Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5

Chapitre 5
(≈ 4heures)
Analyse dimensionnelle
et similitude
Plan du chapitre 5
Introduction et définitions
Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équations
de continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3.
Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4.
Exemples d’application.
2
Critères de similitude
Prototype
Maquette (M)
LM
L
DM
D
Similitude géométrique: (similitude des formes)
DM LM
=
= κG
D
L
(1)
Constante de proportionnalité
géométrique
3
Similitudes cinématique et dynamique:
La similarité cinématique et dynamique sont les deux autres
conditions à respecter avant de considérer que les deux
écoulements soient similaires. Les paramètres cinématiques
et dynamiques doivent avoir une certaine relation.
Comme dans le cas de la similitude géométrique (rapports de
longueurs), on devra avoir une relation pour la force (F), la
masse (m) et le temps (t).
- Force: FM = κ F F
- Masse: m M = κ m m
(2)
- Temps: t M = κ t t
κF, κm et κt sont respectivement les constantes de
proportionnalité des forces, des masses et des temps.
4
À partir de ces expressions, on pourra obtenir tous les
rapports d’échelle maquette/prototype pour n’importe quel
paramètre cinématique ou dynamique et les propriétés des
fluides:
- Vitesse:
VM =
κG
V
κt
- Accélération:
aM =
κG
a
κ 2t
- Masse volumique:
ρM =
κm
ρ
κ 3G
- Pression:
pM =
κF
p
κ G2
(3)
5
La loi de Newton s’applique, qu’on travaille sur le
prototype ou sur la maquette:
F = ma
et
FM = m M a M
(4)
En remplaçant FM, mM et aM, des équations 2 et 3, on
obtient:
κ F F = (κ m m )
κG
a
κ 2t
(5)
On divise ensuite par F le membre de gauche et par (ma)
le membre de droite (puisque F = ma) :
κF =
κm κG
κ 2t
ou
1=
κm κG
κ 2t κ F
(6)
6
Réarrangement de l’équation (6):
κ m κ G4
1= 2 3
κ t κG κF
Multiplions et divisons l’équation (6) par κG3:
Séparation des termes:
κ
1 = m3
κG
κ G2
κ 2t
κ G2
κF
κG2
1=
F
ρV 2 L2
(ρM ρ)(VM2 V 2 )(L2M L2 )
=
Maquette
FM F
F
ρV 2 L2 prototype
κF
(7)
7
L’équation (7) donne la condition pour avoir une similarité
dynamique entre le modèle et la maquette. Le paramètre
adimensionnel (F/ρV2L2) doit être le même à des positions
sur le prototype et sur la maquette géométriquement
similaires.
a) Cas où les forces de gravité sont importantes:
La force de gravité F = mg est proportionnelle à ρL3g. Si
on remplace dans l’équation (7), on aura:
ρL3g
ρL3g
=
ρV 2 L2 Maquette ρV 2 L2
prototype
En inversant et après simplification, on obtient:
V2
V2
=
Nombre de Froude (Fr) (8)
gL Maquette gL prototype
8
Donc, pour des problèmes où les forces de gravité sont
importantes, le nombre de Froude doit être le même à des
positions géométriquement similaires sur le prototype et sur
la maquettes.
b) Cas où les forces de pression sont importantes:
La force de pression est F = ∆pL2. Si on remplace dans
l’équation (7) on aura:
∆pL2
ρV 2 L2
=
Maquette
∆pL2
ρV 2 L2
prototype
En inversant et après simplification, on obtient:
∆p
2
1
2 ρV
=
Maquette
∆p
2
1
2 ρV
prototype
Nombre d’Euler (Eu) (9)
9
Donc, pour des problèmes où les forces de pression sont
importantes, le nombre d’Euler doit être le même à des
positions géométriquement similaires sur le prototype et
sur la maquette.
10
c) Cas où les forces de viscosité sont importantes:
Pour des fluides Newtoniens: τ = -µ(dV/dy).
La force de cisaillement est donnée par l’expression
suivante:
dV 2
∆V 2
F = τL2 = −µ
L = −µ
L
dy
∆y
Donc F est proportionnelle à µVL.
En remplaçant F par µVL dans l’équation (7), on aura:
µVL
ρV 2 L2
=
Maquette
µVL
ρV 2 L2
prototype
11
En inversant et après simplification on obtient:
ρVL
ρVL
=
µ Maquette
µ prototype
(10)
Nombre de Reynolds (Re)
Donc, pour des problèmes où les forces visqueuses sont
importantes, le nombre de Reynolds doit être le même à
des positions géométriquement similaires sur le
prototype et sur la maquette.
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Plan du chapitre 5
1.
2.
Introduction et définitions
Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équations
de continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3.
Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4.
Exemples d’application.
13
Notion de dimension
Les grandeurs physiques pour les systèmes
isothermes sont exprimées en fonction des
trois grandeurs fondamentales:
- La longueur: L
- Le temps : t
- La masse : M
(système: M, L, t )
On peut aussi choisir la force, F, à la place
de la masse,M, comme grandeur fondamentale
- La longueur:
- Le temps :
- La force
:
L
t
F
(système: F, L, t )
14
15
Théorème de Buckingham
(Théorème π)
Selon le théorème de Buckingham (ou
théorème π), dans un problème comprenant n
grandeurs physiques où il y a m dimensions
fondamentales, on peut réécrire ces grandeurs
physiques en (n-m) paramètres adimensionnels
indépendants.
m: Nombre de dimensions
i = n−m
i: Nombre de groupes
fondamentales
adimensionnels
nécessaires
n: Nombre de grandeurs
physiques
16
Théorème de Buckingham (suite)
Soient Α1, Α2, Α3,..., Αn les différentes grandeurs
physiques: comme la vitesse, la pression, la viscosité,
etc.
Entre toutes ces quantités, il y a une relation de la forme:
φ(A1 , A 2 ,..., A n ) = 0
Si Π1, Π2, Π3, ..., représentent les quantités
adimensionnelles parmi les quantités physiques Α1, Α2,
Α3,..., Αn, on peut alors écrire une équation de la forme:
f ( π1 , π 2 , π3 ,..., π n −m ) = 0
ou
π1 = f ( π 2 , π3 ,..., π n −m ) = 0
17
Les étapes de l’analyse dimensionnelle
Pour effectuer une analyse dimensionnelle, on doit considérer les neuf
étapes suivantes:
1. Dresser la liste de toutes les quantités physiques Ai et leur
dimension correspondante. Omettre toute quantité physique qui est
une fonction directe d’une ou d’autres quantités physiques.
Exemple: Si on a un écoulement dans un cylindre et qu’on a les
paramètres Q, D et <V>, on doit omettre le débit volumique, Q, ou la
vitesse moyenne, <V>, car Q = π<V>D2/4
2. Écrire la fonction
φ( A1 , A 2 ,..., A n ) = 0
3. Choisir les variables répétitives. Ces variables doivent contenir
toutes les m dimensions du problème. Souvent, on retient une
variable parce qu’elle déterminne l’échelle, une autre, parce qu’elle
détermine les conditions cinématiques; il faut une variable liée avec
la masse ou les forces du système.
Exemple: on peut retenir D, V et ρ comme variables fondamentales.
18
Les étapes de l’analyse dimensionnelle
4. Écrire les paramètres π en fonction des exposants inconnus:
π1 = V x D y ρ z µ = (Lt −1 ) Ly (ML−3 ) (ML−1t −1 ) = M 0 L0 t 0
1
1
1
x1
1
z1
S’assurer que toutes les quantités Ai sont incluses dans les
groupes πi.
5. Écrire les équations des paramètres π pour les exposants; on doit
obtenir une somme algébrique nulle pour chaque dimension.
6. Résoudre les équations simultanément.
7. Remplacer les exposants trouvés (x1, y1, z1,...) dans les expressions de
π (étape 4) pour obtenir les paramètres π sans dimension.
19
Les étapes de l’analyse dimensionnelle
8. Déterminer la fonction:
f (π1 , π 2 , π3 ,..., π n −m ) = 0
ou résoudre une valeur explicite de:
π1 = f (π 2 , π3 ,..., π n −m )
S’assurer que tous les paramètres πi sont indépendants les uns des
autres.
9. Mettre les résultats sous la forme de nombres sans dimension connus
(Re, Fr, Eu, etc.).
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Plan du chapitre 5
1.
2.
Introduction et définitions
Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équations
de continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3.
Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4.
Exemples d’application.
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Écoulement dans une conduite
cylindrique rugueuse
p1 + ρ gz1
L
p2 + ρ gz2
D
ρ,µ
e (rugosité)
Grandeurs:
Géométriques :
D, e, L
Physiques :
ρ, µ
Cinématiques et dynamiques:
V, ∆p
22
L’expérience montre que pour l’écoulement dans une
conduite:
∆P L = f (D, Q, ou V , ρ, µ, e )
où:
P/L: Perte de charge par unité de longueur
D
: Diamètre de la conduite
<V> : Vitesse moyenne (ou Q: Débit volumique)
ρ et µ : Masse volumique et viscosité dynamique.
e
: Rugosité moyenne de la conduite
Question:
En utilisant le théorème π, on vous demande de proposer
une forme pour présenter les résultats expérimentaux en
fonction de paramètres adimensionnels.
23
Inventaire des variables:
Variable
Perte de charge
Symbole Dimensions
(MLt)
ML-1t-2
∆P
<V>
Lt-1
Diamètre
D
L
Longueur
L
L
Rugosité
e
L
Viscosité
µ
ML-1t-1
Masse volumique
ρ
ML-3
Vitesse
24
On a 7 quantités avec trois dimensions (MLt). On
trouve donc (7 – 3 = 4) paramètres π, soient:
Π1, Π2, Π3 et Π4
Si on prend <V>, D et ρ comme variables qui se
répètent (car les trois contiennent les dimensions
fondamentales MLt).
Les nombres Π qu’on peut former sont les suivants:
π1 =< V > x D y ρ z ∆P = M 0 L0 t 0
1
1
1
π 2 =< V > x D y ρ z L = M 0 L0 t 0
2
2
2
π3 =< V > x D y ρ z e = M 0 L0 t 0
3
3
3
π 4 =< V > x D y ρ z µ = M 0 L0 t 0
4
4
4
25
Les nombres Π qu’on peut former sont les suivants:
π1 = (Lt −1 ) Ly (ML−3 ) (ML−1t −2 ) = M 0 L0 t 0
x1
z1
1
π 2 = (Lt −1 ) (L ) (ML−3 ) (L ) = M 0 L0 t 0
x2
y2
z2
π3 = (Lt −1 ) (L ) (ML−3 ) (L ) = M 0 L0 t 0
x3
y3
z3
π 4 = (Lt −1 ) (L ) (ML−3 ) (ML−1t −1 ) = M 0 L0 t 0
x4
y4
z4
26
. π1 = M ( z +1)L( x + y −3z −1) t ( −x −2 ) = M 0 L0 t 0
1
1
1
1
1
z1 + 1 = 0
z1 = −1
x1 + y1 − 3z1 − 1 = 0
y1 = 0
− x1 − 2 = 0
x1 = −2
π1 =
∆p
ρv 2
. π 2 = M (z )L( x + y −3z +1) t ( −x ) = M 0 L0 t 0
2
2
2
2
2
z2 = 0
z2 = 0
x 2 + y 2 − 3z 2 + 1 = 0
y 2 = −1
− x2 = 0
x2 = 0
π2 =
L
D
27
. π3 = M ( z )L( x + y −3z +1) t ( −x ) = M 0 L0 t 0
3
3
3
3
3
z3 = 0
z3 = 0
π3 =
y 3 = −1
x 3 + y 3 − 3z 3 + 1 = 0
x3 = 0
− x3 = 0
e
D
. π 4 = M ( z +1)L( x + y −3z −1) t ( −x −1) = M 0 L0 t 0
4
4
4
4
4
z4 + 1 = 0
z 4 = −1
x 4 + y 4 − 3z 4 − 1 = 0
y 4 = −1
− x 4 −1 = 0
x 4 = −1
π4 =
µ
1
=
ρ V D Re
28
Relation finale:
π1 = f (π 2 , π3 , π 4 )
∆P
L e 1
=
f
, ,
ρV 2
D D Re
29
Vidange d’un réservoir via une
conduite cylindrique verticale
Le liquide s’écoule d’un réservoir à
un débit volumique Q. Ce débit
dépend du niveau du liquide, h, du
diamètre, d, et de la longueur, L, de
la
conduite,
ainsi
que
de
l’accélération gravitationnelle, g.
On vous demande de trouver une
relation entre le débit Q et les
autres paramètres adimensionnels.
ρ, µ
H
L
d
Q
(Résolution en classe)
30
Inventaire des variables:
Variable
Symbole
Débit volumique
Q
Niveau du liquide
H
Diamètre_conduite
d
Longueur_conduite
L
Viscosité
µ
Masse volumique
ρ
Accélération_pesanteur
g
Dimensions
(MLt)
31
Écoulement à travers un filtre
Soit un écoulement laminaire
visqueux d’un liquide à travers un
filtre dont chaque maille a la forme
d’un triangle équilatéral de côtés s
(voir figure). On vous demande de
déterminer, par une analyse
dimensionnelle,
la
forme
de
l’équation du débit volumique d’un
liquide de viscosité dynamique µ qui
passe par ce filtre contenant n
mailles par unité de surface. On
considère qu’il y a une chute de
pression par unité de longueur du
filtre égale à ∆p/L.
(Résolution en classe)
s
D
32
Inventaire des variables:
Variable
Symbole
Débit volumique
Q
Diamètre_filtre
D
Perte de charge
∆p/L
Viscosité
µ
Côtés_mailles
s
Nbre_total_mailles
Dimensions
(MLt)
n(πD2/4)
33