Transformation de Fourier

Chapitre 9
Transformation de Fourier
La transformation de Fourier décompose une fonction à valeurs complexes
de plusieurs variables réelles en ondes planes. Il s’agit donc d’une extension de
la théorie des séries de Fourier à des fonctions non nécessairement périodiques.
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la transformée de Fourier des fonctions
de L1ou de L2, au chapitre suivant nous étendrons encore cette notions aux
distributions tempérées.
9.1 Transformée de Fourier des fonctions de L1
Définition 9.1. Soit uL1(RN;C). La transformée de Fourier ˆudu uest la
fonction définie pour ξRNpar
ˆu(ξ) :=
RN
u(x)e−2iπx·ξdx,
où x·ξdésigne le produit scalaire de xpar ξdans RN.
Remarquons que la définition ponctuelle de ˆua bien du sens partout en
raison du théorème de comparaison.
Proposition 9.2. La tranformation de Fourier est une application linéaire
continue de L1(RN;C)dans L∞(RN;C).
Démonstration. La linéarité suit celle de l’intégrale. Pour la continuité, notons
simplement que pour tout uL1(RN;C)et tout ξRN,
|ˆu(ξ)|�
RN
|u(x)||e−2iπx·ξ|dx =u1,
de sorte que ˆu∞ u1.
Si nous dérivons formellement ˆupar rapport à ξi,oùi{1, . . . , N}, on
obtient ∂ˆu
∂ξi
(ξ)=2iπ
RN
xiu(x)e−2iπx·ξdx.
Pour justifier l’interversion de la dérivée et de l’intégrale, il suffit par exemple
que x xiu(x)appartienne à L1(RN;C). De la même manière, pour expliciter
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∂2ˆu
∂ξ2
i
(ξ)il nous suffit de supposer que x x2
iu(x)L1(RN;C). Cela laisse
suggérer que la régularité de ˆuest liée à la décroissance de uà l’infini.
Inversement, si uest suffisamment régulière, on peut écrire pour ξi= 0,
ˆu(ξ) =
RN
u(x)e−2iπx·ξdx =1
2iπξi
RN
∂u
∂xi
(x)e−2iπx·ξdx.
Cela suggère cette fois que la décroissance de ˆuest intimement liée à la régularité
de u.
Introduisons l’espace de Schwartz des fonctions indéfiniment dérivables à
décroissance rapide.
Définition 9.3. (Espace de Schwartz) Une fonction u:RNCappar-
tient à l’espace de Schwartz, noté S(RN), si n’importe quelle de ses dérivées
partielle décroit à l’infini plus rapidement que l’inverse de tout polynôme. Plus
précisément,
S(RN) =
uC∞(RN,C)|α,βNN,C > 0t.q. sup
x∈RN
|xβ∂αu(x)|C .
Rappelons que pour un multi-indice α:= (α1,...,αN)NN, on désigne par
∂αula dérivée partielle
∂α:= ∂|α|
∂x1α1···∂xNαN,
où |α|:= α1+· · · +αNest la longeur de α, et par xαle réel
xα:= xα1
1···xαN
N.
En utilisant la règle de Leibniz :
∂α(u v) =
β+γ=α
α!
β!γ!∂βu∂γv
pour u,vC∞(RN;C)et αNNquelconques, et où α! := α1!···αN!, le
lecteur vérifiera aisément le résultat suivant :
Proposition 9.4. Pour tous u,vS(RN),αNNet PC[X1, . . . , XN], on
a que uv,∂αuet P u appartiennent tous à S(RN).
Mentionnons aussi que bien sûr D(RN,C)C∞
c(RN;C)S(RN), et que
x e−|x|2S(RN)\ C∞
c(RN;C).
L’espace de Schwartz, par définition, est le cadre approprié pour énoncer la
Proposition 9.5. Pour tout uS(RN)et tout αNN,
∂αˆu(ξ) =  (2iπx)αu(ξ),
∂αu(ξ) = (2iπξ)αˆu(ξ),
quel que soit ξRN.
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Démonstration. Comme il a été mentionné plus haut, il suffit dans le premier
cas de dériver l’expression intégrale définissant ˆu, et dans le second de procéder
par intégrations par parties. Dans l’un et l’autre cas, le fait que uS(RN)
permet de justifier l’opération (convergence dominée et termes de bords nuls à
l’infini).
Rappelons que C0(RN;C)désigne l’espace de toutes les fonctions continues
qui s’annulent à l’ infini, ou de manière équivalente l’adhérence de Cc(RN;C)
dans BC(RN;C). Nous pouvons maintenant renforcer la Proposition 9.2 de la
manière suivante.
Théorème 9.6 (Riemann-Lebesgue). La transformation de Fourier est une
application linéaire continue de L1(RN;C)dans C0(RN;C).
Démonstration. Soit uL1(RN;C). Par densité, il existe une suite (un)n∈N
C∞
c(RN;C)S(RN)qui converge vers udans L1(RN;C). En utilisant la Pro-
position 9.2, on déduit que ˆunˆudans L∞(RN;C). Grâce aux propositions
6.9 et 9.5, pour tout nN, on a ˆunC0(RN;C). En effet, si ε>0et αNN
est tel que |α|= 1, alors
|ˆun(ξ)|1
2π|ξ|
∂αun∞1
2π|ξ|∂αun1<ε
pour tout ξ Kε, où Kε:= {ξRN:|ξ|2π/ε∂αun1}est un compact.
Par conséquent, comme C0(RN;C)est fermé pour la convergence uniforme, on
obtient que ˆuC0(RN;C).
Le résultat qui suit nous sera utile dans la suite.
Proposition 9.7 (Passage du chapeau). Si uet vL1(RN;C), alors
RN
ˆuv dx =
RN
uˆv dx.
Démonstration. Remarquons d’abord que si uet vL1(RN;C), alors par la
Proposition 9.2 ˆuet ˆvL∞(RN;C)et par conséquent ˆuv et uˆvL1(RN;C)
(via Hölder), de sorte que les intégrales ci-dessus sont bien définies. Par les
théorèmes de Fubini et Tonelli, on obtient
RN
ˆu(x)v(x)dx =
RN RN
u(y)e−2iπx·ydy v(x)dx
=
RN RN
v(x)e−2iπx·ydx u(y)dy
=
RN
ˆv(y)u(y)dy.
La transformation de Fourier jouit de propriétés remarquables relativement
au groupe des translations et des dilatations.
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Définition 9.8. Si u:RNC, pour aRNet λR\ {0}, on définit la
translatée de upar a, et la dilatée de upar λcomme
(τau)(x):=u(xa),
(δλu)(x):=u
x
λ
,
pour tout xRN.
Lemme 9.9. Si uL1(RN;C),aRNet λR\ {0}, on a
τau(ξ) = e−2iπa·ξˆu(ξ),
δλu(ξ) = |λ|Nδ1/λˆu(ξ),
pour tout ξRN.
Démonstration. On a, par définition,
τau(ξ) =
RN
u(xa)e−2iπx·ξdx =
RN
u(y)e−2iπ(y+a)·ξdy
=e−2iπa·ξ
RN
u(y)e−2iπy·ξdy =e−2iπa·ξˆu(ξ).
De même,
δλu(ξ) =
RN
u
x
λ
e−2iπx·ξdx =|λ|N
RN
u(y)e−2iπ(λy)·ξdy
=|λ|N
RN
u(y)e−2iπy·(λξ)dy =|λ|Nˆu(λξ)
=|λ|Nδ1/λˆu(ξ).
Corollaire 9.10. La fonction u:x e−π|x|2est laissée invariante par la
transformation de Fourier.
Démonstration. En effet, si αNNest un multi-indice de longueur |α|= 1, par
les propriétés de l’exponentielle on a
∂αu= (2πx)αu.
Comme uS(RN), nous pouvons prendre la transformée de Fourier des deux
membres de l’égalité, et en tenant compte du fait que par la Proposition 9.5,
(2iπξ)αˆu= (i∂)αˆu, on obtient
∂αˆu= (2πξ)αˆu.
Dès lors
∂α
ˆu
u
=(∂αˆu)u(∂αu)ˆu
u2= 0.
Comme αest quelconque de longueur 1, on déduit que ˆu
uest constante. Comme
ˆu
u
(0) = ˆu(0)
u(0) = ˆu(0) =
RN
e−π|x|2dx.
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Pour calculer la dernière intégrale, on observe que, grâce au théorème de Fubini,
on a 
RN
e−π|x|2dx = (
R
e−πx2dx)N= (
R2
e−π|x|2dx)N
2= 1.
L’utilisation de coordonnées polaires pour l’intégrale en dimension 2 montre que
celle-ci égale un, et la conclusion suit.
Si t > 0, on déduit du Lemme 9.9 et du Corollaire 9.10 que
e−πt2|x|2=
δ1/t(e−π|x|2) = t−Ne−π|x|2/t2.
Nous allons maintenant montrer le résultat principal de cette section, qui
est l’analogue du Théorème 8.3 du chapitre précédent.
Théorème 9.11 (Formule d’inversion de Fourier). Soit uL1(RN;C)
BC(RN;C)telle que ˆuL1(RN;C). Alors, pour tout xRN,ˆ ˆu(x) = u(x).
Démonstration. Par définition,
ˆ
ˆu(x) =
RN
ˆu(ξ)e−2iπξ·xdξ.
Malheureusement, il n’est pas possible d’appliquer la Proposition 9.7 car la
fonction ξ e−2iπξ·xn’appartient pas à L1(RN;C). Cependant, comme ˆu
L1(RN;C), il suit du théorème de convergence dominée de Lebesgue que
ˆ
ˆu(x) = lim
t→0+
RN
ˆu(ξ)e−2iπξ·xe−πt2|ξ|2dξ
car e−πt2|ξ|21ponctuellement lorsque t0+, et |ˆu(ξ)e−2iπξ·xe−πt2|ξ|2|
|ˆu(ξ)|pour tout ξRN, avec |ˆu|L1(RN). Ensuite, puisque ξ e−πt2|ξ|2
L1(RN;C), on déduit du Lemme 9.9 et de la Proposition 9.7 que
RN
ˆu(ξ)e−2iπξ·xe−πt2|ξ|2dξ=
RN
τxu(ξ)e−πt2|ξ|2dξ
=
RN
τxu(ξ) e−πt2|ξ|2dξ
=
RN
u(ξx)t−Ne−π|ξ|2/t2dξ
=
RN
u(ty x)e−π|y|2dy.
En conséquence,
ˆ
ˆu(x) = lim
t→0+
RN
u(ty x)e−π|y|2dy =u(x)
RN
e−π|y|2dy =u(x),
où nous avons utilisé une fois encore le théorème de convergence dominée de
Lebesgue en se basant sur la continuité de uet sur le fait que
|u(ty x)e−π|y|2| u∞e−π|y|2
et que y e−π|y|2L1(RN).
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