Electrostatique - Jean

1
Electrostatique
par Jean-Jacques HERSTAIN 15/09/2011
Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître
Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes)
Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver
Dans tout ce chapitre, on travaille dans un référentiel galiléen et aucune grandeur ne varie au
cours du temps.
1
Propriétés du champ électrostatique
1.1
Théorème de Gauss
ρ
divE =
L’équation de Maxwell Gauss
volume τ.
ρ
div
∫∫∫ E dτ = ∫∫∫ dτ
τ
τ
est intégrée sur le
εo
ρ dτ = Q
∫∫∫
τ
εo
charge intérieure
à la surface S
Q
∫∫ E ⋅ dS =
Théorème d’Ostrogradsky :
εo
S
(
)
Qint
**
Théorème de Gauss : Φ E / S =
εo
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée S, est égal à la charge intérieure à
cette surface divisée par la permittivité du vide.
Application :
Un plan P infini possède en tout point une densité
superficielle de charge σ .
Calculer le champ électrostatique à une distance h du
plan.
On considère un cylindre de section S, d’axe perpendiculaire au plan P de hauteur 2h et
symétrique par rapport à P .
Par un point M de sa base passe une infinité de plans π perpendiculaires à P. Ce sont des plans
de symétrie. En M E appartient à tous ces plans. E est donc orthogonal à P. De plus, le
problème est invariant par toute translation parallèle à P. Le champ E est donc uniforme sur
une surface parallèle à S.
Le flux de E est nul à travers la surface latérale du cylindre et le flux est le même à travers
chacune des bases : Φ1 = Φ 2 = ∫∫ E ⋅ dS =ES
So
Electrostatique J.J. Herstain
2
Le théorème de Gauss donne donc ΦT = 2 ES =
soit ΦT = 2 ES =
Qint
εo
et
Qint = ∫∫ σ dS = σ S
S
σ σS
n * où n est un vecteur unitaire normal au plan P.
Finalement E =
2ε o
εo
On remarque que E ne dépend pas de h.
Remarque importante :
D’une manière plus générale, le théorème de Gauss permet de calculer un champ dans les trois
cas suivants :
• Le problème est à symétrie sphérique : Il y a invariance lors de toute rotation par rapport
au centre de symétrie.
• Le problème est à symétrie cylindrique : Il y a invariance lors d’une rotation autour de
l’axe de symétrie. De plus il doit y avoir invariance lors d’une translation le long de l’axe
de symétrie.
• Le problème est à symétrie plane. Il y a de plus invariance lors de toute translation
parallèle au plan de symétrie.
Dans tout autre cas, il reste évidemment vrai, mais le flux ne pouvant se calculer de manière
simple, il est inadapté pour calculer le champ.
Autre remarque importante :
En l’absence de charge, le flux du champ électrostatique est conservatif.
Qint=0 ⇒ Φ E / S = 0
(
1.2
1.2.1
)
Circulation et Potentiel
Circulation conservative
∂B
L’équation de Maxwell Faraday rot E = −
devient en électrostatique : rot E = 0
∂t
On l’intègre sur la surface S entourée par le contour Γ
rot
∫∫ E ⋅ dS = 0
S
On en déduit d’après le Théorème de Stokes :
∫ E ⋅ dl = 0 *
Γ
La circulation du champ électrostatique sur une courbe fermée est nulle.
La circulation du champ électrostatique est conservative.
Signification : F = qE donc
qE
⋅
dl
=
∫
∫ F ⋅ dl = 0
Γ
Γ
Le déplacement d’une charge sur un contour fermé, nécessite un travail nul. (Comme le poids)
Electrostatique J.J. Herstain
3
1.2.2
Potentiel électrostatique
rot E = 0 ⇔ E = −grad V
Si dans le référentiel R, les propriétés électrostatiques de l’espace sont décrites par un champ de
vecteurs E ( x, y, z ) il existe une fonction V ( x, y, z ) appelée potentiel électrostatique qui décrit
E = −grad V **
les propriétés électrostatiques de manière équivalente et telle que
Le signe – est arbitraire, il permettra de simplifier des formules ultérieures.
Il y a donc deux manières équivalentes de décrire les propriétés électrostatiques de l'espace :
• par le champ électrostatique.
• par le potentiel électrostatique.
Il est à noter qu’en ajoutant une constante à V, on obtient le même champ électrostatique.
Cette constante peut donc être fixée de façon arbitraire.
1.2.3
Equation de Poisson
ρ
div E =
et E = − grad V
ρ
⇒ div grad V = −
εo
εo
∆V = −
⇒
ρ
**
εo
L’équation de Poisson est une équation différentielle du second ordre permettant de décrire les
propriétés électrostatiques de l’espace. Les conditions aux limites précisent la fonction potentiel.
Exemple :
Décrire l’espace vide entre deux plans parallèles distants
de a, l’un au potentiel zéro, l’autre au potentiel Vo .
Le problème est invariant par translation suivant x ou z,
le potentiel V(x,y,z) ne dépend donc que de y, soit V(y).
Par ailleurs l’espace est vide donc ρ = 0 .
∂ 2V
=0
∂y 2
en y = 0 : V=0 d’où µ=0
∂V
=λ
∂y
∆V = 0 donne
en y = a : V=Vo d’où λ =
Vo
a
V = λy+ µ
finalement : V = Vo
y
a
V E = − grad V = − o y
a
Le champ est donc uniforme et « descend » les potentiels.
Electrostatique J.J. Herstain
4
1.2.4
Surfaces équipotentielles
En tout point d’une surface équipotentielle, le potentiel a la même valeur.
Si dl est un vecteur joignant deux points très proches, on a dV = grad V ⋅ dl , dV étant la
différence de potentiel entre ces deux points.
Donc dV = − E ⋅ dl
Si ces deux points sont sur une même surface équipotentielle, alors dV = 0 et dl est contenu
dans la surface équipotentielle.
On en déduit que le champ électrostatique est toujours normal aux surfaces
équipotentielles.
Remarque importante :
Si on appelle dC la circulation élémentaire du champ E , dC = – dV
B
ou en intégrant sur une courbe AB C A→ B = ∫ E ⋅ dl = − (VB − VA ) *
A
La circulation du champ électrostatique sur une courbe joignant deux points A et B est
égale à l’opposé de la différence de potentielle entre ces deux points, et ne dépend donc pas
de la courbe, mais des seuls points A et B.
1.3
1.3.1
Calcul du champ
Loi de Coulomb
Une charge ponctuelle q est placée en un point O, le reste de
l’espace est vide.
Tout plan passant par O est un plan de symétrie, le champ
électrostatique est don radial.
On peut appliquer le théorème de Gauss sur une sphère S centrée
en O et de rayon r.
E et dS sont colinéaires.
Le problème reste invariant par rotation autour de O, la norme de E ne dépend donc que de r et
garde la même valeur en tout point de S.
Le flux de E à travers la surface fermée S est donc
Φ E / S = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS = E ∫∫ dS = ES
( )
Φ ( E / S ) = 4π r E
S
S
S
2
Electrostatique J.J. Herstain
5
(
)
q
La charge intérieure à S est q, donc Φ E / S =
E=
q
4πε o r
εo
d'où E =
q
4πε o r 2
u
**
2
La force d'interaction qui s’exerce sur la charge ponctuelle q' placée à une distance r de la
charge ponctuelle q est donc F ' = q ' E soit avec u étant un vecteur unitaire dirigé de q vers
q’.
qq ' F'=
u*
Loi de Coulomb
4πε o r 2
1.3.2
Système de charges
Les champs étant définis à partir des forces ( F = qE ) ils sont
additifs comme les forces.
•
Distribution discrète
Le champ créé en un point M par un ensemble de charges ponctuelles
qi placées chacune à une distance ri du point M est donc
n
qi E=∑
u
2 i * ui étant un vecteur unitaire dirigé de qi vers M.
i =1 4πε o ri
•
Distribution linéique
La ligne Γ possède une densité linéique de charge λ .
l’élément dl porte une charge λ dl
λ dl E=∫
u
udl étant un vecteur unitaire dirigé de dl vers M.
2 dl *
4πε o r
Γ
•
Distribution surfacique.
La surface Σ possède une densité surfacique de charge σ .
l’élément dS porte une charge σ dS
σ dS E = ∫∫
udS * udS étant un vecteur unitaire dirigé de dS vers M.
4πε o r 2
S
•
Distribution volumique
L’espace possède une densité volumique de charge ρ .
L’élément dτ porte une charge ρ dτ
ρ dτ E = ∫∫∫
udτ * udτ étant un vecteur unitaire dirigé de dτ vers M.
4πε o r 2
espace
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6
1.3.3
Lignes de champ
Les lignes de champ sont des lignes tangentes en tout point
au champ électrostatique.
dl étant un élément d’une ligne de champ, les vecteurs E et
dl sont colinéaires
Si les composantes de E sont : E x E y Ez
et celles de dl : dx dy et dz
dl ∧ E = 0
sur Oz : dx ⋅ E y − dy ⋅ Ex = 0
D’où les équations différentielles permettant d’obtenir
l’équation des lignes de champ :
dx dy
=
*
Ex E y
et de manière analogue sur Oy
dx dz
=
Ex Ez
exemple : pour une charge ponctuelle q placée à l’origine E x =
dy dx
y
=
soit ln = k
y
x
x
l’origine : le champ est radial.
d’où
et y = kx
qx
4πε o r
3
et E y =
qy
4πε o r 3
les lignes de champs sont des droites passant par
En coordonnées polaires, on écrit que les champs E et dl font le même angle α avec la
dr rdθ
E
rdθ
=
direction radiale : tan α= θ =
*
Er
Eθ
Er
dr
Remarque : Un tube de champ est une surface engendrée par toutes les lignes de champ
s’appuyant sur un même contour.
S’il ne contient aucune charge le flux du champ électrostatique à travers l’une de ses sections est
constant (Théorème de Gauss) : Le flux qui entre est égal au flux qui sort.
Notamment, sur un tube de champ à section constante le champ est constant le long de la ligne
de champ.
1.4
1.4.1
Calcul du potentiel électrostatique
Charge ponctuelle
Une charge ponctuelle q est placée en un point O, le reste de l’espace est vide.
q On a calculé précédemment l’expression du champ électrique : E =
u
4πε o r 2
or E = −grad V
q
∂V
q
En coordonnées sphériques, on obtient donc l’égalité :
=−
⇒ V=
+ cste
2
4πε o r
∂r
4πε o r
Remarque : Par symétrie, V ne dépend que de r.
Le potentiel étant défini à une constante près, on fixera arbitrairement à zéro, la valeur du
potentiel à une distance infinie de la charge q. Cela annule donc la cste.
q
V=
d’où
**
4πε o r
Attention : Cette convention est impossible dans le cas où la charge présente dans l’espace
est infinie.
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7
1.4.2
Système de charges
•
Distribution discrète
L’opérateur gradient est linéaire :
grad V1 + grad V2 = grad (V1 + V2 )
Le potentiel créé en un point M par un ensemble de charges ponctuelles
n
qi
V
=
qi placées chacune à une distance ri du point M est donc
∑
i =1 4πε o ri
•
Distribution linéique
La ligne Γ possède une densité linéique de charge λ .
l’élément dl porte une charge λ dl
λ dl
V =∫
*
4πε o r
Γ
•
Distribution surfacique.
La surface Σ possède une densité surfacique de charge σ .
l’élément dS porte une charge σ dS
σ dS
V = ∫∫
*
4πε o r
S
•
Distribution volumique
L’espace possède une densité volumique de charge ρ .
L’élément dτ porte une charge ρ dτ
V=
ρ dτ
∫∫∫ 4πε r *
espace
o
Remarque :
Cette dernière expression est la solution sous forme intégrale de
l’équation de Poisson ∆V = −
1.5
•
•
ρ
εo
Energie d’une charge ponctuelle
Une charge q se déplace très lentement (l’énergie cinétique mises en jeu peut donc être
considérée comme un infiniment petit du second ordre ) et décrit un vecteur dl
Le travail des forces électrostatiques dτ = qE ⋅ dl
soit
dτ = − qdV
Le travail des forces extérieures est égal et opposé au travail des forces électrostatiques.
En effet : pour que le déplacement s’opère lentement, il faut que la force électrostatique et la
force extérieure soient égales et opposées. Donc dT = − dτ = qdV .
En intégrant d’un point A à un point B : TA→ B = q (VB − VA ) **
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8
Remarque 1:
Le travail fourni à la charge ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement du point de départ
et du point d’arrivée.
Remarque 2:
Cette relation permet de définir l’unité de potentiel dont la dimension est un travail sur une
charge ( Joule/Coulomb) appelée Volt et noté V.
L’unité de champ se déduit du Volt par la relation E = − grad V et sera donc le Volt/mètre noté
V.m-1
•
La variation d’énergie électrique apportée à cette charge est égale au travail des forces
extérieures : dEe = dT = qdV
En intégrant : ∆Ee = q∆V
L’énergie étant définie à une constante près (comme le potentiel) on peut fixer
conventionnellement à zéro l’énergie d’une charge infiniment éloignée, s’il n’y a pas de charge
infinie dans l’espace.
On obtient alors Ee=qV **
Ee énergie d’une charge ponctuelle q placée en un point où le potentiel électrostatique est V est
une fonction d’espace pour la charge q, donc : dEe = gradEe ⋅ dl
par ailleurs dτ = − dEe et dτ = F ⋅ dl où F est la force subie par la charge q.
gradEe ⋅ dl = − F ⋅ dl étant vrai pour tout vecteur dl , il en résulte que F = − gradEe
Remarque 3:
Si deux charges ponctuelles q et q’ sont à une distance d, le potentiel créé par q’ sur q est
q'
qq '
V=
et l’énergie de la charge q en présence de la charge q’ est donc Ee =
4πε o d
4πε o d
C’est l’énergie d’interaction du système de deux charges. On peut aussi considérer que l'énergie
1
de chaque charge est la moitié de l'énergie totale : Eq = Ee
2
Remarque 4:
En physique atomique, les énergies mises en jeu au niveau des particules, sont infimes par
rapport aux énergies macroscopiques. On utilise une unité mieux adaptée à ces ordres de
grandeurs : l’électron-Volt.
C’est l’énergie d’un électron porté au potentiel de 1 Volt, soit 1 eV =1,6.10-19 J
Electrostatique J.J. Herstain
9
2
Propriétés des conducteurs
2.1
Définitions
Un conducteur est une substance qui possède des porteurs de charges libres.
Des électrons ou des ions qui se mettent en mouvement sous l’effet d’une force aussi petite soit
elle.
Il en existe de trois types :
• Métaux
: Les électrons se déplacent librement au sein du cristal ionique fixe.
• Electrolytes : Les ions se déplacent librement dans la solution.
• Plasmas
: Les ions et les électrons se comportent comme des particules gazeuses.
Un conducteur est en équilibre électrostatique si la vitesse moyenne locale des porteurs de
charges est nulle en tous points.
Ce qui n’empêche pas une agitation aléatoire des charges individuelles, à l’échelle
microscopique.
2.2
2.2.1
Propriétés électriques d’un conducteur
Champ électrostatique
S’il existe un champ électrique E non nul en un point intérieur au conducteur, les charges
subissent une force F = qE et se mettent en mouvement. Le conducteur n’est donc pas en
équilibre.
En tout point intérieur à un conducteur en équilibre, le champ électrostatique est nul.
E = 0 **
2.2.2
Potentiel électrostatique
Soient deux points quelconques A et B, intérieurs à un conducteur en équilibre.
B VA − VB = ∫ E ⋅ dl
Or E = 0
donc
VA = VB **
A
Tous les points d’un conducteur en équilibre sont au même potentiel.
Un conducteur en équilibre est un volume équipotentiel. Sa surface est une surface
équipotentielle.
Le champ électrostatique à l’extérieur du conducteur, mais très près de sa surface, est donc
normal à sa surface.
Les lignes de champ qui partent du conducteur sont normales à sa surface.
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10
2.2.3
Charges d‘un conducteur en équilibre.
∆V = −
ρ
εo
avec V = constante
implique ρ = 0 **
ou
ρ
div E =
εo
avec E = 0
en tout point intérieur au conducteur.
Il n'y a pas de charge volumique à l'intérieur d'un conducteur en équilibre. Seules des charges de
surfaces sont autorisées.
Noter que dans un élément mésoscopique, la charge nulle n'interdit pas l'existence de charges
mobiles positives et négatives en quantités égales.
S’il y a une cavité vide de charges
A et B appartiennent au conducteur, donc VA = VB
Si en un point M de la cavité le potentiel passe par un
maximum, une petite surface S entourant M voit sortir
un flux différent de zéro : VM − VP = E ⋅ MP > 0
d’où Φ E / S > 0
(
)
D’après le théorème de Gauss, il y a donc une charge
non nulle à l’intérieur de la surface S.
Si la cavité est vide, il n’y a donc aucun maximum de
potentiel à l’intérieur de la cavité. Même raisonnement avec un minimum de potentiel.
Comme VA = VB le potentiel est donc constant dans la cavité,
et le champ est donc nul dans la cavité.
Le champ étant nul dans le conducteur et dans la cavité, le flux sortant à travers une surface
fermée entourant le point A est donc nul.
La charge sur la surface de la cavité au voisinage de A est donc nulle. σ A = 0
Il n’y a donc aucune charge sur la surface de la cavité.
Les seules charges que peut donc porter un conducteur se trouvent sur sa surface
extérieure.
Conséquence : à l’intérieur d’une surface métallisée, appelée cage de Faraday, on est à l’abri de
toute manifestation électrostatique (foudre par exemple).
Electrostatique J.J. Herstain
11
2.3
Théorème de Coulomb
On définit une surface fermée Σ dont une partie est à l’intérieur
d’un conducteur et dS est un élément de surface infiniment voisin
de la surface du conducteur et à l’extérieur de celui-ci.
Le flux sortant à travers la surface Σ est égal d’après le théorème
σ dS
de Gauss à δΦ =
,
εo
σ étant la densité superficielle de charge du conducteur au niveau de la surface dS.
Le flux sortant de Σ par la partie intérieure au conducteur est nulle puisque le champ est nul à
l'intérieur du conducteur. Le flux sortant de Σ est donc égal au flux du champ électrique
extérieur à travers la surface dS.
σ σ dS
E = n ** n étant un vecteur unitaire dirigé
On en déduit E ⋅ dS =
soit
εo
εo
vers l’extérieur du conducteur et normal à sa surface (on savait déjà que les lignes de champs
partaient normalement à la surface du conducteur au voisinage de sa surface)
C'est le Théorème de Coulomb.
Exemple : Un cylindre conducteur de rayon a, de longueur infinie porte une charge λ par unité
de longueur.
Sa densité surfacique de charge est donc σ =
surface : E =
λ n
2πε o a
λ
et le champ électrique au voisinage de sa
2π a
Conséquence : pouvoir des pointes.
Au voisinage d’une pointe d’un conducteur le rayon de courbure de la surface est très petit.
Les lignes de champs étant normales à la surface, le tube de champ issu du conducteur près de la
pointe a donc une section qui augmente beaucoup plus vite qu’un
tube de champ issu du conducteur dans une région relativement
plate.
Le flux à travers le tube de champ étant constant (Théorème de
Gauss dans une région vide de charges), le champ décroît
beaucoup plus vite près d’une pointe.
A grande distance du conducteur le champ est très faible partout. Il
faut donc que le champ soit beaucoup plus intense près d’une
pointe que sur une partie peu courbée.
Et, d’après le Théorème de Coulomb, cela signifie que la densité superficielle de charge est plus
grande dans les parties pointues du conducteur.
Cet effet est utilisé dans les paratonnerres pour canaliser la foudre et pour décharger des
systèmes de leur électricité statique (les avions par exemple)
Electrostatique J.J. Herstain
12
2.4
2.4.1
Phénomène d’influence
Charge par influence
•
Electroscope
• Machine de Wimshurst
Deux disques de même axe tournent en sens opposés. Ils sont
munis de petites plaques de métal de directions radiales et réparties
tout autour du disque.
Celles-ci se chargent par influence au moment où elles passent
devant leurs vis à vis grâce à un balai métallique contre lequel elles
viennent frotter et qui les relie à la terre (même principe que pour
la charge par influence de l’électroscope). Elles emportent alors
une charge électrique qui va influencer à son tour les plaques de
l’autre disque. Un système de pointes métalliques permet de
prélever une petite partie de ces charges grâce à l’ionisation de
l’air. Ces charges vont s’accumuler dans deux condensateurs (réservoirs de charges).
Il est ainsi possible d’atteindre une différence de potentiel de plusieurs centaines de milliers
de volts.
2.4.2
Théorème des éléments correspondants
Un tube de champ relie deux conducteurs.
On en fait une surface fermée en ajoutant
deux surfaces à l’intérieur de chaque
conducteur.
Le flux total sortant de cette surface
fermée est nulle (champs nuls dans les conducteurs et champs tangentiels sur les tubes de
champs)
La charge intérieure est donc nulle.
Seules les surfaces des conducteurs peuvent porter des charges.
Finalement qB + q A = 0
Les surfaces qui se correspondent par le tube de champs (appelées éléments
correspondants) portent des charges égales et opposées.
2.4.3
Influence totale
Deux conducteurs sont en influence totale, si l’un entoure
complètement l’autre.
La surface de A et la surface intérieure de B sont des éléments
correspondants.
QA+Q’B=0 *
Electrostatique J.J. Herstain
13
2.5
2.5.1
Conducteur seul dans l’espace
Capacité d’un conducteur
•
Soit une répartition de charges σ ( M ) à la surface d’un
conducteur en équilibre.
En tout point P intérieur au conducteur le champ
électrique créé par la répartition σ ( M ) est nul.
σ ( M ) dS u dS E ( P ) = ∫∫
=0
4πε o r 2
On peut également calculer la charge du conducteur : Q = ∫∫ σ ( M ) dS
ainsi que le potentiel au point P : V ( P ) = ∫∫
σ ( M ) dS
4πε o r
(On pourrait montrer que pour une valeur de V(P) il y a unicité de la répartition de charge
σ (M ) )
Soit une autre répartition de charges σ ' ( M ) à la surface du même conducteur, telle que
•
σ '( M ) = k σ ( M )
On remarque que c’est également une distribution d’équilibre, en effet : En tout point P
σ ' ( M ) dS u dS
kσ ( M ) dS u dS = ∫∫
=0
intérieur au conducteur E ' ( P ) = ∫∫
4πε o r 2
4πε o r 2
Si des répartitions de charge sur un conducteur sont des états d’équilibre, leur
superposition est un état d’équilibre. (on peut généraliser à un système de conducteurs)
De plus Q ' = ∫∫ σ ' ( M ) dS = ∫∫ kσ ( M ) dS = kQ
et
D’où
V ' ( P ) = ∫∫
σ ' ( M ) dS
kσ ( M ) dS
= ∫∫
= k V ( P)
4πε o r
4πε o r
Q' Q
= =C
V' V
Charge et potentiel sont proportionnels. La constante de proportionnalité notée C est appelée
capacité du conducteur et ne dépend que de ses caractéristiques géométriques.
Q = C V **
Exemple de calcul de capacité :
Une sphère conductrice de rayon R.
La charge Q portée par le conducteur est uniformément répartie sur sa surface.
Le potentiel du conducteur est égal au potentiel au centre de la sphère.
dQ
V = ∫∫
dQ étant une charge élémentaire portée par une surface élémentaire du
4πε o R
conducteur.
Electrostatique J.J. Herstain
14
On en déduit V =
Q
et donc C = 4πε o R * Capacité d’un conducteur sphérique.
4πε o R
Ordre de grandeur : R=10 cm C ≃ 10−11 unités SI
Cette unité ( CV-1 ) est appelée Farad ( notée F )
sous-unités : µF, nF, pF… Une sphère de 10cm de rayon a une capacité C=10 pF
(La Terre a une capacité de 0,7 mF)
Remarque :
L’unité S.I. de la permittivité du vide εo peut donc être précisée : il s’agit de F.m-1.
2.5.2
Energie d’un conducteur
Un conducteur de capacité C porte une charge Qo et est à un potentiel Vo . On a Qo = CVo
Conventionnellement, on considère que son énergie électrique Ee est nulle lorsqu’il est
déchargé, c’est à dire Q=0 et V=0.
Pour calculer son énergie, on calcule le travail nécessaire pour le charger. Pour cela on imagine
qu’on lui apporte des charges dQ prélevées à l’infini (potentiel nul) et déposées sur le
conducteur au potentiel V. Ce travail est dT = dQ (V − V∞ ) (la charge dQ est quasi ponctuelle)
Donc dEe = VdQ
D’où Ee − 0 =
Qo
∫
0
dEe =
Q
dQ
C
Q
dQ
C
Ee =
1 Qo2
* ou
2 C
1
Ee = QoVo ** ou
2
1
Ee = CVo2 *
2
n
1
E
=
Pour un système de n conducteurs, on peut montrer que e ∑ QV
i i
i =1 2
Les deux autres formes ne peuvent pas être utilisées, car la capacité d’un conducteur en présence
d’autres conducteurs, n’est plus une grandeur scalaire mais matricielle.
Electrostatique J.J. Herstain
15
3
Condensateurs
3.1
Définitions
• Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs en
influence totale.
• La charge du condensateur est la charge du conducteur
intérieur.
Q = q1
• On note U la tension aux bornes du condensateur, avec la
convention U = V1 - V2
3.2
Capacité d’un condensateur
On montre que si deux répartitions de charges sont des états d’équilibre, leur superposition est
un état d’équilibre. (le champ électrique à l’intérieur des conducteurs reste nul)
•
Soient q '1 et q '2 les charges des conducteurs 1 et 2 telles que 1
soit porté au potentiel V1 et 2 au potentiel 0.
Si le conducteur 1 porte maintenant une charge µq '1 et le
conducteur 2 une charge µq '2 , les potentiels des conducteurs 1 et
2 seront respectivement µV1 et 0.
q1' µ q1'
On en déduit que si V2=0,
=
= constante
V1 µV1
q '1 est proportionnel à V1 : q '1 = aV1
•
de même q '2 = α V1
Soient q "1 et q "2 les charges des conducteurs 1 et 2 telles que 1
soit porté au potentiel 0 et 2 au potentiel V2.
Si le conducteur 1 porte maintenant une charge µq "1 et le
conducteur 2 une charge µq "2 , les potentiels des conducteurs 1 et
2 seront respectivement 0 et µV2.
q1" µ q1"
On en déduit que si V1=0,
=
= constante
V2 µV2
q "1 est proportionnel à V2 : q "1 = bV2 de même q "2 = β V2
Quand le conducteur 1 est porté au potentiel V1 et le conducteur 2 au potentiel V2, par
superposition, la charge du conducteur 1 est donc de la forme q1 = aV1 + bV2
De même q2 = αV1 + β V2
•
Relions électriquement les deux conducteurs : ils ne forment plus alors qu’un seul
conducteur et V1=V2, tandis que q1 = 0 puisque c’est la charge sur la surface d’une cavité
vide à l’intérieure du conducteur 1+2.
Il en résulte que 0=aV1+bV1 donc a = −b
On note C = a
Dans le cas général on a donc q1 = C (V1 − V2 ) soit
Q=CU **
C est la capacité du condensateur.
Attention, notation algébrique
Electrostatique J.J. Herstain
16
Remarque 1 :
La charge q2 se décompose en deux : q2 = q2 int + q2 ext (charge de la surface intérieure et charge
de la surface extérieure) avec q2 int = − q1 (influence totale)
Par ailleurs : q2 = αV1 + β V2
Si V2=0 alors q2 ext = 0 . En effet, le potentiel V2 est nul sur le conducteur 2 et à l’infini ; il ne
peut y avoir d’extremum de potentiel dans le vide, donc le potentiel est nul dans tout l’espace
extérieur au condensateur, le champ y est donc nul et notamment à la surface du conducteur 2.
Donc d’après le théorème de Coulomb σ est nul sur la surface extérieure de 2, d’où q2ext = 0 .
Si V2 = 0 ⇒ q2 = αV1
et
q2 = q2 ext + q2 int = − q1
d’où αV1 = −C (V1 − 0 )
et dans tous les cas : q2 = −CV1 + β V2
Soit α = −C
q2 ext = q2 − q2 int = q2 + q1
q2 ext = ( −CV1 + β V2 ) + C (V1 − V2 )
finalement : q2 ext = ( β − C ) V2
q2 ext est proportionnel uniquement à V2 donc indépendant de q1 .
On en déduit que β − C est la capacité du conducteur extérieur supposé seul dans l’espace.
Remarque 2 :
La charge Q est la charge susceptible de passer du conducteur 1 au conducteur 2 quand on les
relie.
3.3
Energie d’un condensateur
Energie du système de conducteurs : Ee =
1
1
q1V1 + q2V2
2
2
1
1
Eei = QV1 + ( Q '− Q ) V2
2
2
en appelant Q’ la charge extérieure du conducteur 2
Après décharge : V1=V2
Q=0
1
Eef = Q 'V2
2
On appelle Ee = Ee i − Ee f l’énergie du condensateur (l’énergie qu’il est susceptible de libérer
1
Ee = Q (V1 − V2 )
2
lors de la décharge)
1
Ee = QU **
2
1
Ee = CU 2
2
*
Ee =
1 Q2
*
2 C
Electrostatique J.J. Herstain
17
3.4
Densité volumique d’énergie
On considère un tube de champ reliant les deux
conducteurs. Les charges des éléments correspondants
sont égales et de valeurs opposées. δ q2 = −δ q1
1
L’énergie du condensateur est Ee = Q (V1 − V2 )
2
σ 1 étant la densité superficielle de charge sur l'élément
de surface dS1 et E1 le champ au voisinage de dS1 :
Q = q1 = ∫∫ σ 1 dS1
et
S1
σ E1 = 1 n
comme
εo
il vient Q = ∫∫ ε o E1 ⋅ dS1
(Théorème de Coulomb)
S1
1 soit Ee = ∫∫ ε o E1 ⋅ dS1 (V1 − V2 )
2
2 Comme par ailleurs V1 − V2 = ∫ E ⋅ dl
2
1 on obtient : Ee = ∫∫ ε o E1 ⋅ dS1 ∫ E ⋅ dl
2
1
1
Or dans un tube de champ vide de charge, E ⋅ dS = E1 ⋅ dS1 (flux conservatif)
2 1
1 2 Ee = ∫∫ ε o ∫ E ⋅ dS E ⋅ dl
Ee = ∫∫∫ ε o E ⋅ dS ⋅ dl
2 1
2
1 2
et dτ = dS ⋅ dl un élément de volume du tube de champ.
Finalement Ee = ∫∫∫ ε o E dτ
2
(
Ee = ∫∫∫ ω dτ
)
ω=
dEe
1 2
** est la densité volumique d’énergie électrique ω = ε o E **
dτ
2
3.5
Calculs de capacité
3.5.1
Condensateur sphérique
Le condensateur est constitué de conducteurs sphériques
concentriques.
Σ est une surface de Gauss sphérique de rayon r.
Q
Le flux à travers Σ est Φ E / Σ = 4π r 2 E =
(
)
D’où le champ électrostatique E =
avec u vecteur unitaire radial.
2
b
On en déduit V1 − V2 = ∫ Edr = ∫
1
C=
Q
ab
= 4πε o
U
b−a
a
εo
Q u
4πε o r 2
b
Q
4πε o r
2
Q  1
Q
V1 − V2 =
−  =

4πε o  r  a 4πε o
dr
C = 4πε o
1 1
 − 
a b
ab
b−a
Electrostatique J.J. Herstain
18
A comparer à C ' = 4πε o a la capacité qu’aurait le conducteur central s’il était seul.
C
b
=
≃ 100
avec a=10cm et b=10,1 cm
C' b−a
La charge du conducteur est multipliée par 100 pour un même potentiel, s’il est entouré d’un
conducteur sphérique creux porté au potentiel zéro : on parle de condensation de l’électricité.
3.5.2
Condensateur plan
C’est une portion d’un condensateur sphérique de rayon infini.
Chaque plaque a une surface S et la distance entre les plaques est e.
Il faut convenir de l’armature qui porte la charge.
On néglige généralement les effets de bords, c’est à dire que l’on
considère que les lignes de champ électrostatique sont des droites
parallèles et normales aux armatures, même sur les bords et que la
q
charge est uniformément répartie sur la plaque ( σ = )
S
Les tubes de champ sont de section constante. Le flux du champ électrostatique étant conservatif
(dans le vide), il en résulte que le champ électrostatique est uniforme.
Le théorème de Coulomb nous donne la valeur du champ au voisinage de la plaque et comme le
champ est uniforme, il aura la même valeur en tout point de l’espace interconducteur :
σ
q
1 2
1 q2
E= =
ω = εo E
donc ω =
εo εoS
2
2 εoS 2
q2
Ee = ∫∫∫
dτ
2ε o S 2
comme
3.5.3
Ee =
q2
q2
Ee =
Se =
e
2ε o S 2
2ε o S
1 q2
2C
on obtient
C=
εoS
e
*
Association de condensateurs en parallèle
Le
condensateur
équivalent
possède
une
charge
n
Q = ∑ qi
i =1
n
qi = CiU donc Q = ∑ CiU
i =1
La capacité du condensateur équivalent est donc C =
Q
U
n
soit C = ∑ Ci *
i =1
Electrostatique J.J. Herstain
Un condensateur de forme quelconque peut être considéré comme
association d’un nombre infini de condensateurs en parallèle, à
condition que l’épaisseur reste faible devant le rayon de courbure.
dS
dS
dC = ε o
C = ∫∫ ε o
e
e
19
une
Pour le condensateur sphérique par exemple :
ε o 4π R 2 4πε o R1R2
C=
≃
si R2 − R1 << R1
R2 − R1
R2 − R1
3.5.4
Association de condensateurs en série
La charge du condensateur équivalent est la même que
la charge de chaque condensateur.
n
1 Ui
=
Ci
q
1 U
= =
C q
∑U
i =1
i
q
n
1
1
=∑ *
C i =1 Ci
On utilise des condensateurs montés en série pour diminuer la tension aux bornes de chaque
condensateur quand la différence de potentiel est élevée, afin de diminuer les risques de
claquage.
3.5.5
Condensateur à diélectrique
Un diélectrique est une substance non conductrice constituée de dipôles électrostatiques. Chaque
dipôle peut être considéré comme un système microscopique de deux charges égales et opposées
très proches l’une de l’autre. Il est caractérisé par un moment dipolaire p orienté de la charge
négative vers la charge positive.
Il en existe de deux types :
•
Chaque atome, initialement neutre, peut devenir un dipôle sous
l’effet d’un champ électrique.
•
Un ensemble de molécules dipolaires (comme l’eau) initialement
désordonné à cause de l’agitation thermique, peut s’orienter
progressivement dans le sens d’un champ électrique.
Dans les deux cas, chaque dipôle crée à l’intérieur du diélectrique un champ proportionnel au
champ extérieur et en sens opposé.
Electrostatique J.J. Herstain
ρ
ρ
devenait
avec
Pour un diélectrique linéaire, on montre que tout se passe comme si
εo
ε
ε = ε rε o
ε : permittivité absolue
ε r : permittivité relative (sans dimension)
ε o : permittivité du vide
ρ
div E =
εo
20
div ε E = ρ
devient
Dans toutes les formules où ε o intervient, il suffit de le remplacer ε o E par ε E .
Théorème de Gauss
φ εE/Σ =Q
qq Loi de Coulomb
F = 1 2 2 u ce qui explique que l’eau est un bon solvant avec
4πε r
ε r = 80
σ Théorème de Coulomb E = n
(
)
ε
Capacité d’un condensateur plan C =
εS
e
le diélectrique permet d’augmenter la capacité du condensateur.
On appelle rigidité le champ électrique maximum que peut supporter un diélectrique sans
claquage.
εr
Rigidité
3.5.6
air
mica
verre
eau alumine
1,0006
5
6
80 9
30 kV/cm 700 kV/cm 65 kV/cm
200 kV/cm
Céramique : BaTiO3
2000
50 V/cm
Interface entre deux diélectriques
• Deux diélectriques de permittivité ε1 et ε 2 sont séparés par une surface S.
On sait que la circulation du champ électrique sur un contour fermé est nulle.
∫ E ⋅ dl = 0
On calcule cette circulation sur un rectangle traversant la surface S et dont la
largeur e tend vers zéro.
E1 ⋅ dl 1 + δ C→0 + E2 ⋅ dl 2 = 0
Lorsque la largeur e du rectangle tend vers zéro, δ C la circulation le long de
cette largeur tend vers zéro, dl 1 → dl et dl 2 → − dl
En appelant ET la composante tangentielle du champ électrique au voisinage de la surface S, on
ET 1 = ET 2 **
peut écrire
Electrostatique J.J. Herstain
21
• Si la surface S ne possède aucune charge électrique, le flux du produit
du champ électrique par la permittivité à travers une surface
cylindrique fermée Σ traversant la surface S est nul.
div ε E = 0 ⇒ ε
dS = 0
∫∫ E ⋅
ε1 E1 ⋅ dS1 + δφ→0 + ε 2 E2 ⋅ dS 2 = 0
Lorsque la hauteur e du cylindre tend vers zéro, δφ le flux à travers
la surface latérale du cylindre tend vers zéro, dS 1 → −dS et
dS 2 → dS
En appelant EN la composante normale du champ électrique au
ε1 E N 1 = ε 2 E N 2 *
voisinage de la surface S, on peut écrire
(si la surface est chargée on obtient : ε 2 EN 2 − ε1 EN 1 = σ )
• Réfraction des lignes de champ :
Et1
= tan α1
En1
tan α 2 En1
=
tan α1 En 2
Et 2
= tan α 2
En 2
donc
tan α 2 ε 2
=
tan α1 ε1
Electrostatique J.J. Herstain
22
Table des matières
1
Propriétés du champ électrostatique .................................................................................................1
1.1
1.2
Théorème de Gauss ............................................................................................................................................................ 1
Circulation et Potentiel ...................................................................................................................................................... 2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
Circulation conservative ........................................................................................................................................................................... 2
Potentiel électrostatique............................................................................................................................................................................ 3
Equation de Poisson ................................................................................................................................................................................. 3
Surfaces équipotentielles .......................................................................................................................................................................... 4
1.3
Calcul du champ ................................................................................................................................................................. 4
1.3.1
1.3.2
1.3.3
Loi de Coulomb ........................................................................................................................................................................................ 4
Système de charges .................................................................................................................................................................................. 5
Lignes de champ ....................................................................................................................................................................................... 6
1.4
Calcul du potentiel électrostatique.................................................................................................................................... 6
1.4.1
1.4.2
Charge ponctuelle ..................................................................................................................................................................................... 6
Système de charges .................................................................................................................................................................................. 7
1.5
Energie d’une charge ponctuelle ....................................................................................................................................... 7
2
Propriétés des conducteurs .................................................................................................................9
2.1
2.2
Définitions ........................................................................................................................................................................... 9
Propriétés électriques d’un conducteur............................................................................................................................ 9
2.2.1
2.2.2
2.2.3
Champ électrostatique .............................................................................................................................................................................. 9
Potentiel électrostatique............................................................................................................................................................................ 9
Charges d‘un conducteur en équilibre. ................................................................................................................................................... 10
2.3
2.4
Théorème de Coulomb ..................................................................................................................................................... 11
Phénomène d’influence .................................................................................................................................................... 12
2.4.1
2.4.2
2.4.3
Charge par influence .............................................................................................................................................................................. 12
Théorème des éléments correspondants ................................................................................................................................................. 12
Influence totale ....................................................................................................................................................................................... 12
2.5
Conducteur seul dans l’espace ........................................................................................................................................ 13
2.5.1
2.5.2
Capacité d’un conducteur ....................................................................................................................................................................... 13
Energie d’un conducteur......................................................................................................................................................................... 14
3
Condensateurs ....................................................................................................................................15
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Définitions ......................................................................................................................................................................... 15
Capacité d’un condensateur ............................................................................................................................................ 15
Energie d’un condensateur .............................................................................................................................................. 16
Densité volumique d’énergie ........................................................................................................................................... 17
Calculs de capacité ........................................................................................................................................................... 17
3.5.1
3.5.2
3.5.3
3.5.4
3.5.5
3.5.6
Condensateur sphérique.......................................................................................................................................................................... 17
Condensateur plan .................................................................................................................................................................................. 18
Association de condensateurs en parallèle.............................................................................................................................................. 18
Association de condensateurs en série .................................................................................................................................................... 19
Condensateur à diélectrique.................................................................................................................................................................... 19
Interface entre deux diélectriques ........................................................................................................................................................... 20
Electrostatique J.J. Herstain