+ Q

PARTIE 2
ÉLECTROSTATIQUE
68

Chapitre V
CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE
1/ Définitions
Conducteur : charges libres plus ou moins nombreuses (en général des électrons)
Action d’un champ électrostatique ⇒mouvement (courant électrique)
Diélectrique : chaque charge est fortement liée à une charge de signe contraire
Des charges supplémentaires peuvent avoir été apportées ou arrachées lors de
l’électrisation des solides (par frottement par exemple), mais elles ne peuvent non plus se
déplacer librement
Séparation possible des charges en faisant agir un champ très intense
Le diélectrique devient alors conducteur : Gaz ionisés
2/ Propriétés des conducteurs en équilibre
Si champ ≠0 dans conducteur ⇒charges libres seraient soumises à une force ⇒
mouvement ⇒courant
Or ∃de courant permanent dans un conducteur isolé ⇒
0 E
int
=
a – Champ électrostatique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
•/•
GB
69

b – Potentiel à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
Variation de potentiel entre A et B à l’intérieur d’un conducteur en équilibre :
0 drE V V
B
A
int
AB
=−=−
∫
•
Remarque : Comme les molécules ou atomes du conducteur ne sont pas polarisés ,
⇒et
0 p =
0
=
χ
1
r
=
ε
o
ε
=
ε
⇒
⇒: potentiel constant dans le conducteur
AB
V V =
c – Densité volumique de charges dans le conducteur
⇒théorème de Gauss
(En fait, dans tout élément de volume, il y a autant de charges + que de – )
0 E
int
=
(
)
Σ∀=
Σ
∫∫
• 0 SdE
int 0
int
=
ρ
⇒
Σ
ΣΣ
Σ
•/•
GB
70

e –Théorème de Coulomb (champ électrostatique au voisinage du conducteur chargé)
Soit une surface de Gauss dans le conducteur, mais très près de sa surface externe
Si on ajoute des charges au conducteur
⇒Forces entre porteurs de charges
⇒Nouvelle répartition
⇒Après équilibre on a toujours
0 E
int
=
d – Charges sur la surface du conducteur
Σ
ΣΣ
Σ
en tout point de Σ⇒Répartition des charges ajoutées sur la surface
externe (avec une densité surfacique σ )
0 E =
0 q
int
=
⇒
Surface du conducteur est équipotentielle
⇒⊥au voisinage extérieur de cette surface
v
E
Détermination de ⇒Théorème de Gauss
(surface fermée Σ: cube élémentaire de part
et d’autre de la surface du conducteur avec
deux faces normales à )
v
E
n
⇒( ε
o: permittivité du milieu extérieur) ⇒théorème de Coulomb :
o
v
S
SE ε
σ
=
nE
o
v
ε
σ
=
•/•
0 E
int
=
ε
ο
Σ
v
E
n
GB
71

f – Exemple de la sphère conductrice homogène et chargée
o
2
2
o
2
o
v
R
R4
41
R
Q
41
E ε
σ
=
πσ
πε
=
πε
=
Charges en surface avec une densité surfacique σ uniforme
Théorème de Gauss + symétries ⇒champ extérieur radial
⇒Norme du champ au voisinage sphère (rayon R) :
⇒On retrouve le théorème de Coulomb
Potentiel constant à l’intérieur du conducteur ⇒Calcul au centre (point particulier)
R
dS
41
dV
o
σ
πε
=
Potentiel créé au centre par une charge élémentaire σ dS :
Intégration sur la surface de la sphère ⇒
o
2
o
int
R
RR4 41
V ε
σ
=
πσ
πε
=
CONSEQUENCE : Le pouvoir des pointes
Deux sphères conductrices chargées (rayons R1et R2) reliées par un long fil conducteur
⇒Conducteur unique au même potentiel V avec répartition uniforme des charges sur
chaque sphère avec densités surfaciques σ
1et
σ
2
o
22
o
11
R R
V ε
σ
=
ε
σ
=⇒
Conducteur chargé de forme irrégulière : Densité surfacique de charges plus grande
dans les zones où le rayon est petit ⇒
⇒⇒
⇒ Norme du champ électrostatique plus importante
aux points anguleux d'un conducteur que dans les zones plus uniformes
2
2
1
1
R R σ=σ⇒
R
1
≈σ⇒
R1R2
σ1
σ2
•/•
GB
72