Syst`emes Dynamiques Notes du cours de M2

Syst`emes Dynamiques
Notes du cours de M2
Rapha¨el KRIKORIAN
Universit´e Paris 6
Ann´ee 2011-2012

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Table des mati`eres
1 Introduction 5
1.1 Syst`emes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ensembles invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Facteurs et probl`emes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Dynamique Topologique 9
2.1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 D´efinitions (Rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Exemples ......................... 11
2.2 R´ecurrence............................. 13
2.3 Irr´eductibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Minimalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Transitivit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 M´elange topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 D´ecalages (ou shifts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Shift de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Sous-shifts de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Application `a la preuve du th´eor`eme de van der Waerden . . . 22
3 Mesures Invariantes 27
3.1 Mesures invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Existence de mesures invariantes pour les dynamiques
continues ......................... 28
3.1.3 Th´eor`eme de R´ecurrence de Poincar´e . . . . . . . . . . 29
3.1.4 Exemples ......................... 30
3.2 Ergodicit´e ............................. 31
3.2.1 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Les Th´eor`emes ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.1 Le point de vue spectral et le th´eor`eme de von Neumann 34
3.3.2 Convergence presque sˆure . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3

4TABLE DES MATI ` ERES
3.4 Liens avec la dynamique topologique . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Existence de mesures ergodiques . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2 Points g´en´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.3 Unique ergodicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 M´elange .............................. 45
4 Th´eorie spectrale 51
4.1 Le th´eor`eme spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Transformations `a spectre discret . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 M´elangefaible........................... 55
4.4 Facteur de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Couplages ............................. 60
4.6 M´elange faible d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Argument de Hopf et Th´eorie spectrale . . . . . . . . . . . . . 62
5 Entropie 65
5.1 Entropie m´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.1 Entropie d’une partition finie . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.2 Entropie d’une transformation . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.3 Exemples ......................... 73
5.1.4 Th´eor`eme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.5 Entropie d’un facteur, d’un produit et d’une puissance 75
6 Appendice 77
6.1 Th´eorie de la mesure et int´egration . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2 Applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3 Points de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Esp´erance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Chapitre 1
Introduction
1.1 Syst`emes dynamiques
Un syst`eme dynamique (ou plus simplement une dynamique) est la donn´ee
d’un ensemble X(l’espace des phases) et d’un groupe ou d’un semi-groupe
Gagissant 1sur X. La plupart du temps, le groupe est soit le groupe additif
(Z,+) et on parle alors de syst`eme dynamique discret soit le groupe additif
(R,+) et la dynamique est dite continue. On peut aussi consid´erer des dyna-
miques associ´ees `a d’autres groupes, par exemple des groupes de Lie comme
SL(2,R) agissant sur le demi-plan de Poincar´e par homographies 2. Les dy-
namiques non-inversibles sont ´egalement int´eressantes, mais alors l’action sur
Xest seulement associ´ee `a un semi-groupe.
Une action du semi-groupe additif (N,+) sur Xest ´equivalente `a l’it´eration
d’une application T:X→X: si T(x) = 1·xon a n·x=Tn(x) (Tnrepr´esente
l’it´er´e n-i`eme de T) ; Test inversible si et seulement si l’action pr´ec´edente
s’´etend naturellement en une action de (Z,+). Cet exemple sera le princi-
pal exemple que nous consid´ererons dans ce cours. Nous parlerons alors du
syst`eme dynamique (X, T ).
Une action du groupe additif (R,+) sur un ensemble Xest ´equivalente
`a l’action d’une famille `a un param`etre de bijection (Tt)t∈Rsur X: pour
1. L’action d’un groupe Gsur un ensemble Xest une application G×X→X, (g, x)7→
g·xtelle que pour tout (g, h)∈G2et tout x∈Xon ait g·(h·x) = (gh)·xet si e∈G
est l’´el´ement neutre e·x=x; quand Get Xsont munis d’une structure topologique et
quand l’application (g, x)7→ g·xest continue, on dit que l’action est continue.
2. Le groupe SL(2,R) est le groupe des matrices 2 ×2 `a coefficients r´eels et de
d´eterminant 1, tandis que le demi-plan de Poincar´e Hest l’ensemble des nombres com-
plexes z=x+iy, o`u y > 0 ; si a b
c d∈SL(2,R), l’action est donn´ee par a b
c d·z=
az+b
cz+d.
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