+ Q

68
PARTIE 2
ÉLECTROSTATIQUE
69
Chapitre V
GB
CONDUCTEURS EN ÉQUILIBRE
1/ Définitions
Conducteur : charges libres plus ou moins nombreuses (en général des électrons)
Action d’un champ électrostatique ⇒ mouvement (courant électrique)
Diélectrique : chaque charge est fortement liée à une charge de signe contraire
Des charges supplémentaires peuvent avoir été apportées ou arrachées lors de
l’électrisation des solides (par frottement par exemple), mais elles ne peuvent non plus se
déplacer librement
Séparation possible des charges en faisant agir un champ très intense
Le diélectrique devient alors conducteur : Gaz ionisés
2/ Propriétés des conducteurs en équilibre
a – Champ électrostatique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
Si champ ≠ 0 dans conducteur ⇒ charges libres seraient soumises à une force ⇒
mouvement ⇒ courant
Or ∃ de courant permanent dans un conducteur isolé ⇒ E int = 0
•/•
GB
70
Remarque : Comme les molécules ou atomes du conducteur ne sont pas polarisés p = 0 ,
⇒ χ = 0 et ε r = 1 ⇒ ε = εo
b – Potentiel à l’intérieur d’un conducteur en équilibre
Variation de potentiel entre A et B à l’intérieur d’un conducteur en équilibre :
B
∫
VB − VA = − E int • dr = 0
A
⇒ VB = VA : potentiel constant dans le conducteur
c – Densité volumique de charges dans le conducteur
E int = 0 ⇒ théorème de Gauss
∫∫ Eint
Σ
•
dS = 0
(∀ Σ )
Σ
⇒ ρint = 0
(En fait, dans tout élément de volume, il y a autant de charges + que de – )
•/•
GB
71
d – Charges sur la surface du conducteur
Σ
Si on ajoute des charges au conducteur
⇒ Forces entre porteurs de charges
⇒ Nouvelle répartition
⇒ Après équilibre on a toujours E int = 0
Soit une surface de Gauss dans le conducteur, mais très près de sa surface externe
E = 0 en tout point de Σ ⇒ q int = 0 ⇒ Répartition des charges ajoutées sur la surface
externe (avec une densité surfacique σ)
e –Théorème de Coulomb (champ électrostatique au voisinage du conducteur chargé)
Surface du conducteur est équipotentielle
⇒ E v ⊥ au voisinage extérieur de cette surface
Détermination de E v ⇒ Théorème de Gauss
(surface fermée Σ : cube élémentaire de part
et d’autre de la surface du conducteur avec
deux faces normales à n )
⇒ E vS =
Ev
n
Σ
εο
E int = 0
σ
σS
(εo : permittivité du milieu extérieur) ⇒ théorème de Coulomb : E v = n
εo
εo
•/•
GB
72
f – Exemple de la sphère conductrice homogène et chargée
Charges en surface avec une densité surfacique σ uniforme
Théorème de Gauss + symétries ⇒ champ extérieur radial
1 Q
1 σ 4πR 2 σ
=
=
⇒ Norme du champ au voisinage sphère (rayon R) : E v =
2
2
4πε o R
4πε o R
εo
⇒ On retrouve le théorème de Coulomb
Potentiel constant à l’intérieur du conducteur ⇒ Calcul au centre (point particulier)
Potentiel créé au centre par une charge élémentaire σdS : dV =
Intégration sur la surface de la sphère ⇒ Vint
1 σ dS
4πε o R
1 σ 4πR 2 σ R
=
=
4πε o
R
εo
CONSEQUENCE : Le pouvoir des pointes
Deux sphères conductrices chargées (rayons R1 et R2) reliées par un long fil conducteur
⇒ Conducteur unique au même potentiel V avec répartition uniforme des charges sur
σ2
R2
chaque sphère avec densités surfaciques σ1 et σ2
R1
1
σ1 R1 σ 2 R 2
⇒ σ1 R 1 = σ 2 R 2 ⇒ σ ≈
⇒V=
=
R
σ1
εo
εo
Conducteur chargé de forme irrégulière : Densité surfacique de charges plus grande
dans les zones où le rayon est petit ⇒ Norme du champ électrostatique plus importante
aux points anguleux d'un conducteur que dans les zones plus uniformes
•/•
GB
73
g – Cas du conducteur creux
Q
Surface interne S2 : équipotentielle et entoure un volume sans charges
∫∫ E
S2
•
ds = 0 ⇒ E int = 0 et Vint = cste
Théorème de Coulomb ⇒ E int
σ
= 2
εo
Eint = 0
⇒ σ2 = 0
S2
Vint = cste
⇒ Surface intérieure non chargée
Les charges ne peuvent se trouver que sur la surface externe du conducteur
•/•
GB
74
3/ Capacité du conducteur isolé
Conducteur isolé chargé : charge Q répartie sur sa surface S
Densité surfacique de charges σ(M ) ⇒ Q =
∫∫ σ(M) dS
S
⇒ Conducteur au potentiel V = V(O ) =
1
4πε o
∫∫
S
M
O
•
σ(M)
σ(M ) dS
OM
(O quelconque à l’intérieur du conducteur)
Si on × uniformément la densité surfacique de charge par κ ⇒
Q → Q' = κ Q et V → V' = κ V ⇒
Q' Q
= = Ci
V' V
De manière générale pour un conducteur isolé : Q = Ci V
Ci ne dépend que de la forme géométrique de la surface du conducteur
C’est la capacité du conducteur isolé
Unité de capacité : le Farad (F) : 1F = 1C/1V
Cas d’un conducteur sphérique : V =
1 Q
⇒ C = 4πε R
i
o
4πε o R
(R = 1m ⇒ Ci ≈ 0,1 nF !)
NOTE : Unité de permittivité ε : Farad/mètre (F/m) à la place de C2N-1m-2 !!
•/•
GB
75
4/ Phénomènes d’influence électrostatique
+Q
a – Influence totale
Σ
-Q
B
Corps (diélectrique ou conducteur) A portant une charge +Q
placé dans la cavité d’un conducteur B initialement neutre
E = 0 à l’intérieur de B ⇒
∫∫ Ε dS = 0 ⇒ Charge nulle enfermée par Σ
•
+Q
A
Σ
Puisque A porte +Q ⇒ ∃ –Q sur la paroi intérieure de la cavité de B
Puisque B était neutre au départ ⇒ sa surface extérieure doit porter une charge +Q
(principe de conservation de la charge électrique)
Les conducteurs A et B sont en influence totale
Il y a influence totale entre les conducteurs A et B lorsque toutes
les lignes de champ issues de A aboutissent sur B de façon à ce
que la charge totale de A se retrouve au signe près en B
_
_
_ -Q + + +
A _
+ +Q +
_
_
+
+_
+
_
B
•/•
GB
76
b – Influence partielle
• Mise en présence du conducteur A (potentiel V1) et conducteur B (potentiel V2)
Toutes les lignes de champ issues de A n’aboutissent pas en B
⇒ influence partielle
⇒ La charge totale Q1 de A ne se retrouve pas en B
+
_
+
+
+
+
+
_
+
V1
+
Q2 ? B
+
+
_
V2
+
+
+
Q1 ?
_
+
A
+
+
+
+
+
Cas V1 > V2
Problème : Relier Q1 et Q2 à V1 et V2 et aux caractéristiques géométriques et
positions relatives de A et B
•/•
GB
77
Principe de superposition
≡ superposition de deux états : - Etat a : A au potentiel V = 0 B au potentiel V2
- Etat b : A au potentiel V1
B au potentiel V = 0
_
_
ETAT a
_
A
_
_
+
+
Remarque : C22 ≠ Ci
+
+
+
B
Qa2
_
 Qa = C V
a
a
21 2
Si Q2 > 0 ⇒ Q1 < 0  1a
Q = C V
22 2
 2
+
V2
+
V1 = 0
Q1a
+
+
+
+
+
+
C21 (< 0) : coefficient d'influence de B sur A
C22 > 0
Potentiel en un point de l’espace ≠ en absence ou en présence de B
(sauf si A et B infiniment éloignés, alors C22 = Ci et C21 = 0 )
•/•
GB
78
+
+
ETAT b
+
Q1b
+
Si
Q1b
>0 ⇒
Q b2
<0
_
_
_
_
_
+
V1
+
_
A
+
_
+
_
V2 = 0
B
Q b2
_
_
Qb = C V
11 1
 1
Q b = C V
12 1
 2
C11 > 0
C12 (< 0) : coefficient d'influence de A sur B
Influence de A sur B = influence de B sur A ⇒ C12 = C21
ETAT a + b
Q = Q a + Q b = C V + C V
1
1
11 1
12 2
 1
Q = Qa + Q b = C V + C V
2
2
12 1
22 2
 2
Cij ne dépendent que de
la géométrie du système
•/•
GB
79
c – Condensateurs
− Q1
Système de deux conducteurs en influence totale
Q1
ÉTAT (V1, V2=0) (Etat b)
A au potentiel V1 et portant Q1 est entouré par
B au potentiel nul dont la charge portée par sa
surface interne est −Q1
 Q1 = C11V1
⇒ C11 = −C12
− Q = C V
12 1
 1
V1
A
V2=0
B
Q2 + Q1 = Q’
ÉTAT (V1, V2)
− Q1
A est au potentiel V1 et porte Q1 et B au potentiel V2 avec la
charge totale Q2 (sa surface interne porte −Q1 et sa surface
externe porte Q’=Q2+Q1)
(
)
Q1 = C11V1 + C12V2
 Q1 = C11 V1 − V2
Q = C V + C V ⇒ Q = −C V + C V
12 1
22 2
11 1
22 2
 2
 2
Q1
V1
A
V2
B
⇒ Charge totale portée par la surface extérieure de B : Q' = (C22 − C11 ) V2
(
• C11 = C : Capacité du condensateur ⇒ Q = C V − V
1
2
)
capacité de A en présence de B
• On pose Ci = C 22 − C ⇒ Q' = C V2 ⇒ Ci : capacité de B isolé
i
•/•
GB
80
d – Exemples
1/ Capacité du condensateur sphérique
Espace entre les armatures : le vide ⇒ εo
-Q
Champ électrostatique entre les armatures : radial (symétries)
Théorème de Gauss ⇒ E =
E
Q
Q
r
R1
Σ
4πε o r 2
R2
2
Q
Différence de potentiel entre et : V2 − V1 = − E • dr = −
4πε o
(trajet naturellement choisi : radial)
1
∫
⇒ V1 − V2 =
Q
4πε o
 1
1 
−


R
R
2
 1
⇒ C = 4πε o
R2
dr
∫r
R1
2
=
Q
4πε o
 1
1 
−


 R 2 R1 
R 1R 2
R 2 − R1
•/•
GB
81
2/ Capacité du condensateur plan
Cas où distance e entre les armatures est petite devant les dimensions de celles-ci
Espace entre les armatures : le vide
-Q
Champ électrostatique ⊥ aux plaques (symétries)
Σ
Q
Théorème de Gauss ⇒ ∫∫ E • dS =
= ES
εo
Σ
e
E
dr
+Q
(À l’extérieur des armatures : E = 0 puisque une
surface de Gauss qui entoure le condensateur enferme une charge totale nulle)
⇒ Entre les armatures E =
Q
⇒ uniforme
Sε o
2
Différence de potentiel entre et :V2 − V1 = − ∫ E • dr = −Ee ⇒ V1 − V2 =
1
εS
eQ
⇒C= o
ε oS
e
4πεo R12 
e 
1 +
 avec e = R 2 − R 1
Note: Condensateur sphérique, on peut réécrire C =
e
 R1 
ε oS
e
⟨⟨ 1 ⇒ C =
Si
R1
e
On retrouve l’expression du condensateur plan
•/•
GB
82
Remarque 1 : Si l’espace entre les armatures est rempli d’un milieu diélectrique de
permittivité relative εr ⇒ capacité est multipliée par autant
Remarque 2 : Symbole :
e – Association de condensateurs
1 / ASSOCIATION EN PARALLÈLE
Tous les condensateurs sont sous la même ddp VA−VB et Q i = C i (VA − VB )
Charges des condensateurs s’ajoutent : Q =
Or Q = Céq (VA − VB ) ⇒ C éq =
∑ Ci
i
A
∑ Qi
i
+++++++
---------
Ci
+++++++
---------
+++++++
---------
2 / ASSOCIATION EN SÉRIE
B
ddp VA − VB : somme des ddp aux bornes de chaque condensateur
VA − VB = ∑
i
Q
Ci
Puisque VA − VB =
Q
⇒
C éq
A
1
1
=∑
C éq
i Ci
+
+
+
+
+
+Q
-Q
+
+
+
+
+
+Q
C
- i
+
+
+
+
+
-Q +Q
- B
-Q