Electrostatique - Jean

Electrostatique J.J. Herstain
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Electrostatique
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Electrostatique
par Jean-Jacques HERSTAIN 15/09/2011
Les formules encadrées avec ** sont à parfaitement connaître
Les formules encadrées avec * sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes)
Les formules encadrées sans * sont à savoir retrouver
Dans tout ce chapitre, on travaille dans un référentiel galiléen et aucune grandeur ne varie au
cours du temps.
1
1 P Pr ro op pr ri ié ét té és s d du u c ch ha am mp p é él le ec ct tr ro os st ta at ti iq qu ue e
1.1 Théorème de Gauss
L’équation de Maxwell Gauss
o
divE
ρ
ε
=
est intégrée sur le
volume τ.
div
o
E d d
τ τ
ρ
τ τ
ε
=
∫∫∫ ∫∫∫
d Q
τ
ρ τ
=
∫∫∫
charge intérieure
à la surface S
Théorème d’Ostrogradsky :
o
S
Q
E dS
ε
⋅ =
∫∫
Théorème de Gauss :
(
)
int
/
o
Q
E S
ε
Φ =
**
Le flux du champ électrostatique à travers une surface fermée S, est égal à la charge intérieure à
cette surface divisée par la permittivité du vide.
Application :
Un plan P infini possède en tout point une densité
superficielle de charge σ .
Calculer le champ électrostatique à une distance h du
plan.
On considère un cylindre de section S, d’axe perpendiculaire au plan P de hauteur 2h et
symétrique par rapport à P .
Par un point M de sa base passe une infinité de plans π
ππ
π perpendiculaires à P . Ce sont des plans
de symétrie. En M
E
appartient à tous ces plans.
E
est donc orthogonal à P . De plus, le
problème est invariant par toute translation parallèle à P . Le champ
E
est donc uniforme sur
une surface parallèle à S.
Le flux de
E
est nul à travers la surface latérale du cylindre et le flux est le même à travers
chacune des bases :
1 2
o
S
E dS ES
Φ = Φ = ⋅ =
∫∫

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Le théorème de Gauss donne donc
int
2
T
o
Q
ES
ε
Φ = = et int S
Q dS S
σ σ
= =
∫∫
soit 2
T
o
S
ES
σ
ε
Φ = = Finalement
2
o
E n
σ
ε
=
* où
n
est un vecteur unitaire normal au plan P .
On remarque que
E
ne dépend pas de h.
Remarque importante :
D’une manière plus générale, le théorème de Gauss permet de calculer un champ dans les trois
cas suivants :
• Le problème est à symétrie sphérique : Il y a invariance lors de toute rotation par rapport
au centre de symétrie.
• Le problème est à symétrie cylindrique : Il y a invariance lors d’une rotation autour de
l’axe de symétrie. De plus il doit y avoir invariance lors d’une translation le long de l’axe
de symétrie.
• Le problème est à symétrie plane. Il y a de plus invariance lors de toute translation
parallèle au plan de symétrie.
Dans tout autre cas, il reste évidemment vrai, mais le flux ne pouvant se calculer de manière
simple, il est inadapté pour calculer le champ.
Autre remarque importante :
En l’absence de charge, le flux du champ électrostatique est conservatif.
Q
int
=0
(
)
/ 0
E S
⇒ Φ =
1.2 Circulation et Potentiel
1.2.1 Circulation conservative
L’équation de Maxwell Faraday rot
B
E
t
∂
= −
∂
devient en électrostatique :
rot 0
E
=
On l’intègre sur la surface S entourée par le contour Γ
rot 0
S
E dS
⋅ =
∫∫
On en déduit d’après le Théorème de Stokes :
0
E dl
Γ
⋅ =
∫
*
La circulation du champ électrostatique sur une courbe fermée est nulle.
La circulation du champ électrostatique est conservative.
Signification :
F qE
= donc
0
qE dl F dl
Γ Γ
⋅ = ⋅ =
∫ ∫
Le déplacement d’une charge sur un contour fermé, nécessite un travail nul. (Comme le poids)

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1.2.2 Potentiel électrostatique
rot 0 grad
E E V
= ⇔ = −
Si dans le référentiel R, les propriétés électrostatiques de l’espace sont décrites par un champ de
vecteurs
(
)
, ,
E x y z
il existe une fonction
(
)
, ,
V x y z
appelée potentiel électrostatique qui décrit
les propriétés électrostatiques de manière équivalente et telle que
grad
E V
= −
**
Le signe – est arbitraire, il permettra de simplifier des formules ultérieures.
Il y a donc deux manières équivalentes de décrire les propriétés électrostatiques de l'espace :
• par le champ électrostatique.
• par le potentiel électrostatique.
Il est à noter qu’en ajoutant une constante à V, on obtient le même champ électrostatique.
Cette constante peut donc être fixée de façon arbitraire.
1.2.3 Equation de Poisson
div
o
E
ρ
ε
=
et
E gradV
= − divgrad
o
V
ρ
ε
⇒ = − ⇒
o
V
ρ
ε
∆ = −
**
L’équation de Poisson est une équation différentielle du second ordre permettant de décrire les
propriétés électrostatiques de l’espace. Les conditions aux limites précisent la fonction potentiel.
Exemple :
Décrire l’espace vide entre deux plans parallèles distants
de a, l’un au potentiel zéro, l’autre au potentiel V
o
.
Le problème est invariant par translation suivant x ou z,
le potentiel V(x,y,z) ne dépend donc que de y, soit V(y).
Par ailleurs l’espace est vide donc
0
ρ
=
.
0
V
∆ =
donne
2
2
0
V V
V y µ
y y
λ λ
∂ ∂
= = = +
∂ ∂
en y = 0 : V=0 d’où µ=0
en y = a : V=V
o
d’où
o
V
a
λ = finalement :
o
y
V V
a
=
o
V
E gradV y
a
= − = −
Le champ est donc uniforme et « descend » les potentiels.

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1.2.4 Surfaces équipotentielles
En tout point d’une surface équipotentielle, le potentiel a la même valeur.
Si
dl
est un vecteur joignant deux points très proches, on a grad
dV V dl
= ⋅
, dV étant la
différence de potentiel entre ces deux points.
Donc
dV E dl
= − ⋅
Si ces deux points sont sur une même surface équipotentielle, alors dV = 0 et
dl
est contenu
dans la surface équipotentielle.
On en déduit que le champ électrostatique est toujours normal aux surfaces
équipotentielles .
Remarque importante :
Si on appelle dC la circulation élémentaire du champ
E
, dC = – dV
ou en intégrant sur une courbe AB
( )
B
A B B A
A
C E dl V V
→= ⋅ = − −
∫
*
La circulation du champ électrostatique sur une courbe joignant deux points A et B est
égale à l’opposé de la différence de potentielle entre ces deux points, et ne dépend donc pas
de la courbe, mais des seuls points A et B.
1.3 Calcul du champ
1.3.1 Loi de Coulomb
Une charge ponctuelle q est placée en un point O, le reste de
l’espace est vide.
Tout plan passant par O est un plan de symétrie, le champ
électrostatique est don radial.
On peut appliquer le théorème de Gauss sur une sphère S centrée
en O et de rayon r.
et
E dS
sont colinéaires.
Le problème reste invariant par rotation autour de O, la norme de
E
ne dépend donc que de r et
garde la même valeur en tout point de S.
Le flux de
E
à travers la surface fermée S est donc
(
)
/
S S S
E S E dS E dS E dS ES
Φ = ⋅ = ⋅ = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
(
)
2
/ 4
E S r E
π Φ =

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La charge intérieure à S est q, donc
(
)
/
o
q
E S
ε
Φ =
d'où
2
4
o
q
E
r
πε
=
2
4
o
q
E u
r
πε
=
**
La force d'interaction qui s’exerce sur la charge ponctuelle q' placée à une distance r de la
charge ponctuelle q est donc
' '
F q E
= soit avec
u
étant un vecteur unitaire dirigé de q vers
q’.
2
'
'4
o
qq
F u
r
πε
=
* Loi de Coulomb
1.3.2 Système de charges
Les champs étant définis à partir des forces (
F qE
= ) ils sont
additifs comme les forces.
• Distribution discrète
Le champ créé en un point M par un ensemble de charges ponctuelles
q
i
placées chacune à une distance r
i
du point M est donc
2
1
4
ni
i
io i
q
E u
r πε
=
=
∑
*
i
u
étant un vecteur unitaire dirigé de q
i
vers M.
• Distribution linéique
La ligne
Γ
possède une densité linéique de charge
λ
.
l’élément dl porte une charge
dl
λ
2
4
dl
o
dl
E u
r
λ
πε
Γ
=
∫
*
dl
u
étant un vecteur unitaire dirigé de dl vers M.
• Distribution surfacique .
La surface
Σ
possède une densité surfacique de charge
σ
.
l’élément dS porte une charge
dS
σ
2
4
dS
o
S
dS
E u
r
σ
πε
=
∫∫
*
dS
u
étant un vecteur unitaire dirigé de dS vers M.
• Distribution volumique
L’espace possède une densité volumique de charge
ρ
.
L’élément
d
τ
porte une charge
d
ρ τ
2
4
d
o
espace
d
E u
r
τ
ρ τ
πε
=
∫∫∫
*
d
u
τ
étant un vecteur unitaire dirigé de
d
τ
vers M.