mouvement d`une particule chargee dans un champ electrique

MOUVEMENT D’UNE PARTICULE CHARGEE
DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME
I ) Champ électrique uniforme (Rappels)
Un champ électrique uniforme est créé par deux
plaques parallèles de charges opposées.
+
q > 0
→
→
U
F
E
Si U est la tension entre les deux plaques, la valeur
du champ électrique est donnée par la relation :
-
E =
U
d
La force électrique exercée sur une particule de charge q placée dans un champ électrique
→
E est donné par :
→
→
F = q E
→
→
Si q est positif, la force électrique F est dans le même sens que E .
→
→
Si q est négatif, la force électrique F est dans le sens contraire de E .
En norme, on aura :
F =
q E
Travail de la force électrique
→
Le travail de la force F lors du déplacement de la particule entre deux points A et B est tel
que :
→
→
→
→
 → 
F
=
F
.
AB
=
q
E
.
AB
W
 
A→B
donc
 → 
W
 F  = q UAB
A→B
Force électrostatique et poids
Dans le cas de petites particules chargées (électrons, protons, ions), le champ électrique
créé est en général suffisamment intense pour que le poids soit négligeable devant la force
électrique.
II) Action d’un champ électrique accélérateur sur une particule
chargée.
→
E
+
On place des particules de masse m et de charge q dans
-
→
un champ électrique uniforme E , les particules ont au
→
F
O
→
→
départ en O, une vitesse V 0 colinéaire à E .
→
A
v0
Système considéré : {particule} dans le référentiel terrestre
supposé galiléen.
q > 0
Le poids étant négligeable, il n’y a qu’une seule force
→
appliquée : la force électrique F
→
→
D’après le théorème du centre d’inertie, on a F = m a
→
Ainsi on aura : a =
→
→
→
et q E = m a
q →
E
m
→
→
→
→
→
a est donc colinéaire à E , V 0 et E étant colinéaires, a et V 0 sont donc colinéaires.
Le mouvement est donc rectiligne.
En norme l’accélération sera a =
q
E =
m
q U
md
L’accélération est constante, le mouvement est donc rectiligne uniformément varié.
Expression de la vitesse en A
On applique le théorème de l’énergie cinétique entre O et A.
On aura :
Donc
ECA - ECO =
 → 
WF
O→A
or
 → 
W
 F  = q UOA
O→A
1
1
m vA² m vB² = q UOA
2
2
et
vA² = vO² +
2 q UOA
m
Remarques
• On pouvait retrouver cette relation en utilisant les formules de cinématique du mouvement
rectiligne uniformément varié.
• Dans le cas d’un mélange de particules de même charge et de masses différentes
arrivant en O avec la même vitesse, les particules les plus légères arriveront en A avec la
plus grande vitesse.
III) Déviation de particules
On place des particules chargées dans un champ électrique uniforme.
→
→
Les particules possèdent une vitesse initiale V 0 orthogonale au champ électrique E
1) Dispositif
Ce dispositif est réalisé pour une particule de charge positive.
2) Etude de la trajectoire entre les plaques
Système considéré : {particule} dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Le poids de la particule est négligeable devant la force électrique, la particule n’est donc
soumise qu’à cette seule force électrique.
→
→
D’après le théorème du centre d’inertie, on a F = m a
→
Ainsi on aura : a =
→
q →
E
m
→
→
Si q est positif, l’accélération a est dans le même sens que E .
→
→
Si q est négatif, l’accélération a est dans le sens contraire de E .
En norme l’accélération sera a =
q
E =
m
q U
md
On choisit t = 0 au moment où la particule se trouve en O.
→
et q E = m a
Dans le cas du dessin (accélération vers le bas), les coordonnées dans le repère (O, x, y)
des vecteurs accélération, vitesse et position sont résumées dans le tableau suivant :
à t=0
vecteur
accélération
vecteur vitesse
→
→
a
v
OM
ax = 0
v0x = V0
x0 = 0
v0y = 0
y0 = 0
v x = V0
x = V0 t
ay = à un instant t
quelconque
q U
md
ax = 0
ay = -
q U
md
vy = -
vecteur position
→
q U
t
md
y = -
q U
t²
2 md
Equation de la trajectoire
En éliminant le temps t entre les deux équations horaires, on obtient :
y = -
q U
2 m d v0 2
x²
Il s’agit donc d’une trajectoire parabolique.
 xS = 
Au point de sortie S du condensateur, on aura 
q U ²
 yS = 2 m d v0²

→
La vitesse vS en S est tangente à la parabole en S
3) Etude du mouvement ultérieur
A partir du point S, la particule n’est plus soumise à aucune force (l’action du poids étant
→
→
négligeable), on a donc a = 0
→
Le mouvement est donc rectiligne uniforme de vitesse vS .
La trajectoire de la particule est donc la droite tangente à la parabole en S.
Cette droite passe par le milieu I du condensateur (résultat admis).
4) Expression de la déviation
I
2
α
La déviation ∆ observée sur l’écran
(distance le point d’impact A et le centre H
de l’écran) sera telle que :
H
yS
∆
S
tan α =
D
A
ainsi
or
yS =
q U ²
2 m d v0²
yS
∆
=
D
2
donc
∆ =
yS =
∆ 2D
q UD
m d v0²
Ce type de dispositif permet par exemple de séparer les particules selon leur vitesse.