2n<2k+ 1 2n+1 =fn+1(x)
Si x∈An,∞on utilise alors
An,∞=[
n≤k
2n+1 < n+1
An+1,k ∪An+1,∞.
Sur un tel An+1,k on a
fn(x) = n≤k
2n+1 =fn+1(x),
et sur An+1,∞on a
fn(x) = n < n + 1 = fn+1(x).
Pour tout xfix´e, si f(x) = ∞alors x∈TnAn,∞et donc fn(x) = npour tout net fn(x)
converge bien vers f(x).Inversement, s’il existe n0tel que f(x)≤n0alors, pour tout n≥n0
on a
|fn(x)−f(x)| ≤ 1
2n.
Si fest born´ee, on peut prendre n0ind´ependant de xet on a bien la convergence uniforme.
On en d´eduit le corollaire suivant
Corollaire 1. Tout fonction fmesurable de Xdans Rest limite d’une suite de fonctions
´etag´ees telles que
∀n≥0,∀x∈X, |fn(x)| ≤ |f(x)|.
D´emonstration. On d´ecompose fen partie positive et n´egative f=f+−f−et on applique
la proposition `a f−et f+.
L’int´egrale d’une fonction ´etag´ee est d´efinie par
ZX
f dµ := X
i∈I
αiµ(Ai),
avec la convention 0.∞= 0 (n´ecessaire pour g´erer l’annulation de fsur un ensemble de
mesure infinie).
Remarque : L’´ecriture d’une fonction ´etag´ee sous la forme Pi∈Iαi1Ain’est pas unique. Il
convient donc de montrer que la d´efinition de l’int´egrale ne d´epend pas de cette ´ecriture.
2

On d´efinit alors l’int´egrale d’une fonction `a valeurs dans [0,∞] par
ZX
f dµ := sup ZX s dµ, s fonction ´etag´ee t.q. 0 ≤s≤f.
On dit qu’une fonction `a valeurs positives est int´egrable lorsque
ZX
f dµ < ∞.
On d´efinit ensuite l’int´egrale des fonctions `a valeurs r´eelles en demandant que les parties
positives et n´egatives soient int´egrables et en posant
ZX
f dµ =ZX f+dµ −ZX f−dµ.
Exercice 1. Montrer `a l’aide de cette d´efinition les propri´et´es de base de l’int´egrale (lin´earit´e,
monotonie, restriction, fonctions positives d’int´egrale nulle)
2 Th´eor`emes de convergence
On rappelle les th´eor`emes de convergence suivants valables dans un espace mesur´e (X, A, µ).
Th´eor`eme 1 (Convergence monotone).2Soit (fn)n≥0une suite croissante de fonctions me-
surables `a valeurs dans [0,∞]alors (fn)n≥0converge simplement vers une fonction mesurable
f`a valeurs dans [0,∞]et
ZX
fndµ −→
n→∞ ZX
f dµ.
D´emonstration. Pour tout x, la suite (fn(x))n≥0est croissante. Elle converge donc vers un
´el´ement de [0,∞] que l’on note f(x).De plus, on a
f(x) = sup{fn(x), n ≥0}.
ainsi, pour tout r´eel a,
f−1(]a, ∞]) = [
n≥0
f−1
n(]a, ∞]),
ce qui assure la mesurabilit´e de f. Posons I:= RXf dµ ∈[0,∞] et J:= sup RXfndµ, n ≥0.
Pour tout non a fn≤fet donc ZX
fndµ ≤I.
Ce qui assure
J≤I.
Soit sune fonction ´etag´ee telle que s≤f. Fixons un 0 <t<1,et d´efinissons
Xn:= {x, fn(x)≥t·s(x)}.
2. Levi, Beppo, 1875-1961 :math´ematicien italien.
3

Comme (fn)n≥0est croissante et tend vers f, la suite (Xn)n≥0est une suite croissante d’en-
sembles telle que
[
n≥0
Xn=X.
On a alors
J≥ZX fndµ ≥ZXn fndµ ≥tZXn s dµ.
On observe que puisque sest ´etag´ee
ZXn
s dµ := X
i∈I
αiµ(Xn∩Ai).
Les propri´et´es de la mesure assure que µ(Xn∩Ai)−→
n→∞ µ(Ai) et donc
J≥t·ZX s dµ.
Il reste `a faire tendre tvers 1 puis `a prendre le sup sur spour trouver
J≥I
Une des cons´equences du th´eor`eme de convergence monotone est le lemme de Fatou.
Lemme 1 (de Fatou).3Soit (fn)n≥0une suite de fonctions mesurables `a valeurs dans [0,∞]
alors ZX
lim inf fndµ ≤lim inf ZX fndµ.
D´emonstration. On pose
gm:= inf{fn, n ≥m},
de sorte que (gm)m≥0est une suite croissante de fonctions mesurables `a valeurs dans [0,∞].
Comme, pour tout n, gn≤fnon a
ZX
gndµ ≤ZX fndµ.
Le passage `a la liminf pr´eserve cette in´egalit´e de sorte que
lim inf ZX gndµ ≤lim inf ZX fndµ.
D’apr`es le th´eor`eme de convergence monotone, la liminf de gauche est en fait une vraie limite
et vaut Zlim inf fndµ.
3. Fatou, Pierre, 1878-1929 : math´ematicien fran¸cais.
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Les deux r´esultats pr´ec´edents concernent les fonctions `a valeurs dans [0,∞].Pour les fonc-
tions `a valeurs r´eelles, le th´eor`eme de convergence domin´ee permet de traiter de nombreuses
situations.
Th´eor`eme 2 (Convergence domin´ee).Soit (fn)n≥0une suite de fonctions mesurables qui
converge simplement vers une fonction f. On suppose qu’il existe une fonction int´egrable
positive gtelle que
∀n≥0,∀x∈X, |fn(x)| ≤ g(x).
alors fest int´egrable et ZX
|fn−f|dµ −→
n→∞ 0.
On en d´eduit ZX
fndµ −→
n→∞ ZX
f dµ.
D´emonstration. On sait d´ej`a que la limite simple de fonctions mesurables est mesurable. En
passant `a la limite dans l’hypoth`ese de domination on a |f| ≤ g. Cela entraˆıne
ZX
|f|dµ ≤ZX g dµ < ∞,
et donc fest bien int´egrable. On pose hn:= 2g− |f−fn|.On obtient une suite de fonctions
positives qui converge simplement vers la fonction 2g. Le lemme de Fatou entraˆıne
ZX
2g dµ ≤lim inf ZX hndµ.
On a
lim inf ZX hndµ =ZX 2g dµ −lim sup ZX |fn−f|, dµ.
On obtient bien ZX
|fn−f|dµ −→
n→∞ 0.
La derni`ere propri´et´e s’obtient grˆace `a
ZX
fndµ −ZX f dµ ≤ZX |fn−f|dµ.
Remarque : On peut supposer la convergence de (fn)n≥0ainsi que la domination seulement
µpresque partout. Cela revient `a d´eterminer un ensemble de mesure nulle Aet `a appliquer
le th´eor`eme `a fn1Ac.
On notera aussi que le th´eor`eme de convergence monotone entraˆıne directement le corol-
laire suivant pour les s´eries de fonctions int´egrables positives.
Corollaire 2. Soit Pfnune s´erie de fonctions `a valeurs dans [0,∞]alors
ZXX
n≥0
fndµ =X
n≥0ZX
fndµ.
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