Word 2007

Chapitre 18 : Mécanique newtonienne
1. Le référentiel ( Voir TP n°16)
1.1. Le référentiel galiléen
Pour décrire le mouvement d’un objet, il faut connaitre deux informations :
-
sa trajectoire : elle nous informe sur la position de l’objet au cours du temps ;
sa vitesse : elle nous informe sur la rapidité avec laquelle l’objet se déplace (sur la trajectoire parcourue).
On ne peut définir un mouvement que si l’on précise par rapport à quel objet de référence ce mouvement est
considéré.
Définition :
Un référentiel est dit galiléen si, dans ce référentiel, tout corps isolé ou pseudo-isolé persévère dans son état de
repos (s’il était initialement immobile) ou de mouvement rectiligne et uniforme (1ère loi de Newton).
1.2. Les référentiels usuels [Rappels de 2nde]
Il existe des référentiels particuliers et « pratiques » :

Le référentiel terrestre : c'est le référentiel constitué par la Terre (ou par tout ce qui est fixe par rapport à la
Terre). Il est considéré comme galiléen si l’étude du système ne dépasse pas quelques minutes (pour négliger le
mouvement de rotation propre de la Terre).
 On choisira ce référentiel pour étudier le mouvement d’un objet sur la Terre ou au voisinage de celle-ci.

Le référentiel du laboratoire : c'est un référentiel lié à la Terre. Il est considéré comme galiléen dans les mêmes
conditions que le référentiel terrestre.

Le référentiel géocentrique : c'est le référentiel constitué par un corps solide fictif, de même dimensions et de
même centre que la Terre mais ne tournant pas sur lui-même comme la Terre. Il est considéré comme galiléen si
l’étude du système ne dépasse pas quelques heures (pour négliger le mouvement de révolution de la Terre
autour du Soleil).
 On préfère ce référentiel (mieux adapté que le référentiel terrestre) pour étudier le mouvement de la Lune ou des
satellites.

Le référentiel héliocentrique : c’est un référentiel constitué par le centre du Soleil et des étoiles fixes. Il est
considéré comme galiléen.
 On utilise ce référentiel pour étudier le mouvement des planètes.
Remarques :
-
Le mouvement d’un objet dépend du référentiel choisit ;
Tout référentiel qui tourne, ralentit ou accélère par rapport à un référentiel galiléen n’est pas galiléen.
2. Le vecteur position
Pour étudier le mouvement G d’un solide dans un référentiel, on définit :
-
un
repère
d’espace
orthonormé
ou
repère
cartésien
(O ; i, j , k ) (ci-contre), qui a pour origine O et pour vecteurs
unitaires (i, j , k ) : la position du solide est donnée par son
vecteur position OG à un instant t.
-
un repère de temps : le temps est compté à partir d’une origine à
laquelle t = t0 = 0 s.
Lorsque l’étude du mouvement d’un solide est réduite à celle de son centre d’inertie G, le vecteur position a pour
coordonnées, dans ce repère choisi :
 xG (t ) 


OG  yG (t ) 
 z (t ) 
 G 
Que l’on peut écrire : OG  x(t ) i  y (t ) j  z (t ) k
 x(t ) 


ou OG y (t )


 z (t ) 


et OG  OG 
x(t )²  y(t )²  z (t )²
Remarque : les équations donnant x(t), y(t) et z(t) sont appelées équations horaires de la position.
3. Le vecteur vitesse instantanée
Une variation du vecteur position d’un solide, réduit à l’étude de son centre d’inertie G, entraine l’existence d’une
vitesse et donc d’un vecteur vitesse. La vitesse instantanée du centre d’inertie G est égale à sa vitesse moyenne
entre deux positions infiniment proches.
Le vecteur vitesse moyenne v(ti ) à un instant ti est défini par :
v(ti ) 
OG(ti )
OG(ti 1 )  OG(ti 1 ) G(ti 1 )G(ti 1 )

 v(ti ) 
t
ti 1  ti 1
ti 1  ti 1
Le vecteur vitesse v(ti ) d’un point mobile à un instant t est caractérisée par :
-
Sa direction : la tangente à la trajectoire au point considéré ;
Son sens : celui du mouvement à l’instant ti ;
-
Sa valeur :
G(ti 1 ) G(ti 1 )
, qui s’exprime en mètre par seconde (m.s–1).
ti 1  ti 1
A RETENIR :
Lorsque t tend vers zéro (durée infinitésimale), on montre, en mathématique, que la vitesse moyenne v (t ) tend
vers une vitesse limite appelée vitesse instantanée qui est la dérivée du vecteur position par rapport au temps, à
l’instant t :
OG(t ) d OG(t )

t 0
t
dt
v(t )  lim

Les coordonnées du vecteur vitesse instantanée v (t ) dans le repère (O ; i, j , k ) sont :
dx(t )

vx (t )  dt

dy (t )

v(t ) v y (t ) 
dt

dz (t )

vz (t )  dt


ou
v(t )  vx (t ) i  v y (t ) j  vz (t ) k
La valeur de la vitesse instantanée est : v(t )  v(t ) 
ou
v(t ) 
dx(t )
dy (t )
dz (t )
i
j
k
dt
dt
dt
 vx (t ) ²   vy (t ) ²   vz (t ) ²
4. Le vecteur accélération
Une variation du vecteur vitesse d’un solide, réduit à l’étude de son centre d’inertie G, entraine l’existence d’une
accélération et donc d’un vecteur accélération. L’accélération instantanée du centre d’inertie G est égale à son
accélération moyenne entre deux positions infiniment proches.
Le vecteur accélération moyenne a(ti ) à un instant ti est défini par :
a(ti ) 
v(ti )
v(ti 1 )  v(ti 1 )
 a (ti ) 
t
ti 1  ti 1
Le vecteur accélération a(ti ) d’un point mobile à un instant t est
caractérisée par :
-
Sa direction : identique à celle du vecteur v(ti ) au point considéré ;
-
Son sens : identique à celle du vecteur v(ti ) à l’instant ti ;
-
Sa norme (valeur) :
v(ti 1 )  v(ti 1 )
qui s’exprime en m.s–2.
ti 1  ti 1
A RETENIR :
Lorsque t tend vers zéro (durée infinitésimale), l’accélération moyenne a (t ) tend vers une accélération limite
appelée accélération instantanée qui est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps, à l’instant t :
a(t )  lim
t 0

Les coordonnées du vecteur accélération instantanée a (t ) dans le repère (O ; i, j , k ) sont :
dvx (t )

ax (t )  dt

dv y (t )

a (t ) a y (t ) 
dt

dvz (t )

az (t )  dt


v(t ) d v(t ) d ²OG(t )


t
dt
dt ²
ou
a(t )  ax (t ) i  a y (t ) j  az (t ) k
Ou
a(t ) 
dv y (t )
dvx (t )
dv (t )
i
j z
k
dt
dt
dt
a(t ) 
d ² x(t )
d ² y (t )
d ² z (t )
i
j
k
dt ²
dt ²
dt ²
..
..
..
a(t )  x(t ) i  y(t ) j  z (t ) k
La valeur de l’accélération instantanée est : a(t )  a(t ) 
 ax (t ) ²   ay (t ) ²   az (t ) ²
5. Les forces usuelles
Rappel : Un solide soumis à aucune force est dit « isolé », un solide soumis à un ensemble de forces qui se
compensent est dit « pseudo-isolé ».
 La force de gravitation
L’interaction gravitationnelle entre deux corps ponctuels, A et B, de masses respectives mA et mB, séparés d’une
distance d, est modélisée par des forces d’attraction gravitationnelles, FA/B et FB/A , dont les caractéristiques sont :
d
A
mA
FA/B = FB/A = G
mA × mB
d²
FB/A
FA/B
B
mB
mA et mB = masses respectives de A et B (en kg)
G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 (constante de gravitation)
d = distance entre A et B (en m)
FA/B et FB/A (en N)
 FA/B et FB/A ont donc même direction, même valeur mais sont de sens opposé.
 Le poids

On identifiera le poids P d’un corps (voir chapitre 8) à la force d’attraction gravitationnelle FTerre/corps exercée par
la Terre sur ce corps :
P  FTerre/corps  m  g

L’intensité de la pesanteur terrestre dépend de la masse de l’astre et de la distance, h (altitude), entre le lieu
considéré et le centre de l’astre :
gT = G
MT
RT  h 
2
(h = 0 à la surface de la Terre)
 La valeur du poids d’un corps varie selon l’altitude du lieu où il se trouve.
 Force de Coulomb
Loi de Coulomb : Deux charges électriques, qA et qB, exercent l’une sur l’autre des forces d’interaction
électrostatique dont la valeur est proportionnelle à chacune des charges et inversement proportionnelle au carré de
la distance d qui les sépare.
qA et qB : charges (en C)
FA/B = FB/A = k ×
k = 9 ×109 N.m2 .C 2
d  distance entre qA et qB (en m)
qA × qB
d²
FA/B et FB/A : intensités (en N)
Caractéristiques :
Signe des charges qA et qB
FB/A
A
B
qA
qB
d
A FB/A
qA
Même signe




Répulsives
Même direction
Sens contraires
Même valeur (FA/B = FB/A)
Signe contraire




Attractives
Même direction
Sens contraires
Même valeur (FA/B = FB/A)
FA/B
FA/B B
d
qB
Forces
 Forces de contact entre solides
Lorsqu’un corps est posé sur un support, il subit une action
mécanique de contact de la part de ce support modélisé par
une force appelée « réaction du support » et notée R .
Elle se décompose en une somme de deux forces :
-
La réaction normale R n traduisant le fait que le
corps ne s’enfonce pas dans le support ;
-
La réaction tangentielle R T , aussi appelée force de
frottement solide, traduisant la résistance du
support au mouvement du corps.
 Forces exercées par les fluides (liquide ou gaz)
-
La poussée d’Archimède, notée  , verticale et orientée vers le haut.
Sa valeur est :
  ρ Vg
-
ρ  masse volumique du fluide (en g.L1 )

V  volume occupé par le corps immergé (en L)
g  intensité de la pesanteur (g  9,81 m.s 2 )

La force de frottement fluide, notée f , traduisant la résistance du fluide au mouvement du corps : c’est
une forces de contact qui s’opposent au déplacement de l’objet.
 Tension d’un fil
Il s’agit d’une force exercée par un fil inextensible, on la note T , sa direction est celle du fil et elle est orientée de
l’extrémité en contact avec le système vers l’extrémité opposée du fil.