calcul differentiel et integral resume table des matieres
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CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL N PISKOUNOV RESUME Cet ouvrage est un manuel de mathématiques destiné aux étudiants des établissements d’enseignement technique supérieur. En plus des développements habituellement traités dans les cours d’analyse mathématique, il contient l’exposé des notions indispensables aujourd’hui pour l’assimilation des disciplines liées à l’automation et aux méthodes de calcul automatique. De nombreux problèmes et exercices accompagnent chaque chapitre du cours et facilement l’assimilation de la partie théorique Certains ont été résolus et commentés à titre d’exemples Cela rend l’usage de ce manuel particulièrement précieux pour les autodidactes. Le présent ouvrage à été réédité 9 fois en russe et traduit également en anglais et en espagnol TABLE DES MATIERES Avant-propos à la cinquième édition 11 CHAPITRE I NOMBRE, VARIABLE, FONCTIONS §1 Nombres réels Représentation des nombres réels par les points de l'axe numérique §2 Valeur absolue d'un nombre réel §3 Grandeurs variables et grandeurs constantes §4 Domaine da définition d'une variable §5 Variable ordonnée Variable croissante et variable décroissante Variable bornée §6 Fonction §7 Diverses formes d'expression des fonctions §8 Principales fonctions élémentaires Fonctions élémentaires §9 Fonctions algébriques § 10 Système de coordonnées polaires Exercices 13 15 16 17 19 20 21 23 28 30 32 CHAPITRE II LIMITE ET CONTINUID DES FONCTIONS §1 §2 §3 Limite d'une grandeur variable Grandeur variable infiniment grande Limite d'une fonction Fonctions qui tendent vers l'infini Fonctions bornées 34 37 40 §4 Infiniment petits et leurs propriétés fondamentales 44 §5 Théorèmes fondamentaux sur les limites 47 51 §6 §7 §8 §9 § 10 Limite de la fonction quand Le nombre e Logarithmes népériens Continuité des fonctions Propriétés des fonctions continues 53 58 59 64 § 10 Propriétés des fonctions continues § 11 Comparaison des infiniment petits Exercices 64 66 69 CHAPITRE III DERIVEE ET DIFFERENTIELLE §1 §2 §3 §4 Vitesse d'un mouvement Définition de la dérivée Interprétation géométrique de la dérivée Fonctions dérivables §5 Dérivée de la fonction §6 §7 Dérivées des fonctions Dérivées d'une constante, du produit d'une constante par une fonction, d'une somme, d'un produit et du rapport de deux fonctions Dérivée d'une fonction logarithmique Dérivée d'une fonction composée §8 §9 72 74 76 77 79 pour n entier et positif § 10 § 11 § 12 Dérivées des fonctions Fonction implicite et sa dérivée Dérivée d'une fonction puissance quand l'exposant est un nombre réel quelconque, dérivée de la fonction exponentielle et de la fonction composée exponentielle § 13 Fonction inverse (ou réciproque) et sa dérivée § 14 Fonctions trigonométriques inverses et leurs dérivées § 15 Tableau des principales formules de dérivation § 16 Fonctions données sous forme paramétrique § 17 Equations paramétriques de certaines courbes § 18 Dérivée d'une fonction donnée sous forme paramétrique § 19 Fonction hyperbolique § 20 Différentielle § 21 Interprétation géométrique de la différentielle § 22 Dérivées de différents ordres § 23 Différentielles de différents ordres § 24 Dérivées de différents ordres des fonctions implicites et des fonctions données sous forme paramétrique § 25 Interprétation mécanique de la dérivée seconde § 26 Equations de la tangente et de la normale Longueurs de la sous-tangente et de la sous-normale § 27 Interprétation géométrique de la dérivée du rayon vecteur par rapport à l'angle polaire Exercices 81 83 88 89 91 93 95 98 102 106 108 109 112 114 117 121 122 125 126 129 130 133 135 CHAPITRE IV THEOREMES RELATIFS AUX FONCTIONS DERIVABLES §1 §2 §3 §4 Théorème relatif aux racines de la dérive (théorème de Rolle) Théorème des accroissements finis (théorème de Lagrange) Théorème de Cauchy (rapport des accroissements de deux fonctions Limite du rapport de deux infiniment petits (vraie valeur des indéterminations 147 149 150 151 §5 de la forme ) Limite du rapport de deux infiniment grands (vraie valeur des indéterminations §6 de la forme ) Formule de Taylor 160 Développement des fonctions eX, sin x, cos x par la formule de Taylor 164 155 §7 Exercices 168 CHAPITRE V ETUDE DE LA VARIATION DES FONCTIONS §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 Position du problème Croissance et décroissance des fonctions Maximum et minimum des fonctions Marche à suivre pour l'étude du maximum et du minimum d'une fonction dérivable à l'aide de la dérivée première Etude du maximum et du minimum des fonctions à l'aide de la dérivée seconde Plus grande et plus petite valeur d'une fonction sur un segment Application de la théorie du maximum et du minimum des fonctions à la résolution de problèmes 171 172 174 181 183 187 188 de problèmes Etude des maximums et des minimums d'une fonction à l'aide de la formule de Taylor §9 Convexité et concavité des courbes Points d'inflexion § 10 Asymptotes § 11 Schéma général de l'étude des fonctions et de la construction des graphiques § 12 Etude des courbes données sous forme paramétrique Exercices §8 188 190 192 199 203 207 212 CHAPITRE VI COURBURE D'UNE COURBE §1 §2 §3 §4 §5 §6 Longueur de l'arc et sa dérivée Courbure Calcul de la courbure Calcul de la courbure des courbes sous forme paramétrique Calcul de la courbure des courbes en coordonnées polaires Rayon et cercle de courbure Centre de courbure Développée et développante §7 Propriétés de la développée §8 Calcul approché des racines réelles d'une équation Exercices 219 221 223 226 227 228 234 237 242 CHAPITRB VII NOMBRES COMPLEXES, POLYNOMES §1 §2 §3 Nombres complexes Définitions Principales opérations sur les nombres complexes Elévation d'un nombre complexe à une puissance et extraction de la racine d'un nombre complexe §4 Fonction exponentielle à exposant complexe et ses propriétés §5 Formule d'Euler Forme exponentielle d'un nombre complexe §6 Décomposition d'un polynôme en facteurs §7 Racines multiples du polynôme §8 Décomposition en facteurs d'un polynôme dans le cas des racines complexes §9 Interpolation Formule d'interpolation de Lagrange § 10 Formule d'interpolation de Newton § 11 Dérivation numérique § 12 Meilleure approximation d'une fonction par des polynômes Théorie de Tchebychev Exercices 245 247 250 253 256 258 261 263 264 266 268 269 271 CHAPITRE VIII FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9 Définition, des fonctions de plusieurs variables Représentation géométrique d'une fonction de deux variables Accroissement partiel et accroissement total de la fonction Continuité des fonctions de plusieurs variables Dérivées partielles d'une fonction de plusieurs variables Interprétation géométrique des dérivées partielles d'une fonction de deux variables Accroissement total et différentiel total Emploi de la différentielle totale pour les calculs approche Emploi de la différentielle pour évaluer l'erreur commise pendant les calculs numériques Dérivée d'une fonction composée Dérivée totale Différentielle totale d'une fonction composée § 11 Dérivation des fonctions implicites § 12 Dérivées partielles de différents ordres § 13 Surfaces de niveau § 14 Dérivée suivant une direction donnée § 15 Gradient § 16 Formule de Taylor pour une fonction de deux variables § 17 Maximum et minimum d'une fonction de plusieurs variables § 18 Maximums et minimums des fonctions de plusieurs variables soumises à certaines conditions (maximums et minimums lies) § 19 Dépendance fonctionnelle obtenue en traitant les données expérimentales par la méthode des moindres carres § 20 Points singuliers d'une courbe Exercices 273 276 277 279 282 284 285 288 289 § 10 293 297 300 305 306 308 312 314 323 328 332 338 CHAPITRE IX APPLICATIONS DU CALCUL DIFFERENTIEL A LA GEOMETRIE DE L'ESPACE §1 Equation d'une courbe dans l'espace 342 §1 §2 Equation d'une courbe dans l'espace Limite et dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable scalaire indépendante Equation de la tangente à une courbe Equation du plan normal §3 Règles de dérivation des vecteurs (fonctions vectorielles) §4 Dérivées première et seconde d'un vecteur par rapport à la longueur de l'arc Courbure de la courbe Normale principale Vitesse et accélération du point dans un mouvement curviligne §5 Plan osculateur Binormale Torsion d'une courbe gauche §6 Plan tangent et normale à une surface Exercices 342 345 351 354 363 368 372 CHAPITRE X INEGRALE INDEFINIE §1 §2 §3 §4 §5 Primitive et intégrale indéfinie Table d'intégrales Quelques propriétés de l'intégrale indéfinie Intégration par changement de variable Intégration de certaines expressions contenant le trinôme 375 378 380 382 384 §6 §7 §8 §9 § 10 Intégration par parties Fractions rationnelles Fractions rationnelles élémentaires et leur intégration Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples Intégration des fractions rationnelles Intégration des fonctions irrationnelles § 11 § 12 § 13 Intégrales du type dx Intégration de certaines classes de fonctions trigonométriques Intégration de certaines fonctions irrationnelles à l'aide de transformations trigonométriques § 14 Fonctions dont les intégrales ne peuvent être exprim6es par des fonctions élémentaires Exercices 387 390 395 399 402 404 407 412 414 416 CHAPITRE XI INTEGRALE DEFINIE §1 §2 Position du problème Sommes intégrales inférieure et supérieure Intégrale définie Théorème d'existence de l'intégrale définie §3 Propriétés fondamentales de l'intégrale définie §4 Calcul de l'intégrale définie Formule de Newton-Leibniz §5 Changement de variable dans une intégrale définie §6 Intégration par parties §7 Intégrales impropres §8 Calcul approche des intégrales définies §9 Formule de Tchébychev § 10 Intégrales dépendant d'un paramètre Fonction gamma § 11 Intégration d'une fonction complexe de la variable réelle Exercices 427 429 439 443 447 449 451 458 464 469 473 473 CHAPITRE XII APPLICATIONS GEOMETRIQUES ET MECANIQUES DE L'INTEGRALE DEFINIE §1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9 Calcul des aires en coordonnées rectangulaires Aire d'un secteur curviligne en coordonnées polaires Longueur d'un arc de courbe Calcul du volume d'un corps en fonction des aires des sections parallèle Volume d'un corps de révolution Aire d'un corps de révolution Calcul du travail au moyen de l'intégrale définie Coordonnées du centre de gravite Calcul du moment d'inertie d'une courbe, d'un cercle et d'un cylindre à l'aide de l'intégrale définie Exercices Index TOP 478 481 482 488 490 491 492 494 497 500 506
