Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5

Chapitre 5
(≈4heures)
Analyse dimensionnelle
et similitude
2
2
Plan du chapitre 5
Plan du chapitre 5
Introduction et définitions
Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équations
de continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4. Exemples d’application.

3
3
Critères de similitude
Critères de similitude
D
L
Maquette (M)
Prototype
D
M
L
M
Similitude géométrique: (similitude des formes)
G
MM
L
L
D
Dκ==
(1)
Constante de proportionnalité
géométrique
4
4
Similitudes cinématique et dynamique:
La similarité cinématique et dynamique sont les deux autres
conditions à respecter avant de considérer que les deux
écoulements soient similaires. Les paramètres cinématiques
et dynamiques doivent avoir une certaine relation.
Comme dans le cas de la similitude géométrique (rapports de
longueurs), on devra avoir une relation pour la force (F), la
masse (m) et le temps (t).
tt
mm
F
F
t
M
mM
FM
κ=
κ=
κ
=
(2)
- Force:
- Masse:
- Temps:
κ
F
, κ
m
et κ
t
sont respectivement les constantes de
proportionnalité des forces, des masses et des temps.

5
5
(3)
pp
aa
VV
2
G
F
M
3
G
m
M
2
t
G
M
t
G
M
κ
κ
=
ρ
κ
κ
=ρ
κ
κ
=
κ
κ
=
- Vitesse:
- Accélération:
- Masse volumique:
- Pression:
À partir de ces expressions, on pourra obtenir tous les
rapports d’échelle maquette/prototype pour n’importe quel
paramètre cinématique ou dynamique et les propriétés des
fluides:
6
6
( )
κ
κ
κ=κ amF
2
t
G
mF
La loi de Newton s’applique, qu’on travaille sur le
prototype ou sur la maquette:
ma
F
=
M
M
M
a
m
F
=
et
(4)
En remplaçant F
M
, m
M
et a
M
, des équations 2 et 3, on
obtient:
On divise ensuite par F le membre de gauche et par (ma)
le membre de droite (puisque F = ma) :
(5)
(6)
2
t
Gm
F
κ
κ
κ
=κ
F
2
t
Gm
1
κκ
κ
κ
=
ou

7
7
Réarrangement de l’équation (6):
F
3
G
2
t
4
Gm
1
κκκ
κκ
=
Multiplions et divisons l’équation (6) par κ
G3
:
κ
κ
κ
κ
κ
κ
=
F
2
G
2
t
2
G
3
G
m
1
Séparation des termes:
(
)
(
)
(
)
FF
LLVV
1
M
22
M
22
MM
ρρ
=
κ
F
κ
G2
prototype
22
Maquette
22
LV
F
LV
F
ρ
=
ρ
(7)
8
8
L’équation (7) donne la condition pour avoir une similarité
dynamique entre le modèle et la maquette. Le paramètre
adimensionnel (F/ρV
2
L
2
) doit être le même à des positions
sur le prototype et sur la maquette géométriquement
similaires.
a) Cas où les forces de gravité sont importantes:
La force de gravité F = mg est proportionnelle à ρL
3
g. Si
on remplace dans l’équation (7), on aura:
prototype
22
3
Maquette
22
3
LV
gL
LV
gL
ρ
ρ
=
ρ
ρ
prototype
2
Maquette
2
gL
V
gL
V=
Nombre de Froude (Fr) (8)
En inversant et après simplification, on obtient:

9
9
b) Cas où les forces de pression sont importantes:
La force de pression est F = ∆pL
2
. Si on remplace dans
l’équation (7) on aura:
prototype
22
2
Maquette
22
2
LV
pL
LV
pL
ρ
∆
=
ρ
∆
Donc, pour des problèmes où les forces de gravité sont
importantes, le nombre de Froude doit être le même à des
positions géométriquement similaires sur le prototype et sur
la maquettes.
prototype
2
2
1
Maquette
2
2
1
V
p
V
p
ρ
∆
=
ρ
∆
Nombre d’Euler (Eu) (9)
En inversant et après simplification, on obtient:
10
10
Donc, pour des problèmes où les forces de pression sont
importantes, le nombre d’Euler doit être le même à des
positions géométriquement similaires sur le prototype et
sur la maquette.