Activité 1 Lors d`une expérience, on lâche une

Activité 1
Lors d’une expérience, on lâche une petite bille d’acier à partir d’un point A, sans vitesse initiale.
Cette bille tombe alors en suivant la droite verticale représentée ci-contre munie d’un repère (A;#» ı).
À chaque instant t, on note M(t)le point où se trouve la bille, et f(t)son abscisse dans le repère (A;#» ı).
On donne ci-dessous un extrait des mesures effectuées par chronophotographie lors de cette expé-
rience pendant la première seconde de chute (temps tdonné en secondes et distance f(t)parcourue
par la bille exprimée en mètres).
t0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f(t)0,049 0,196 0,440 0,785 1,226 1,762 2,398 3,141 3,969 4,901
f(t)
t2
1. Déterminer la vitesse moyenne de la bille entre les instants t1= 0,7et t2= 0,8à partir des
mesures expérimentales.
2. La fonction f, appelée loi horaire du mouvement de la bille, est-elle une fonction affine ?
3. Calculer f(t)
t2pour chacune des colonnes du tableau (arrondir, au besoin, les résultats à 10−2
près) puis proposer une expression de f(t)en fonction de tqui soit conforme à ces résultats.
4. Déterminer la vitesse moyenne de la bille entre les instants t1= 0,7et t2= 0,8à partir du
modèle choisi.
5. Dans cette question, tet hdésignent des réels tels que tet (t+h)appartiennent à [0; 1].
a) Déterminer la vitesse moyenne de la bille entre les instants tet (t+h).
b) En déduire la vitesse instantanée de la bille à l’instant t.
0
1
2
3
4
5
A
•
#»
i
Activité 2
La tangente (du latin tangere =toucher) en un point d’un cercle est une droite qui « touche » le cercle sans le
« couper ».
Soient Cun cercle de centre Oet Aun point de ce cercle.
La tangente en AàCest la droite perpendiculaire en Aau rayon [OA].
On remarque qu’au voisinage du point de tangence, en l’occurrence le point A, il
est difficile de distinguer la tangente du cercle.
Intuitivement, la tangente en AàCest la droite qui approche au mieux le cercle
Cau voisinage de A.
Partie A
On donne ci-dessous (fig. 1, p. 2) la courbe représentative Cd’une fonction f.
O
A
•
•
Dans la suite, nous allons essayer de généraliser cette notion de tangente à la courbe représentative d’une fonction.
1. La fonction fest une fonction de référence. Quelle est cette fonction ?
2. Soit Mle point de Cd’abscisse 2. Tracer, au jugé, la droite qui vous semble correspondre à l’idée que l’on se
fait de la tangente en MàCpuis lire son coefficient directeur.
3. hdésignant un réel non nul, on considère le point H, libre (c’est-à-dire mobile) sur Cd’abscisse (2 + h).
a) Justifier que les points Met Hsont distincts, exprimer l’ordonnée de Hen fonction de hpuis établir que le
coefficient directeur de la droite (MH)est égal à (h+ 4).
b) Comment placer Hpour que la droite (MH)approche au mieux la courbe Cau voisinage du point M?
Qu’est ce que cela revient à faire pour le réel h?
c) Déduire des questions précédentes ce qui vous semble être « le meilleur coefficient directeur » que l’on puisse
proposer pour la tangente en MàC.
Partie B
On donne ci-dessous (fig. 2, p. 2) la courbe représentative Cde fainsi que quatre de ses tangentes (aux points
d’abscisses respectives (−3),(−1),1et 3).
1. Compléter, par lecture graphique, le tableau ci-dessous :
x−3−2−1 0 1 2 3
Coefficient directeur de la tangente
àCau point d’abscisse x

2. Soient xun réel, Ple point de Cd’abscisse xet Rle point de Cd’abscisse (x+h)où hdésigne un réel non nul.
a) Exprimer, en fonction des réels xet h, le coefficient directeur de la droite (P R).
b) Expliquer en quoi le calcul de la question précédente permet de valider les résultats obtenus par lecture
graphique dans la question 1.
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4−1−2−3−40
Figure 1 – Partie A
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4−1−2−3−40
Figure 2 – Partie B
Activité 3
Un particulier a effectué un long trajet d’un peu moins de 640 kilomètres en voiture.
La courbe ci-dessous représente la distance parcourue par le particulier, notée f(x)et exprimée en kilomètres, en
fonction du temps écoulé depuis son départ, noté xet exprimé en heures.
Arrêté par des gendarmes à la fin de son parcours, il a été accusé d’avoir commis un excès de vitesse, ce qu’il a
formellement nié.
Utiliser le graphique pour argumenter les deux points de vue puis préciser qui a raison.
100
200
300
400
500
600
1 2 3 4 5 6